高考理数　三角函数的图象与性质

4.3三角函数的图象与性质,高考理数(课标专用),考点一三角函数的图象及其变换1.(2017课标,9,5分)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin,则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2,A组统一命题课标卷题组,五年高考,答案D本题主要考查学生对正(余)弦型三角函数的图象与性质的掌握和对数形结合思想的运用,考查学生的逻辑推理能力及运算求解能力.利用诱导公式可知sin=cos=cos=cos,由y=cosx的图象得到y=cos2x的图象,需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变;由y=cos2x的图象得到y=cos的图象,需将y=cos2x的图象上的各点向左平移个单位长度,故选D.,方法总结(1)三角函数图象变换:伸缩变换:将y=sinx图象上的各点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,可得到y=sin的图象;将y=sinx图象上各点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,可得到y=Asinx的图象.平移变换:函数图象的左右平移变换遵循“左加右减”的法则,但是要注意平移量是指自变量x的变化量;函数图象的上下平移变换遵循“上加下减”的法则.(2)解决三角函数图象变换问题时,若两函数异名,则通常利用公式sinx=cos和cosx=sin将异名三角函数转化为同名三角函数,然后分析变换过程.,2.(2016课标,14,5分)函数y=sinx-cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到.,答案,解析设f(x)=sinx-cosx=2sin,g(x)=sinx+cosx=2sin,将g(x)的图象向右平移(0)个单位长度后得到函数g(x-)=2sin=2sin=f(x)的图象,所以x-+=2k+x+,kZ,此时=-2k-,kZ,当k=-1时,有最小值,为.,方法指导先利用辅助角公式将两函数的解析式转化成同名三角函数式,再根据三角函数图象变换遵循的“左加右减”规律求解.,考点二三角函数的性质及其应用1.(2018课标,10,5分)若f(x)=cosx-sinx在-a,a是减函数,则a的最大值是()A.B.C.D.,答案A本题主要考查三角函数的性质.f(x)=cosx-sinx=cos,由题意得a0,故-a+0,由函数f(x)=cos(x+)的部分图象,可得函数的周期T=2=2,由T=得=,f(x)=cos(x+),再根据函数的图象可得+=+2k,kZ,=+2k(kZ),f(x)=cos,由2kx+2k+(kZ),得2k-0)个单位长度得到点P.若P位于函数y=sin2x的图象上,则()A.t=,s的最小值为B.t=,s的最小值为C.t=,s的最小值为D.t=,s的最小值为,答案A点P在函数y=sin的图象上,t=sin=.所以P.将点P向左平移s(s0)个单位长度得P.因为P在函数y=sin2x的图象上,所以sin2=,即cos2s=,所以2s=2k+或2s=2k+,即s=k+或s=k+(kZ),又s0,所以s的最小值为.,4.(2015湖南,9,5分)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则=()A.B.C.D.,答案Dg(x)=sin2(x-)=sin(2x-2).|f(x)|1,|g(x)|1,|f(x1)-g(x2)|2,当且仅当f(x1)=1,g(x2)=-1或f(x1)=-1,g(x2)=1时,满足|f(x1)-g(x2)|=2.不妨设A(x1,-1)是函数f(x)图象的一个最低点,B(x2,1)是函数g(x)图象的一个最高点,于是x1=k1+(k1Z),x2=k2+(k2Z),|x1-x2|=.,|x1-x2|-.又|x1-x2|min=,-=,即=,故选D.,评析本题考查三角函数的图象与性质,对逻辑思维能力与数形结合能力要求较高,要求考生能准确地画图并理解题意.属中等难度题.,5.(2016江苏,9,5分)定义在区间0,3上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是.,答案7,解析在同一平面直角坐标系中作出y=sin2x与y=cosx在区间0,3上的图象(如图).由图象可知,共有7个交点.,思路分析解决交点个数问题一般采用“数形结合”的思想方法,因此准确画出相关函数图象是解题的关键.,6.(2015湖北,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(x+)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:,(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求的最小值.,解析(1)根据表中已知数据,解得A=5,=2,=-.数据补全如下表:,且函数表达式为f(x)=5sin.(2)由(1)知f(x)=5sin,得g(x)=5sin.因为y=sinx的对称中心为(k,0),kZ.令2x+2-=k,kZ,解得x=+-,kZ.