2016年山东省淄博市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年山东省淄博市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1复数 z 满足 z（ 2 i） =|1+2i|，则 z 的虚部为（ ） A B C 1 D i 2设集合 A=x|x（ x 2） 0， B=x|x 1） 0，则 AB=（ ） A 1， 2 B（ 0， 2 C（ 1， 2 D（ 1， 2） 3正项等比数列 前 n 项和为 +12，则公比 q 等于（ ） A B 2 C D 4 4某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量 y（度）与气温 x（ ）之间的关系，随机统计了某 4 天的用电量与当天气温，并制作了对照表： 气温（ ） 18 13 10 1 用电量（度） 24 34 38 64 由表中数据 ，得线性回归方程 ，由此估计用电量为 72 度时气温的度数约为（ ） A 10 B 8 C 6 D 4 5已知直线 y=m（ 0 m 2）与函数 f（ x） =2x+）（ 0）的图象相邻的三个交点依次为 A（ 1， m）， B（ 5， m）， C（ 7， m），则 =（ ） A B C D 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A B C D 7已知定义在 R 上的函数 f（ x）满足条件： 对任意的 x R，都有 f（ x+4） =f（ x）； 函数 f（ x+2）的关于 y 轴对称 对任意的 0， 2，且 有 f（ f（ 则下列结论正确的是（ ） A f（ 7） f（ f（ B f（ 7） f（ f（ C f（ f（ f（ 7） D f（ f（ 7） f（ 第 2 页（共 20 页） 8已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别是 直 x 轴的直线与双曲线 C 的两渐近线的交点分别是 M、 N，若 正三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 2+ 9当 a 0 时，函数 f（ x） =（ 图象大致是（ ） A B C D 10若 x， y 满足约束条件 ，目标函数 z=y 仅在点（ 1， 0）处取得最小值，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 1， 2） B（ 4， 2） C（ 4， 0 D（ 2， 4） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11不等式 3x 2 的解为 _ 12执行如图的程 序框图，则输出的 S=_ 13过圆 x2+4x+ 上一点 P（ 1， 1）的切线方程为 _ 14正方形 边长为 2， P， Q 分别是线段 的点，则 的最大值为_ 15给定函数 f（ x）和 g（ x），若存在实常数 k， b，使得函数 f（ x）和 g（ x）对其公共定义域 D 上的任何实数 x 分别满足 f（ x） kx+b 和 g（ x） kx+b，则称直线 l： y=kx+b 为函数 f（ x）和 g（ x）的 “隔离直线 ”给出下列四组函数： f（ x） = +1， g（ x） = 第 3 页（共 20 页） f（ x） =g（ x） = ； f（ x） =x+ ， g（ x） = f（ x） =2x 其中函数 f（ x）和 g（ x）存在 “隔离直线 ”的序号是 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 16函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）在某一周期内图象最低点与最高点的坐标分别为 （ ）求函数 f（ x）的解析式； （ ）设 三内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 f（ A） = ， a=3， ，求 面积 S 17某种产品的质量标准分为 1， 2， 3， 4， 5 五个等级，现从该 产品中随机抽取了一部分样本，经过数据处理，得到如图所示的频率分布表： （ I）求出 a， b， c 的值； （ ）现从等级为 4 和 5 的所有样本中，任意抽取 2 件，求抽取 2 件产品等级不同的概率 等级 频数 频率 1 1 a 2 6 7 b c 5 4 8如图，在梯形 ， ，四边形 矩形，平面 平面 G 是 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求三棱锥 E 体积 19已知单调递增的等比数列 足 a1+a2+，且 的等差中项 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 bn=， ，记数列 前 n 项和为 对任意的 n N*，不等式 k（ n+4）恒成立，求实数 k 的取值范围 20已知函数 f（ x） = （ ）求函数 f（ x）的单调区间； 第 4 页（共 20 页） （ ）设 0 明： 21已知椭圆 经过点 ，离心率为 ，设 A、 B 椭圆 C 上异于左顶点 P 的两个不同点，直线 倾斜角分别为 和 ，且 +为定值 （ 0 ） （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）证明直线 过定点，并求出该定点的坐标 第 5 页（共 20 页） 2016 年山东省淄博市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本 