数学必修1集合的概念新课标人教

2006年高考数学必修1专题复习 集合的概念一、集合的基本概念及表示方法1.集合与元素一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集，通常用大写字母A、B、C表示.集合中的每一对象叫做集合的一个元素，通常用小写字母a、b、c表示2.集合的分类集合按元素多少可分为：有限集(元素个数是有限个)，无限集(元素个数是无限个)，空集(不含任何元素). 也可按元素的属性分，如：数集(元素是数(x)，点集(元素是点(x,y)等3.集合与元素的性质 集合有两个特性：整体性与确定性。而一个给定的集合，它的元素具有：确定性、互异性、无序性中元素各表示什么？A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹4.集合的表示方法 列举法；描述法；图示法（韦恩图法） 区间表示法二、元素与集合、集合与集合之间的关系 1.元素与集合是 “” 或 “ ” (或 “ ”)的关系，元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小与相等关系.2.集合与集合之间的关系(1)包含关系 如果xA，则xB，则称集合A是集合B的子集， 记为A B或B A显然A A， A(2)相等关系 对于集合A、B，如果 A B，同时B A， 那么称集合A等于集合B，记作AB (3)真子集关系 对于集合A、B，如果A B，并且AB，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A B不含有任何元素的集合称为空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集(应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视的情形)。三、集合的运算(进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况,还要注重借助于数轴和韦恩图解集合问题) (见下例)交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A与B的交集，记为AB，即ABxxA，且xB并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A与B的并集，记为AB，即ABxxA，或xB补集：一般地设U是一个集合，A是S的一个子集(即A U)，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集A在全集U中的补集(或余集)记作 显然，这里很容易解出A=-1,3.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。三、集合的运算性质1.交集的运算性质 ABBA，ABA，ABB，AAA，A，AB等价于ABA2.并集的运算性质 ABBA，ABA，ABB，AAA，AA，AB等价于ABB四、*有限集合的子集个数公式 设有限集合A中有n个元素，则A的子集个数共有：C0n+C1n+C2n+Cnn2n个，其中真子集的个数为2n-1个，非空子集个数为2n-1个，非空真子集个数为2n-2个. *集合A的所有子集组成的集合称为A的幂集.五*、有限集合A的元素的个数公式.用记号card(A)表示有限集合A的元素的个数.对任意两个有限集合A、B有card(AB)card(A)+card(B)-card(AB) 六#特别注意#：1.认清集合中元素是什么，例如yyf(x)，xR是数集. 其元素为函数g=f(x)的值域中的数；xyf(x)是数集，其元素为函数y=f(x)的定义域中的数；(x,y)yf(x),xM是有序实数对集其元素为函数y=f(x)的图象上的点的坐标2. 认清集合中元素所具有的性质，并能将集合语言等价转换成为熟悉的数学语言，这才是避免错误的根本办法.七#规律总结#：1集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）2集合的表示方法使用列举法，需注意以下几点：（1）元素间用分隔号“ ，”；（2）元素不重复；（3）元素无顺序；（4）对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后才能有删节号使用描述法，需注意以下几点：（1）写清楚该集合中元素的代号（字母或字母表达的元素符号）；（2）说明该集合中元素的性质；（3）不能出现未被说明的字母；（4）多层描述时，应当准确使用“且”“或”；（5）所有描述的内容都要写在集合符号内；（6）用于描述的语句力求简明、准确3. 常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集）：记作N 正整数集： 记作N*或N+；整数集：记作Z 有理数集：记作Q 实数集：记作R 复数集：记作C八.课本概念(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：1，2，3，4，5说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。(2)描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如：x|x-32，(x,y)|y=x2+1 九.关于集合运算注意几点:(1)集合的运算有交集（）、并集（）、补集 三种集合的运算结果仍然是集合进行集合的运算时应当注意：（1）勿忘对空集情形的讨论；（2）勿忘集合中元素的互异性；（3）对于集合A的补集运算，勿忘A必须是全集的子集；（4）对于含参数（或待定系数）的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍(2)在集合运算过程中应力求做到“三化”：(A)意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形？是表示函数的定义域、值域，还是表示方程或不等式的解集？(B)具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式(C)直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题吴川三中数学必修1全程复习（集合1）【往年高考】设集合A，若则必有（）ABCD给出6个关系式：（1）0，（2），（3），（4），（5） ，（6）.