由于函数y=g(x)的图象关于点中心对称,令+-=,kZ,解得=-,kZ.由0可知,当k=1时,取得最小值.,考点二三角函数的性质及其应用1.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsinx+c,则f(x)的最小正周期()A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关,答案Bf(x)=sin2x+bsinx+c,若b=0,则f(x)=sin2x+c=(1-cos2x)+c,此时f(x)的周期为;若b0,则f(x)的周期为2,所以选B.,2.(2016山东,7,5分)函数f(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)的最小正周期是()A.B.C.D.2,答案Bf(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)=4sincos=2sin,T=,故选B.,评析本题主要考查辅助角公式及三角恒等变换,属中档题.,3.(2017天津,7,5分)设函数f(x)=2sin(x+),xR,其中0,|0).若f(x)f对任意的实数x都成立,则的最小值为.,答案,解析本题主要考查三角函数的性质及其应用.f(x)f对任意的实数x都成立,f=1,-=2k,kZ,整理得=8k+,kZ.又0,当k=0时,取得最小值.,导师点睛由题意知函数f(x)在x=处取得最大值,从而得出答案.,5.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+)的图象关于直线x=对称,则的值是.,答案-,解析本题考查正弦函数的图象和性质.函数y=sin(2x+)的图象关于直线x=对称,x=时,函数取得最大值或最小值,sin=1.+=k+(kZ),=k-(kZ),又-0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为.,答案,解析记f(x)的最小正周期为T.由题意知-=,又f=f=-f,且-=,可作出示意图如图所示(一种情况):x1=,x2=,=x2-x1=-=,T=.,8.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=sincos-sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-,0上的最小值.,解析(1)因为f(x)=sinx-(1-cosx)=sin-,所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为-x0,所以-x+.当x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值.所以f(x)在区间-,0上的最小值为f=-1-.,9.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sinxcosx(xR).(1)求f的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.,解析本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力.(1)由sin=,cos=-,f=-2,得f=2.(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx得f(x)=-cos2x-sin2x=-2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质得+2k2x+2k,kZ,解得+kx+k,kZ.所以,f(x)的单调递增区间是(kZ).,10.(2017山东,16,12分)设函数f(x)=sin+sin,其中011,即sin-.又0t24,因此t+,即10t18.故在10时至18时实验室需要降温.,13.(2014重庆,17,13分)已知函数f(x)=sin(x+)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值;(2)若f=,求cos的值.,解析(1)f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为,所以f(x)的最小正周期T=,从而=2.又因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以2+=k+,k=0,1,2,.由-得k=0,所以=-=-.(2)由(1)得f=sin=,所以sin=.由得0-,所以cos=.因此cos=sin=sin=sincos+cossin=+=.,C组教师专用题组,考点一三角函数的图象及其变换1.(2014浙江,4,5分)为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=cos3x的图象()A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位,答案Cy=sin3x+cos3x=cos,要得到函数y=cos的图象,可以将函数y=cos3x的图象向右平移个单位,故选C.,2.