四年级奥林匹克数学基础资料库 第19讲 乘法原理

讲授19乘以原理让我们先看看以下几个问题。例1马戏团的小丑每次演出都要戴一顶红、黄、蓝帽子和双黑、白鞋子。问：小丑的帽子和鞋子有几种不同的组合？分析和解决方案：下图显示了帽子和鞋子的6种组合。事实上，小丑戴帽子穿鞋分为两个阶段。戴帽子的第一步有三种方法。第二步，穿鞋有两种方法。对于第一阶段中的每种方法，第二阶段都有两种方法，因此在不同的搭配中通用32=6(物种)。例2从甲地到乙地有两条路，从乙地到丙地有三条路，从丙地到丙地有两条路。问：从甲地到乙地和丙地有几种不同的方法？分析和解决方法：A1，A2表示从甲地到乙地的两条路，B1，B2，B3表示从乙地到丙地的三条路，C1，C2表示从丙地到丙地的两条路(见下图)。有12种方法：A1B1C1 A1B2C1 A1B3C1A1B1C2 A1B2C A1B3C2A2B1C1 A2B2C1 A2B3C1A2B1C2 A2B2C2 A2B3C2事实上，从甲到丁，进入第三阶段。第一步到乙有两种方法，第二步到乙有三种方法，第三步到丙有两种方法。对于第一阶段的每种方法，第二阶段有三种方法，因此从甲到丙有23=6(类)方法；对于从甲到丙的每种方法，第三步有两种方法，所以不同的方法通用232=12(物种)。上述两个例子中使用的数学思想就是数学乘法原理。乘法原则：如果需要将一个操作分成n个步骤进行，则步骤1如何执行m1，步骤2如何执行m2.如果步骤n中有Mn方法，则此步骤通用于执行此操作N=m1 m2.Mn种别的方法。从乘法的原理可以看出，把一个任务分成几个阶段是解决问题的关键，这几个阶段是完成那个任务不可缺少的。例3是数字0、1、2、3、4、5，可以构成多少个3位数(你们的数字允许重复)？分析和解决方案：分为三个阶段。第一步确定100位数字，除0以外有5种选择方法。第二步是确定10位数字的方法，因为数字可以重复；第三步确定比特数，有六种选择方法。根据乘法原理，可以配置3位数566=180(个)。实例4如果要将以下图、a、b、c、d、e五个区域分别染成红色、黄色、蓝色、白色、黑色的五种颜色之一，并将相邻区域分别染成不同的颜色，则有几种不同的染色方法吗？分析和解决方案：染色过程按a、b、c、d、e顺序分为5个阶段进行。如果先染a，因为有5种颜色，所以有5种不同的染色方法；第二阶段染色b。因为不能和a有相同的颜色，所以可以选择4种颜色，有4种不同的染色方法。第三阶段染色c。因为不能和a，b一样的颜色，所以有3种不同的染色方法。第四步进行d染色。因为不能和a，c一样的颜色，所以有3种不同的染色方法。第五阶段染色e。不能是a，c，d之类的颜色，所以只有两种不同的染色方法。根据乘法原理，都有不同的染色方法54332=360(物种)。例5 360求总共有多少种不同的药水。分析和解决方案：首先将360分解为质量因子，360=22222335，因此，360的约数的小数只能在2，3，5中。为了确定360的所有其他药物的数量，我们进行了步骤3:步骤1确认约数包含2的数字。可能有0，1，2，3个，也就是4个可能性。步骤2确认约数包含3的数字。可能有0，1，2个，也就是3个可能性。步骤3检查约数是否包含5的数字，或者是否包含1(即2)个数字。根据乘法原理，共享360的不同约数432=24(个)。从例子5中得到：如果自然数n分解质量因子其中，如果P1、P2、Pl都是小数、n1、n2、nl都是自然数，则n的所有简写为：(n1 1) (N2 1).(nl 1)。利用上述公式，可以很容易地计算出自然数的所有约数。例如，11088=243211，11088具有不同的约数(4 1) (2 1) (1 1) (1 1)=60(个)。例6中有10块糖，每天至少吃一块，直到吃完。问：有几种不同的吃饭方法吗？分析及解决方法：把10块糖排成一行，糖和糖之间共空出9块。如果从一开始就把两个相邻的糖分两天吃，就在这两天之间划一条线。下图显示10个糖分在5日吃。第一天吃2个，第二天吃3个，第三天吃1个，第四天吃2个，第五天吃2个，依此类推。每个空格都有两种可能性，即没有相加线和相加线，因此根据乘法原理，不同的相加线方法共29=512(种)。每种加线方法都对应于吃糖的方法，所以每种吃方法都有512种。练习191.有五个不同的帽子，两个不同的上衣和三条不同的裤子。其中去掉了一顶帽子、一件上衣和一条裤子，做成一套服装。问：还有多少其他服装？用4个数字表示一个汉字的方形编号词典。国王自行编制了用3个数字(优选地重复的数字)表示汉字的“密码本”。例如，汉字“车”用“011”表示。问：王军的密码本最多能表示多少个不同的汉字？3.“IMO”是国际数学奥运会的缩写，用三种不同的颜色写这三个字。现在有5种颜色的笔，可以如上所述用几种不同颜色的“IMO”吗？4.在右边的方框里放两个手机，两个不能在同一行，也不能在同一列。问：还有其他几种方法吗？5.要从4年级6个班中挑选一个学习和体育先进团体(不能同时评价一个班)，总共有多少不同的选择结果？6.甲军有6