大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1复数 z 满足 z（ 2 i） =|1+2i|，则 z 的虚部为（ ） A B C 1 D i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z，则 z 的虚部可求 【解答】 解：由复数 z 满足 z（ 2 i） =|1+2i|， 可得 z= = ， 则 z 的虚部为： 故选： A 2设集合 A=x|x（ x 2） 0， B=x|x 1） 0，则 AB=（ ） A 1， 2 B（ 0， 2 C（ 1， 2 D（ 1， 2） 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B，找出两集合的交集即可 【解答】 解：由 A 中的不等式组解得： 0 x 2，即 A=0， 2， 由 B 中的不等式变形得： x 1） 0=到 0 x 1 1， 解得： 1 x 2，即 B=（ 1， 2， 则 AB=（ 1， 2 故选： C 3正项等比数列 前 n 项和为 +12，则公比 q 等于（ ） A B 2 C D 4 【考点】 数列的求和 【分析】 利用 2+14 =+7 ，即可求出公比 q 【解答】 解：由题意， 2+14 =+7 ， ， q 0， q= 故选： A 4某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量 y（度）与气温 x（ ）之间的关系，随机统计了某 4 天的用电量与当天气温，并制 作了对照表： 第 6 页（共 20 页） 气温（ ） 18 13 10 1 用电量（度） 24 34 38 64 由表中数据，得线性回归方程 ，由此估计用电量为 72 度时气温的度数约为（ ） A 10 B 8 C 6 D 4 【考点】 线性回归方程 【分析】 求出样本中心，代入回归方程得出 ，从而得出回归方程，把 y=72 代入回归方程计算气温 【解答】 解： = ， =40 40= 2 10+ ，解得 =60 回归方程为 ， 令 y=72 得， 2x+60=72，解得 x= 6 故选 C 5已知直线 y=m（ 0 m 2）与函数 f（ x） =2x+）（ 0）的图象相邻的三个交点依次为 A（ 1， m）， B（ 5， m）， C（ 7， m），则 =（ ） A B C D 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由题意可得函数 f（ x）的相邻的两条对称轴分别为 x=3， x=6，可得函数的周期为2（ 6 3） = ，由此求得 的值 【解答】 解： 直线 y=m（ 0 m 2）与函数 f（ x） =2x+）（ 0）的图象相邻的 三个交点依次为 A（ 1， m）， B（ 5， m）， C（ 7， m）， 故函数 f（ x）的相邻的两条对称轴分别为 x= =3， x= =6， 故函数的周期为 2（ 6 3） = ，求得 = ， 故选： A 6某几何体 的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A B C D 第 7 页（共 20 页） 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 判断三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求解即可 【解答】 解：三视图复原的几何体是圆锥，底面半径为： ，高为： 1，圆锥的母线长为：2， 圆锥的表面积为： =（ 3+2 ） 故选： D 7已知定义在 R 上的函数 f（ x）满足条件： 对任意的 x R，都有 f（ x+4） =f（ x）； 函数 f（ x+2）的关于 y 轴对称 对任意的 0， 2，且 有 f（ f（ 则下列结论正确的是（ ） A f（ 7） f（ f（ B f（ 7） f（ f（ C f（ f（ f（ 7） D f（ f（ 7） f（ 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据条件判断函数的周期性和对称性，利用函数对称性，周期性和单调性之间的关系将函数值进行转化比较即可得到结论 【解答】 解： 对任意的 x R，都有 f（ x+4） =f（ x）； 函数是 4 为周期的周期函数， 函数 f（ x+2）的关于 y 轴对称 函数函数 f（ x）的关于 x=2 对称， 对任意的 0， 2，且 有 f（ f（ 此时函数在 0， 2上为增函数， 则函数在 2， 4上为减函数， 则 f（ 7） =f（ 3）， f（ =f（ 2， 5）， f（ =f（ =f（ 则 f（ f（ 3） f（ 即 f（ f（ 7） f（ 故选： D 8已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别是 直 x 轴的直线与双曲线 C 的两渐近线的交点分别是 M、 N，若 正三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 2+ 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线 C 的两渐近线方程，利用 正三角形，建立三角形，即可求出该双曲线的离心率 【解答】 解：双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的渐近线方程为 ， 第 8 页（共 20 页） x=c 时， y= ， 正三角形， 2c= ， a= b， c= b， e= = 故选： A 