(2014辽宁,9,5分)将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增,答案B函数y=3sin的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数为y=3sin=3sin.由2k-2x-2k+,kZ得k+xk+,kZ,故单调递增区间为k+,k+(kZ).故选B.评析本题主要考查三角函数图象变换及正弦函数性质,难度适宜.,3.(2014安徽,11,5分)若将函数f(x)=sin的图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称,则的最小正值是.,答案,解析根据题意设g(x)=f(x-)=sin,则g(x)的图象关于y轴对称,g(0)=1,即sin=1,-2+=k+(kZ),=-(kZ).当k=-1时,取最小正值,为.,答案C因为函数y=3sin+k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的最大值为3+5=8(m),选C.,2.(2015安徽,10,5分)已知函数f(x)=Asin(x+)(A,均为正的常数)的最小正周期为,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A.f(2)f(-2)f(0)B.f(0)f(2)f(-2)C.f(-2)f(0)f(2)D.f(2)0,f=-A,即sin=-1,得+=2k+,kZ,即=2k+,kZ,又0,可取f(x)=Asin,f(2)=Asin,f(-2)=Asin,f(0)=Asin.sin(-)=0,从而有0f(-2)f(0).故有f(2)0),02,又由x得+x+,当x时,x+0,-0)的部分图象如图所示,为了得到g(x)=Asinx的图象,只需将函数y=f(x)的图象()A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度,答案B由题图知A=2,=-=,T=,=2,f(x)=2cos(2x+),将代入得cos=1,-0,-0,所以的最小值为3,故选A.,4.(2018广东肇庆二模,14)函数f(x)=Asin(x+)(A,是常数,A0,0)的部分图象如图所示,则f的值是.,答案-,解析由图象可知A=,=-=,即T=,又知T=,=2,即函数f(x)=sin(2x+).由题意知f=-,即sin=-,sin=-1,+=2k+,kZ.=2k+(kZ),f(x)=sin=sin.f=sin=-.,考点二三角函数的性质及其应用1.(2018河北、河南重点中学第三次联考,7)若对于任意xR都有f(x)+2f(-x)=3cosx-sinx,则函数f(2x)图象的对称中心为()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ),答案D因为f(x)+2f(-x)=3cosx-sinx,所以f(-x)+2f(x)=3cosx+sinx.解得f(x)=cosx+sinx=sin,所以f(2x)=sin.令2x+=k(kZ),得x=-(kZ).所以f(2x)图象的对称中心为(kZ).,2.(2018安徽滁州二模,10)已知函数f(x)=sin(2x+)的最小正周期为T,将曲线y=f(x)向左平移个单位之后,得到曲线y=sin,则函数f(x)的一个单调递增区间为()A.B.C.D.,答案A曲线y=f(x)向左平移个单位后所得曲线的解析式为y=sin=sin,由题意知+=2k+(kZ),=2k-(kZ),又|,=-,因此函数f(x)=sin.令2k-2x-2k+(kZ),得k-xk+(kZ).函数f(x)的单调增区间为(kZ).令k=0,得函数f(x)的一个单调递增区间为,结合选项可知,故选A.,3.(2018广东汕头二模,8)将偶函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)(0)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,则g(x)在上的最小值是()A.-2B.-1C.-D.-,答案A由题意可知f(x)=2sin,函数f(x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,g(x)=2sin=2sin.函数f(x)=2sin为偶函数,+=k+(kZ),=k+(kZ).又0,=.g(x)=2sin.x,2x-,sin.g(x)-2,1,函数g(x)在上的最小值为-2,故选A.,4.(2018河北衡水中学、河南顶级名校3月联考,6)若函数f(x)=2asin(2x+)(0),a是不为零的常数,f(x)在R上的值域为-2,2,且在区间上是单调减函数,则a和的值是()A.a=1,=B.a=-1,=C.a=1,=D.a=-1,=,答案Bsin(2x+)-1,1,且f(x)-2,2,2|a|=2,a=1.当a=1时,f(x)=2sin(2x+),其最小正周期T=,f(x)在区间内单调递减,且-=,为半个周期,f(x)max=f=2sin=2,-=2k+(kZ),=2k+(kZ).又0,a=1不符合题意,舍去.当a=-1时,f(x)=-2sin(2x+)在上单调递减,f(x)max=f=-2sin=2,sin=-1,-=2k-(kZ),=2k+(kZ).又00,y=,当且仅当3tanx=时等号成立,故最大值为.,一、选择题(每题5分,共40分)1.