数学人教版八年级上册最短路程.ppt

第十三章轴对称,13.4课题学习最短路径问题,庄河十二中王乃先,复习引入,线段公理：两点之间，线段最短.,垂线段性质：垂线段最短.,B,问题1,如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？,思考：你能把这个问题转化为数学问题吗？,A,B,l,l,当点C在直线l的什么位置时，AC与BC的和最小？,分析：,A,B,l,如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？,联想：,两点之间，线段最短.,？,l,（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？（2）我们能否把A、B两点转化到直线l的异侧呢？转化需要遵循的原则是什么？（3）利用什么知识可以实现转化目标？,分析：,l,l,l,如下左图，作点B关于直线l的对称点B.当点C在直线l的什么位置时，AC与CB的和最小？,如上右图，在连接AB两点的线中，线段AB最短.因此，线段AB与直线l的交点C的位置即为所求.,l,在直线l上任取另一点C，连接AC、BC、BC直线l是点B、B的对称轴，点C、C在对称轴上，BC=BC，BC=BCAC+BC=AC+BC=AB在ABC中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC，即AC+BC最小,l,证明：如图.,问题1归纳“一线两点”,问题2,（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）,思考：你能把这个问题转化为数学问题吗？,如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么折线AMNB在什么情况下最短呢？,分析：,a,b,由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.,分析：,l,如左图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A，使AA等于河宽，则AA=MN，AM=AN，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？,参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.,如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A，使AA等于河宽，连接AB交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.,a,b,解：,另任意造桥MN，连接AM、BN、AN.,由平移性质可知，AMAN，AMAN，AAMNMN.,AM+MN+BNAA+AB，AM+MN+BNAA+AN+BN.,在ANB中，由线段公理知AN+BNAB，,AM+MN+BNAM+MN+BN.,证明：,a,b,问题2归纳,小结归纳,转化,轴对称变换,平移变换,两点之间，线段最短.,如图，A为马厩，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到马厩.请你帮他确定这一天的最短路线.,课堂练习,已知：如图，在l1、l2之间有一点A.,求作：分别在l1、l2上确定一点M、N，使AM+MN+NA最小.,如图，作点A关于l1和l2的对称点A1、A2，连接A1A2，交l1于M点，交l2于N点.连接AM和AN，则AM+MN+NA最小.因此，那天这样走路线最短.,方法归纳：“两线一点”要作两次轴对称,课堂小结,教材复习题13第15题.,课后作业,1.必做作业,你也许很喜欢台球，在玩台球过程中也用到数学知识.如图，四边形ABCD是长方形的球桌台面，有两个球分别位于P、Q两点上，先找出P点关于BC的对称点P，连接PQ交BC于M点，则P