9当 a 0 时，函数 f（ x） =（ 图象大致是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 利用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的 图象 【解答】 解：由 f（ x） =0，解得 ，即 x=0 或 x=a， a 0， 函数 f（ x）有两个零点， A， C 不正确 设 a=1，则 f（ x） =（ x） f（ x） =（ x2+x 1） 由 f（ x） =（ x2+x 1） 0，解得 x 或 x 由 f（ x） =（ 1） 0，解得： x ， 即 x= 1 是函数的一个极大值点， D 不成立，排除 D 故选： B 10若 x， y 满足约束条件 ，目标函数 z=y 仅在点（ 1， 0）处取得最小值，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 1， 2） B（ 4， 2） C（ 4， 0 D（ 2， 4） 【考点】 简单线性规划 【分析】 先根据约束条件画出可行域，设 z=y，再利用 z 的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系，求出何时直线 z=y 过可行域内 的点（ 1， 0）处取得最小值，从而得到 a 的取值范围即可 【解答】 解：可行域为 图， 当 a=0 时，显然成立 第 9 页（共 20 页） 当 a 0 时，直线 y z=0 的斜率 k= 1， a 2 当 a 0 时， k= a 4 综合得 4 a 2， 故选 B 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11不等式 3x 2 的解为 x 【考点】 指、对数不等式的解法 【分析】 将原不等式两端同时取对数，转化为对数不等式即可 【解答】 解： 3x 2 0， ， 即 x 故答案为： x 12执行如图的程序框图，则输出的 S= 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 S， n 的值，当 n=5 时不满 足条件 n 4，退出循环，输出 S 的值，即可得解 【解答】 解：模拟执行程序，可得 n=1， S=0 第 10 页（共 20 页） 满足条件 n 4，执行循环体，可得： S=1， n=2 满足条件 n 4，执行循环体，可得： S=1+ ， n=3 满足条件 n 4，执行循环体，可得： S=1+ + ， n=4 满足条件 n 4，执行循环体，可得： S=1+ + + ， n=5 不满足条件 n 4，退出循环，输出 S 的值 由于： S=1+ + + = 故答案为： 13过圆 x2+4x+ 上一点 P（ 1， 1）的切线方程为 x 2y+1=0 【考点】 圆的切线方程 【分析】 求出圆的方程，求出圆心与已知点确定直线方程的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为 1 求出过此点切线方程的斜率，即可确定出切线方程 【解答】 解： 圆 x2+4x+ 上一点 P（ 1， 1）， 可得 1+1 4+m=0，解得 m=2，圆的圆心（ 2， 1），过（ 1， 1）与（ 2， 1）直线斜率为 2， 过（ 1， 1）切线方程的斜率为 ， 则所求切线方程为 y 1= （ x 1），即 x 2y+1=0 故答案为： x 2y+1=0 14正方形 边长为 2， P， Q 分别是线段 的点，则 的最大值为 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据条件可知线段 相垂直且平分，从而可分别以这两线段所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，进而可求出 A， B， C， D 四点坐标，并设 P（ 0， y）， Q（ x，0），且由题意知 x， y ，这样便可求出向量 的坐标，进行向量数量积的坐标运算便可求出 ，而配方即可得出 的最大值 【解答】 解：正方形 对角线 相垂直平分， 分别以这两线段所在直线为 x， y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则： 第 11 页（共 20 页） ； 设 P（ 0， y）， Q（ x， 0）， ； ； = ； 时， 取最大值 故答案为： 15给定函数 f（ x）和 g（ x），若存在实常数 k， b，使得函数 f（ x）和 g（ x）对其公共定义域 D 上的任何实数 x 分别满足 f（ x） kx+b 和 g（ x） kx+b，则称直线 l： y=kx+b 为函数 f（ x）和 g（ x）的 “隔离直线 ”给出下列四组函数： f（ x） = +1， g（ x） = f（ x） =g（ x） = ； f（ x） =x+ ， g（ x） = f（ x） =2x 其中函数 f（ x）和 g（ x）存在 “隔离直线 ”的序号是 【考点】 函数的值域 【分析】 画出图象，数形结合即得答案 【解答】 解： f（ x） = +1 与 g（ x） =公共定义域为 R， 显然 f（ x） 1，而 g（ x） 1，故满足题意； f（ x） = g（ x） = 的公共定义域为：（ ， 0） （ 0， +）， 当 x （ ， 0）时， f（ x） 0 g（ x）， 当 x （ 0， +）时， g（ x） 0 f（ x），故不满足题意； 第 12 页（共 20 页） f（ x） =x+ 与 g（ x） =象如右图， 显然满足题意； 函数 f（ x） =2x 的图象如图， 显然不满足题意； 