(2018河南郑州一模,6)若将函数f(x)=3sin(2x+)(0)图象上的每一个点都向左平移个单位长度,得到g(x)的图象,若函数g(x)是奇函数,则函数g(x)的单调递增区间为()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ),B组20162018年高考模拟综合题组(时间:40分钟分值:55分),答案B由题意知g(x)=3sin=3sin,因为g(x)是奇函数,所以+=k(kZ),即=-+k(kZ),又00)的图象向右平移个单位得到函数g(x)=sin=sin的图象,由函数g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,可得,且当x=时,g(x)取得最大值,则,-=+2k,kZ,则6且=2+8k,kZ,结合0得=2.故选C.,思路分析根据平移变换的规律求解出g(x),根据函数g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减可得,且x=时,g(x)取得最大值,由此可求得正实数的值.,3.(2018清华大学自主招生3月能力测试,9)已知函数f(x)=sinx+cosx(xR),先将y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再将得到的图象上所有的点向右平移(0)个单位长度,得到的图象关于y轴对称,则的最小值为()A.B.C.D.,答案Bf(x)=sinx+cosx=2sin,将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得y=2sin的图象,再将得到的图象上所有的点向右平移(0)个单位长度,得y=2sin=2sin3x-3+的图象,由y=2sin的图象关于y轴对称得-3=k+(kZ),即=-(kZ).又0,故当k=-1时,取得最小值,故选B.,思路分析先化简f(x),再利用图象的平移变换规律得变换后的函数解析式,最后利用函数图象的对称性求得的表达式,从而结合的范围得的最小值.,规律总结对于y=Asin(x+)(A0,0)的图象,要使图象关于y轴对称,则只需=k+,kZ即可;要使图象关于原点对称,则只需=k,kZ即可.,4.(2018河北五个一联盟4月联考,10)已知函数f(x)=1+2cosxcos(x+3)是偶函数,其中,则下列关于函数g(x)=cos(2x-)的描述正确的是()A.g(x)在区间上的最小值为-1B.g(x)的图象可由函数f(x)的图象向上平移2个单位长度,再向右平移个单位长度得到C.g(x)的图象的一个对称中心是D.g(x)的一个单调递减区间是,答案C函数f(x)=1+2cosxcos(x+3)是偶函数,y=1,y=2cosx都是偶函数,y=cos(x+3)是偶函数,3=k,kZ,=,kZ,又00,-的图象关于直线x=对称,它的最小正周期是,则()A.f(x)的图象过点B.f(x)图象的一个对称中心是C.f(x)在上是减函数D.将f(x)的图象向右平移|个单位得到函数y=3sinx的图象,答案B因为函数的最小正周期为,所以=2,又函数的图象关于直线x=对称,所以2+=k+(kZ),即=k-(kZ),又-,所以=.函数的解析式为f(x)=3sin.当x=0时,f(0)=,故A不正确;当x=时,f(x)=0,所以函数f(x)图象的一个对称中心是,故B正确;当x,即2x+时,函数f(x)不是单调减函数,故C不正确;将f(x)的图象向右平移|个单位得到函数y=3sin(x+-|)的图象,故D不正确.故选B.,6.(2017河北石家庄一模,7)若函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)(0)的图象关于点对称,则函数f(x)在上的最小值是()A.-1B.-C.-D.-,答案Bf(x)=sin(2x+)+cos(2x+)=2sin,则由题意,知f=2sin=0,又因为0,所以+,所以+=2,所以=,所以f(x)=-2sin2x,又因为函数f(x)在上是减函数,所以函数f(x)在上的最小值为f=-2sin=-,故选B.,答案D由题图知A=1,函数f(x)的最小正周期T=2=,所以=,即=2,所以f(x)=sin(2x+),又因为点在图象的上升段上,所以-+=2k(kZ),所以=2k+(kZ),又|,所以=,故f(x)=sin,可知在上,函数f(x)的图象关于x=对称,因为x1,x2,f(x1)=f(x2),所以x1+x2=,所以f(x1+x2)=f=sin=.故选D.,思路分析先求出f(x)的解析式,进而得出函数f(x)在上的图象关于x=对称,再由f(x1)=f(x2)可得x1+x2=,代入f(x)的解析式即可求出f(x1+x2)的值.,方法点拨根据三角函数的图象求y=Asin(x+)+B的解析式,主要是求四个数值A,和B,其中A和B是由函数图象的最高点和最低点确定的,是由函数的周期确定的,是由图象的具体位置确定的.,8.(2016安徽江南十校3月联考,9)已知函数f(x)=sin(x+)的最小正周期为4,且对任意xR,都有f(x)f成立,则f(x)图象的一个对称中心的坐标是()A.B.C.D.,答案A由f(x)=sin(x+)的最小正周期为4,得=.因为f(x)f恒成立,所以f(x)max=f,则+=+2k(kZ),=+2k(kZ),由|,得=,故f(x)=sin.令x+=k(kZ),得x=2k-(kZ),故f(x)图象的对称中心为