三视图、垂直关系的证明答案

三视图、垂直关系的证明1.（2010天津）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_.2.一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（） A B C D3.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_.4.一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧面积为_cm2，体积为_cm35.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（） A1/2 B1 C3/2 D26一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧(左)视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于()A. B. C. D.7一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于()A4 B6C8 D128.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.48 B.32+ C.48+ D.809.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）. . 10. 如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 A. B. C. D. 11.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A. 82/3 B.8/3 C. 82 D. 2/312.某几何体的三视图如图所示，该几何体四个面的面积中最大的是A. B. C. D.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 A. B. C. D.14.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于( )A. B. C. D.15. 如图1，为正三角形，且，则多面体的正视图(也称主视图)是 ( )16. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。16如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 .17.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。18. 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为： 19.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）（A）2（B）1（C）（D）PADEBC20如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上（）求证：平面AEC平面PDB； （）当PD=AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力（）四边形ABCD是正方形，ACBD，PD底面ABCD，PDAC，AC平面PDB，平面AEC平面PDB（）设ACBD=O，连接OE， 由（）知AC平面PDB于O，AEO为AE与平面PDB所的角，O，E分别为DB、PB的中点，OE/PD，OE=1/2PD，又PD底面ABCD，OE底面ABCD，OEAO，在RtAOE中，AOE=45，即AE与平面PDB所成的角的大小为45.【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz， 设AB=a，PD=h则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D（0，0，0），P（0，0，h），（），ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面AEC平面PDB.（）当PD=AB且E为PB的中点时， 设ACBD=O，连接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO为AE与平面PDB所的角， ，AOE=45，即AE与平面PDB所成的角的大小为45.21如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA=AB，ABC=60，BCA=90，点D，E分别在棱PB，PC上，且DEBC（）求证：BC平面PAC；（）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小；PADEBC（）是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力（）PA底面ABC，PABC.又BCA=90，ACBC.BC平面PAC.（）D为PB的中点，DE/BC，DE=1/2BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，PA底面ABC，PAAB，又PA=AB，ABP为等腰直角三角形，在RtABC中，ABC=60，.在RtADE中，AD与平面PAC所成的角的大小.（）AEBC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角ADEP的平面角，PA底面ABC，PAAC，PAC=90.在棱PC上存在一点E，使得AEPC，这时AEP=90，故存在点E使得二面角ADEP是直二面角.【解法2】如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，PADEBC设PA=a，由已知可得.（），BCAP.又BCA=90，BCAC，BC平面PAC.（）D为PB的中点，DEBC，E为PC的中点，又由（）知，BC平面PAC， DE平面PAC，垂足为点EDAE是AD与平面PAC所成的角，.AD与平面PAC所成的角的大小.（）同解法1.22如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB= AA1D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE AEE A B C A1 B1 C1 D （1）证明平面ADE平面ACC1A1；（2）求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。 解 （I） 如图所示，由正三棱柱ABCA1B1C1的性质知AA1平面A1B1C1又DE平面A1B1C1，所以DEAA1而DEAE。AA1AE=A所以DE平面ACC1A1，又DE平面ADE，故平面ADE平面ACC1A1。E A B C A1 B1 C1 D H F （2）解法1 如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- A1B1C1的性质及D是A1B的中点知A1BC1D， A1BDF 又C1DDF=D，所以A1B平面C1DF，而ABA1B，所以AB平面C1DF，又AB平面ABC，故平面ABC1平面C1DF。过点D做DH垂直C1F于点H，则DH平面ABC1。 连接AH，则HAD是AD和平面ABC1所成的角。由已知AB=AA1，不妨设AA1=，则AB=2，DF=，DC1=，C1F=，AD=，DH=，所以 sinHAD=。即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为。解法2 如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA1=，则AB=2，相关各点的坐标分别是A(0,-1,0)， B（，0，0）， C1（0，1，）， D（，-，）。易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，） 设平面ABC1的法向量为n=（x，y，z）,则有解得x=-y， z=-，故可取n=(1，-，)。所以，(n)=。由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为。E A B C A1 B1 C1 D 23如图3，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=4, AA1=，点D是BC的中点，点E在AC上，且DEA1E（）证明：平面A1DE平面ACC1A1; （）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值。解:（）如图所示，由正三棱柱ABCA1B1C1的性质知A1A平面ABC.又DE平面ABC，所以DEA1A，而DEA1E，A1AA1E = A1,E A B C A1 B1 C1 D F 所以DE平面ACC1A1.又DE 平面A1DE，故平面A1DE平面ACC1A1.（）解法 1: 过点A作AF垂直A1E于点F,连接DF，由（）知，平面A1DE平面ACC1A1，所以AF平面A1DE，故ADF是直线AD和平面A1DE所成的角。 因为DE ACC1A1，所以DEAC而ABC是边长为4的正三角形，于是AD=，AE=4CE=4=3又因为，所以A1E= = 4, , .即直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为 .解法2 : 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A(2，0，0，)， A1 (2，0，)，D(-1, ，0), E(-1，0，0) 易知=（-3，-），=（0，-，0），=（-3，0）.设是平面A1DE的一个法向量，则解得.故可取.于是 = . 由此即知，直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为 .24 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D B1C DFEC1B1CABA1求证：（1）EF平面ABC； （2）平面A1FD平面BB1C1C【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。【解析】证明：（1）因为E、F分别是A1B、A1C的中点，所以EFBC，又EF平面ABC， BC平面ABC，所以EF平面ABC；（2）因为直三棱柱ABCA1B1C1，所以B1B平面A1B1C1，B1BA1D，又A1DB1C，所以A1D平面BB1C1C，又A1D平面A1FD，所以平面A1FD平面BB1C1C10【2009宁夏海南卷文18】（满分12分）如图，在三棱锥PABC中，PAB是等边三角形，PAC=PBC=90 （）证明：ABPC；PABC（）若PC=4，且平面PAC平面PBC，求三棱锥PABC体积。解：（）因为PAB是等边三角形，PAC=PBC=90,所以RtPBCRtPAC，可得AC=BC。如图，取AB中点D，连结PD，CD,则PDAB，CDAB,所以AB平面PDC所以ABPC。 6分 （）作BEPC，垂足为E，连结AE因为RtPBCRtPAC，所以AEPC，AE=BE由已知，平面PAC平面PBC，故AEB=908分因为RtPEBRtAEB，所以AEB ，PEB ，CEB都是等腰直角三角形。由已知PC=4，得AE=BE=2， AEB的面积S=2因为PC平面AEB，所以三角锥PABC的体积V=1/3SPC=8/3 .12分PADEBC25如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ADCD，且DB平分ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，DB=2（）证明：PA平面BDE；（）证明AC平面PBD；（）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值【解析】 证明：设AC与BD交于H，连结EH，在ADC中，因为AD=CD，且DB平分ADC，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故EHPA,又HE平面BDE，PA平面BDE，所以PA平面BDE（2）证明：因为PD平面ABCD，AC平面ABCD，所以PDAC，由（1）知，BDAC，PDBD=D，故AC平面PBD(3)解：由AC平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以CBH为直线与平面PBD所成的角。由ADCD，AD=CD=1，BD=2，可得DH=CH=，BH=在RtBHC中，所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为。26如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，EFPADBCPA平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是（D） APBAD