其中正确的个数是（ ）A6 B 5 C 4 D 34已知集合A= B=则能使AB成立的实数的取值范围是 5满足 的集合X的个数为【精选例题】例（2002年全国高考）设集合，则( )AMN B。MNC。M N D。法一从赋值入手，令k0、等，列举部分元素后观察分析知选B法二从缩小代表元素表示形式差异入手，M中代表元素，N中代表元素，通过比较化归为判断间的关系，选B法三从函数思想入手，而时，函数的值域是奇数集，函数的值域是整数集Z，故选B点评不同的解题思路可以区分具有不同层次基本功与能力水平的考生，可谓平淡之中见功底变题与角集相等的集合是（）A BC D提示可借鉴以上几种思路选C例 （1）分别用列举法表示集合：_,_；（） 已知，且=，则a；（）设，当时，则a分析（1）关键在于分清集合A、B的不同含义；（）、（）均含有待定系数，应在准确领会集合的相等、全集与补集等概念的基础上进行分析与转化解（1）A表示当x=时函数的值域，从而；B则表示曲线当时对应的点集，因而易得 .（） ， （） 或 （） 由（）得：，而（）无解.（），当a=2时，符合要求 当时， I，不合题意，舍去，故a=2为所求点评 解决含待定系数的集合问题时，常常会引起讨论，因而要注意检验是否符合全部条件，合理取舍，谨防增解例3关于x的等式与（其中）的解集依次记为A与B求使的a的取值范围分析先求出两不等式的解集，也就是化简集合A和B，然后对字母参数a进行讨论，再结合数轴求出使的a的取值范围解由，得, 由，得，当即时，得当即，得当时，若使，只要，得 当时，若使，只要，得a1 综上，使的a的范围是点评 （） a1容易漏掉，由，得，由，得，那么又要，只有a1（）利用条件时，借助数轴进行数形对照转化有助于增强解题的直观性变题设集合A=，B，若AB，求实数a的取值范围提示A= ，B= 由AB，得 ，从而0a1 【训练反馈】已知集合A2，3，7，且A中至多有一个奇数，则这样的集合（ ）A2个 B4个 C5个 D6个补充（05年高考江苏卷）设集合，则=（ ）A B C D已知集合则的子集的个数是 （ ） A16 B14 C12 D10设集合则下列图形中能表示与的关系的是 （）设有集合A=，B=，且，则实数a的取值范围是 ( ) Aa0 Ba0 Ca1 D0a1已知集合，若BA，则m的值为 .含有三个实数的集合可表示为，又可表示为，则= . 补充（05年高考上海卷改编）已知集合，则 ；7已知关于x的不等式的解集为M（）当时，求集合M；（）若3M且5，求实数a的取值范围8已知集合9. 已知全集为R， 高中数学必修1全程复习（集合2）【往年高考】集合（ ）A（1，0）By|0y1C1，0D2全集I=R，集合，则 3已知集合，则中所含元素的个数为 【讲练平台】例(1)设集合P、Q都是全集的子集，若， ()设有两个命题：不等式|x|+|x-1|m的解集是R；函数是减函数如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是 ()已知三个不等式，要使同时满足和的所有x的值都满足，则实数的取值范围是 解 （）法一 推理分析（较繁）可得.法二 利用“韦恩图”直观分析易得.（） 由为真，得m1，即m2于是当、同为真时，m0,要使得MN=，则p的取值范围是6已知A=（x，y）x2+y2=4，x0，B=（x，y）y=x+m，AB，则m的取值范围是 设表示正实数集，集合，实数p的取值范围是_ 已知IR，求：（1）；（2）已知，又，试求p、q的值参考答案：数学必修1全程复习（集合1）【往年高考】提示 仅（1）错误3 4 3a4 5 7法一直接写出满足条件的X有：1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5，共7个. 法二 依题意，即求从3,4,5三个元素中依次取0个，1个，2个的组合数的和，即【精选例题】D 提示 A中，B中，故BA，选A. B m=0或或 提示 因为，故由BA知：，分别解得m=0或或.点评 本题若忽视的情形，将失去m=0这一解. 1 提示：依题设，只能 补充 7解 （）当a = 4时，原不等式可以化为即 ， ,故 M为 （）由3M得： 且5 由得： 8解 要使有意义，必须若x=1,则由知，y=1,又与元素的互异性矛盾只能进而由知说明 通过本题应进一步明确集合相等的意义及集合元素的互异性与无序性.9. 解：由已知 所以 解得， 所以.由 解得.所以 于是 故参考答案：高中数学必修1全程复习（集合2）【往年高考】 23 0或1 提示集合P中的元素是抛物线在两直线x=2，x=5之间的点，集合Q中的元素是垂直于x轴的动直线上的点当a5时，两点集无公共点，即集合是空集；当时，两点集有1个公共点，即集合中含有一个元素，故中所含的元素个数为0或1【训练反馈】 D p1 6提示利用数形结合与平几知识直观求解 法一当；当时，方程有实根，但非正数，从而，解得，综上，则为所求. 法二求使的p的范围，注意到，应有即，再在实数集R内求补集得说明 在求参数取值范围时，若反面情形较为简单，则可考虑使用“补集法”求解 由题设，得（1）（2）于是 解q0, 在方程中，故方程有两个不等实根，设二根为x1、x2，即又故x1、x2只能为3,7为所求集合测试卷参考答案：1B N中最小数是0,不是1,正确, 不大于3自然数集为0,1,2,3,取综上所述,只有正确,故选B.2.C 若k=0 ,则若综上3.C 4.B .5. 6.C 7 则.8C 9B 10.B 11. 得或.经检验只有符合题意. 12. A 13. a =0或 14. 或；或15.( 由题意得,综合得(16. 正确. 正确.错误.正确.综合知.正确.17.0,4) 则得 又18. 由题意结合数轴分析知19.解析:或(1) 若得,根据集合A中元素的互异性,(2) 若,得经检验知只有符合要求.综上所述,20. 解：由AC=A知AC。又，则，. 而AB，故，。显然即属于C又不属于B的元素只有1和3. 不仿设=1，=3. 对于方程的两根应用韦达定理可得.21 . 解：（1）令 或x -1，即A=x|x1或x0，得2axa+1，所以B=x|2axa+1，又，所以2a1或a+1-1，即或，又a1；故实数a的取值范围。22.解析:当B=1,a-1时,有a-1=3, 当时,C中方程无根.即; 当时 若C=1,有1-m+1=0;若C=3,有 若C=1,3,m无解.由上述