运动变化观点和极限思想在解析几何中的应用苏教

运动变化观点和极限思想在解析几何中的应用袁海峰（江阴市长泾中学 214411）解析几何中，我们常常遇到这样的问题：在平面直角坐标系中，已知一点P(a,b)(不在坐标轴上)，过点P作直线L与两坐标轴围成的三角形的面积为S，则符合条件的直线有 （ ）A1条B2条C3条 D4条 碰到这样的问题，学生往往会采用以下方法进行求解：解：由题设可知，直线L的斜率一定存在 故设直线L的方程为 则直线L与两坐标轴的交点坐标分别为、 构成的三角形的面积 解上述方程，有几解，则表示有几条直线. 这样求解，不但可以求出直线的条数，同时也把相应的直线的方程求出.如若是解答题，这样做的话倒也无可厚非，但若是在平时的测验或是高考中遇到这样的问题，并且象上面这样按部就班的去解的话，可能会花费不少宝贵的时间，有点得不偿失.下面我们一起来用运动变化观点和极限思想来解决这一问题：如图（1），不妨假设点P(a,b)位于第一象限（其它象限完全一样），将直线L绕点P不断旋转，可发现当直线L位于图(2)所示的两个位置时必满足题意，即符合题意的直线L至少有两条，接下去就要考虑此直线与两坐标轴的正半轴所构成的三角形的面积能否为S,如可以，又有几条？由于此时三角形的面积具有最小值，且取得最小值时直线L的方程为L0:即=2,故我们只需将S与进行比较，若S，在第一象限符合题意的直线有且只有条即L0.（如图(3)）；若S，在第一象限符合题意的直线有条.（如图（4）；若S，则符合题意的直线有4条；（如图(5)）若S,则符合题意的直线有3条；（如图(6)）若S,则符合题意的直线有2条. （如图(7)）运用上述思想方法，我们还可以得到以下结论：结论：已知平面直角坐标系中，不重合的两点P、Q间的距离为d0，过点P作直线L使得Q点到直线L的距离为d,若d=d0,则符合题意的直线有且只有条（即过点P且与直线PQ垂直的直线（如图(8)）；若dd0,则符合题意的直线不存在.结论：已知平面直角坐标系中，不重合的两点P、Q间的距离为，过点P和Q分别作直线、且，若与间的距离为d，若d=,则符合题意的直线组有且只有组（分别过点P、Q且与直线PQ垂直(如图(10)）；若d,则符合题意的直线组不存在.结论：已知平面直角坐标系中，不重合的两点P、Q间的距离为，若P、Q两点到直线L的距离均为d,若d，则符合题意的直线L有2条（都与直线PQ平行，且关于直线PQ对称（如图(12)）；若d=,则符合题意的直线L有3条(其中两条与直线PQ平行，且关于直线PQ对称，另一条为线段PQ的垂直平分线(如图（13)；若d,则符合题意的直线L有4条(其中两条与直线PQ平行，且关于直线PQ对称，另两条都经过线段PQ的中点，且关于线段PQ的垂直平分线对称(如图(14).例过点P(1,1)作直线L与两坐标轴围成的三角形的面积为10,直线L有（） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条（略解）点P坐标为(1,1)，故过点P且与X、Y轴正半轴所围三角形面积最小时直线L的方程为,由结论故这样的直线L有条，选（D）例设直线L经过点A(-1,1)，则当点B(2,-1)与直线L距离最远时直线L的方程为_.（略解）点B到直线L的距离最远 由结论可知 直线L必与直线AB垂直 又直线AB的斜率为 直线L的方程为 即 例3直线L通过两直线和的交点A，且与过点B(5,-2)的直线的距离为5，则直线L的方程为_.(略解) 两直线和的交点A(2,2) 点A、B间的距离为5， 由结论可知 直线L直线AB，又直线AB的斜率为 直线L的方程为 即 例4在平面直角坐标系内，