高中数学北师大版复习教案：不等式（小结与复习）

第六章 不等式（小结与复习）一、 知识网络结构 比较法 不等式的证明 分析法 综合法 反证法、换元法、 放缩法等 不等式 不等式的性质 重要不等式 不等式的应用 一元二次不等式 分式不等式 不等式的解法 简单高次不等式 含有绝对值的不等式 二、 知识清单清单一 不等式的性质1、实数的运算性质和大小顺序间的关系； 2、不等式的基本性质（反对称性）如果，那么；如果，那么（传递性） 如果且，那么 如果且，那么 （可加性） 如果，那么 （移项原则） 如果，那么（可乘性） 如果且，那么；如果且，那么3、不等式的运算性质（加法法则）如果，那么（减法法则）如果，那么（乘法法则）如果，那么 （除法法则）如果，那么（乘方法则）如果，那么 （且 ） （开方法则）如果，那么（且 ） （倒数法则）如果，那么4、 重要不等式：如果，那么均值定理：如果是正数，那么说明： 常用的不等式：，注意点：和定积最大，积定和最小；一正、二定、三相等清单二 不等式的证明证明不等式的常用方法：1. 比较法 （1）作差比较法证明不等式的步骤：作差、变形、判断差的符号（2）作商比较法证明不等式的步骤：作商、变形、判断商与1的符号2. 综合法 综合法是由因导果，即从已知条件或已知真命题出发一步步推导出结论成立3.分析法 分析法是执果导因，即从结论出发，一步步寻求上步成立的充条件，直到得出一个真命题为止4.反证法（1）定义：反证法是从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定结论正确；（2）反证法证明命题的一般步骤：否定结论 推出矛盾 肯定结论成立； 5.判别式法 证明形如“，”的不等式，可将不等式整理成的形式，则时由得的取值范围为 时，中的的值是否为函数的定义域的值，若是则的取值范围为和的值，否则的取值范围为，这种证明方法叫做判别式法6.换元法在证明不等式的过程中，将不等式中的变量作适当的代换，使不等式得到证明，这种方法叫做不等式证明中的换元法。三角换元法常用到的技巧：（1）若题目中含有，则可令x = sinq ()或（）。（2） 若题目中含有，则可令x = cosq , y = sinq ()（3） 若题目中含有，则可令x = secq, y = tanq ()（4） 若题目中含有 ，则可令（）（5）若题目中含有 ，则可令（）（6） 若题目中含有x1，则可令x = secq ()（7）若题目中含有，则可令（）（8）若题目中含有，则可令（）说明：作变量代换时，新的变量的取值范围必须确保原来的变量的取值范围不发生变化。7.放缩法放缩法是一种从不等式的一边入手，逐渐放大或缩小不等式，直到得到不等式的另一边的证明方法。说明：放缩必须适度， 放得过大或放得过小都不能达到证题的目的。放缩法常用到的技巧（1）适当增加或舍弃一些正项或负项，或非正项，或非负项；，如：（2）若分式的分子、分母为正数，将分式的分子或分母放大（或缩小）以达到对分式放缩的目的（3）利用重要不等式、均值定理及已经证明过的不等式进行放缩（4） 利用正弦函数的有界性放缩是进行放缩（5）利用函数的单调性进行放缩清单三 不等式的解法1、 一元二次不等式的解集设相应一元二次方程的两根为，则不等式的解集： 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根 无实根 R 2、含有绝对值的不等式：用绝对值的定义去掉绝对值符号 （1） （3） （2） （4）3、简单的高次不等式数轴标根法（穿针引线法） 整理 把进行因式分解，并化简成下面形式，这里每一个因式中的系数为1，彼此不等标根 将的n个不同的根标在数轴上，把数轴分成n+1个区间画线 从右到左，从上到下依次经过n个根对应的点画一条连续曲线选解 下图中，在轴上方的曲线对应的区间为的解集；在轴下方的曲线对应的区间为的解集；注意：穿点时，遇到根对应的因式的指数为奇数时，则直穿过轴，指数为偶数时，穿而不过4、分式不等式：移项，通分，转化为整式不等式（数轴标根法）分式不等式转化为整式不等式的常见类型 5、利用指数函数、对数函数的单调性解不等式 ， ， 6、绝对值不等式的性质： 定理： 记作：两数绝对