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 16函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）在某一周期内图象最低点与最高点的坐标分别为 （ ）求函数 f（ x）的解析式； （ ）设 三内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 f（ A） = ， a=3， ，求 面积 S 【考点】 余弦定理的应用；正弦定理 【分析】 （ ）由题意可得 A， ，运用周期公式，可得 ，再由最值的条件，可得 = ，即可得到所求解析式； （ ）求得 A，再由正弦定理和余弦定理，求得 ，运用三角形的面积公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：（ ）由题意可得 A= ， = =2， 第 13 页（共 20 页） 可得 T=4， = = ， 由 +） = ， 解得 +=2，即 =2， k Z， 由 | ，可得 = ， 即有 f（ x） = x+ ）； （ ） f（ A） = ，即为 A+ ） = ， 由 A （ 0， ），可得 A+ （ ， ）， 即有 A+ = ，解得 A= ， 由正弦定理可得 = = = =2 ， 即有 b=2 c=2 ，即 b+c=2 ， 由 a=3，由余弦定理可得 a2=b2+2 c+b） 2 22=12 3， 解得 ， 则 面积 S= 1 = 17某种产品的质量标准分为 1， 2， 3， 4， 5 五个等级，现从该产品中随机抽取了一部分样本，经 过数据处理，得到如图所示的频率分布表： （ I）求出 a， b， c 的值； （ ）现从等级为 4 和 5 的所有样本中，任意抽取 2 件，求抽取 2 件产品等级不同的概率 等级 频数 频率 1 1 a 2 6 7 b c 5 4 考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ ）设抽取的产品有 x 件，根据题意得， =得 x=20，即可 a， b， c 的值 （ ）根据条件列出满足条件所有的基本事件总数， “从 6 件中抽取 2 件产品等级不同的事件数，求解即可 第 14 页（共 20 页） 【解答】 解：（ ）设抽取的产品有 x 件，根据题意得， =得 x=20， 所以 a= =b=2， c= = ）：等级为 4 的两件产品，记作 等级为 5 的零件有 4 个，记作 从 任意抽取 2 个零件， 所有可能的结果为： （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 共计 15 种 记事件 A 为 “从零件 任取 2 件，其等级不同 ” 则 A 包含的基本事件为（ （ （ （ （ （ （ （ 共 8 个， 故 P（ A） = 18如图，在梯形 ， ，四边形 矩形，平面 平面 G 是 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求三棱锥 E 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）取 中点 H，连接 已知可得四边形 平行四边形 ，得到 一步得到 平面 三角形 中位线可得有 面 面面平行的判定得平面 平面 而得到 平面 （ ）由 合已知得到四边形 等腰梯形，由 H 是 中点，可得四边形 菱形，得到 平面 平面 到 平面 知 三棱锥 B 高，然后利用等积法求得三棱锥 E 体积 【解答】 （ ）证明：取 中点 H，连接 C， 四边形 平行四边形， 有 平面 三角形 中位线， 有 平面 又 H=H， 第 15 页（共 20 页） 平面 平面 面 平面 （ ）解： ， 四边形 等腰梯形， H 是 中点， 四边形 菱形， ， 又 平面 平面 线为 平面 即 三棱锥 B 高，且 ， B 在等腰三角形 ，求得 ， B 19已知单调递增的等比数列 足 a1+a2+，且 的等差中项 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 bn=， ，记数列 前 n 项和为 对任意的 n N*，不等式 k（ n+4）恒成立，求实数 k 的取值范围 【考点】 数列递推式 【分析】 （ ）由题意知 ，从而求得； （ ）化简 bn=n， = = ，从而化简不等式为 k= 恒成立；从而求得 【解答】 解：（ ）设等比数列 公比为 q， 则 ， 解得， ， q=2 或 q= （舍去）； 故 n 1； 第 16 页（共 20 页） （ ） bn=n， = = ， 故 + + + = ， 要使 k（ n+4）恒成立， 即 k = 恒成立； 而 n+ +5 9，（当且仅当 n=2 时，等号成立）； 故 ； 故实数 k 的取值范围为 ， +） 20已知函数 f（ x） = （ ）求函数 f（ x）的单调区间； （ ）设 0 明： 【考点】 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 （ ）求导，在定义域内解不等式 f（ x） 0， f（ x） 0 可得单调区间； （ ）问题转化为证明 = 0 成立，根据函数的单调性证明 0 即可 【解答】 （ ）解：定义域为（ 0， +）， f（ x） =x =1+ 令 f（ x） 0，则 1= x ； 令 f（ x） 0，则 1= 0 x ， f（ x）的单调增区间是（ ， +），单调减区间是（ 0， ） （ ）证明：要证 成立， 第 17 页（共 20 页） 只需证明 = （ = 0 成立， 由于 0，只需 0 成立， 令 g（ t） =，（ t 1）， 则 g（ t） = = 0， g（