高考理数　二次函数与幂函数

2.3二次函数与幂函数,高考理数(课标专用),统一命题课标卷题组,五年高考,考点一二次函数1.(2017浙江,5,5分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间0,1上的最大值是M,最小值是m,则M-m()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关,答案B本题考查二次函数在闭区间上的最值,二次函数的图象,考查数形结合思想和分类讨论思想.解法一:令g(x)=x2+ax,则M-m=g(x)max-g(x)min.故M-m与b无关.又a=1时,g(x)max-g(x)min=2,a=2时,g(x)max-g(x)min=3,故M-m与a有关.故选B.,2.(2015四川,9,5分)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m0,n0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为()A.16B.18C.25D.,答案B当m=2时,f(x)=(n-8)x+1在区间上单调递减,则n-82时,f(x)的图象开口向上,要使f(x)在区间上单调递减,需-2,即2m+n12,而2m+n2,所以mn18,当且仅当即时,取“=”,此时满足m2.故(mn)max=18.故选B.,3.(2015陕西,12,5分)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是()A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上,答案A由已知得,f(x)=2ax+b,则f(x)只有一个极值点,若A、B正确,则有解得b=-2a,c=-3a,则f(x)=ax2-2ax-3a.由于a为非零整数,所以f(1)=-4a3,则C错.而f(2)=-3a8,则D也错,与题意不符,故A、B中有一个错误,C、D都正确.若A、C、D正确,则有,考点二幂函数1.(2014浙江,7,5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x0),g(x)=logax的图象可能是(),答案D因为a0,所以f(x)=xa在(0,+)上为增函数,故A错.在B中,由f(x)的图象知a1,由g(x)的图象知01,矛盾,故C错.在D中,由f(x)的图象知0a1,由g(x)的图象知0a1,相符,故选D.,2.(2018上海,7,5分)已知.若幂函数f(x)=x为奇函数,且在(0,+)上递减,则=.,答案-1,解析本题主要考查幂函数的性质.幂函数f(x)=x为奇函数,可取-1,1,3,又f(x)=x在(0,+)上递减,0,则幂函数的图象过原点,并且在区间0,+)上为增函数;如果0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+的最小值为.,答案-2,解析设2a+b=t,则2a=t-b,由已知得关于b的方程(t-b)2-b(t-b)+4b2-c=0有解,即6b2-3tb+t2-c=0有解.故=9t2-24(t2-c)0,所以t2c,所以|t|max=,此时c=t2,b=t,2a=t-b=,所以a=.故-+=-+=8=8-2-2.,4.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR),记M(a,b)是|f(x)|在区间-1,1上的最大值.(1)证明:当|a|2时,M(a,b)2;(2)当a,b满足M(a,b)2时,求|a|+|b|的最大值.,解析(1)证明:由f(x)=+b-,得对称轴为直线x=-.由|a|2,得1,故f(x)在-1,1上单调,所以M(a,b)=max|f(1)|,|f(-1)|.当a2时,由f(1)-f(-1)=2a4,得maxf(1),-f(-1)2,即M(a,b)2.当a-2时,由f(-1)-f(1)=-2a4,得maxf(-1),-f(1)2,即M(a,b)2.综上,当|a|2时,M(a,b)2.(2)由M(a,b)2得|1+a+b|=|f(1)|2,|1-a+b|=|f(-1)|2,故|a+b|3,|a-b|3,由|a|+|b|=得|a|+|b|3.当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,|f(x)|=|x2+2x-1|,此时易知|f(x)|在-1,1上的最大值为2,即M(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值为3.,考点二幂函数(2014上海,9,4分)若f(x)=-,则满足f(x)0的x的取值范围是.,答案(0,1),解析令y1=,y2=,则f(x)0即为y1y2.函数y1=,y2=的图象如图所示,由图象知:当0x1时,y1y2,所以满足f(x)0的x的取值范围是(0,1).,考点一二次函数1.(2018河南安阳模拟,5)已知函数f(x)=-x2+4x+a,x0,1,若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为()A.1B.0C.-1D.2,三年模拟,A组20162018年高考模拟基础题组,答案Af(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+a+4,函数f(x)=-x2+4x+a在0,1上单调递增,当x=0时,f(x)取得最小值,当x=1时,f(x)取得最大值,f(0)=a=-2,f(1)=3+a=3-2=1,故选A.,2.(2018湖北荆州模拟,8)二次函数f(x)满足f(x+2)=f(-x+2),又f(0)=3,f(2)=1,若在0,m上有最大值3,最小值1,则m的取值范围是()A.(0,+)B.2,+)C.(0,2D.2,4,答案D二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),其图象的对称轴是x=2,又f(0)=3,f(4)=3,又f(2)f(0),f(x)的图象开口向上,f(0)=3,f(2)=1,f(4)=3,f(x)在0,m上的最大值为3,最小值为1,由二次函数的性质知2m4.故选D.,3.(2018河南南阳模拟,9)设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于x1,3,f(x)-m+4恒成立,则实数m的取值范围为()A.(-,0B.C.(-,0)D.,答案D由题意,f(x)-m+4对于x1,3恒成立即m(x2-x+1)5对于x1,3恒成立.当x1,3时,x2-x+11,7,不等式f(x)-m+4等价于m.当x=3时,取最小值,若要不等式m对于x1,3恒成立,则必须满足m0恒成立”是假命题,则实数a的取值范围是()A.a3D.00m=1,选B.,4.(2017福建龙海期末,13)若幂函数y=(m2-3m+3)的图象不经过坐标原点,则实数m=.,答案1或2,解析由题意得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2,当m=1时,y=x-2,图象不过原点,当m=2时,y=x0,图象不过原点,故m=1或2.,一、选择题(每题5分,共25分)1.(2018福建模拟,3)已知a=0.40.3,b=0.30.4,c=0.3-0.2,则()A.bacB.bcaC.cbaD.a0.30.3b=0.30.4,c=0.3-0.21,bf(x2-2x+2)xx2-2x+2x2-3x+20,解得10,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.,答案C0,0,x1,x2(2,+),x1-1,x2-1(1,+).f(x)在区间(1,+)上是增函数,-1,解得a-.故选C.,解题关键将0巧妙变形为0,推导出f(x)在(1,+)上是增函数是解题关键.,二、解答题(共25分)6.(2018湖南祁阳二模,17)已知幂函数f(x)=(m-1)2在(0,+)上单调递增,函数g(x)=2x-k.(1)求m的值;(2)当x1,2)时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,设p:xA,q:xB,若p是q成立的必要条件,求实数k的取值范围.,解析(1)依题意得:(m-1)2=1m=0或m=2,当m=2时,f(x)=x-2在(0,+)上单调递减,与题设矛盾,舍去,m=0.(2)由(1)得,f(x)=x2,当x1,2)时,f(x)1,4),即A=1,4),当x1,2)时,g(x)2-k,4-k),即B=2-k,4-k),因p是q成立的必要条件,则BA,则即得0k1.,思路分析(1)根据幂函数的定义和f(x)的性质求m.(2)得出集合的关系,进而求解.,方法点拨解决幂函数在指定区间上求值域问题,常由函数单调性解得.,7.(2017河南郑州期中,19)已知函数g(x)=ax2-2ax+b+1(a0,b0,则g(x)在2,3上单调递增,g(2