第十章第二节典型一阶微分方程

第二节一阶微分方程,含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.,微分方程中未知函数的的导数的最高阶数称为微分方程的阶。,、微分方程、,微分方程的阶,2、线性微分方程与非线性微分方程,如果微分方程中所含的未知函数及未知函数的,各阶导数都是一次的，称为线性微分方程。,不是线性方程的微分方程，称为非线性微分方程。,一、微分方程的基本概念,复习,3、微分方程的解、通解、特解,如果把一个函数代入微分方程后，,则称此函数为微分方程的解.,若微分方程的解中含有独立的任意常数,通解:,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，,则称这样,的解为微分方程的通解。,或确定了通解中任意常数以后的解.,特解:,把微分方程中不含任意常数的解，,复习,解:,（1）分离变量;,（2）两端积分-隐式通解.,第二节一阶微分方程,根据微分方程本身的特点，一阶微分方程可分为以下几种基本类型：,1.可分离变量的微分方程,2.齐次微分方程,4.一阶线性微分方程,5.贝努利微分方程,一阶微分方程的基本类型要熟练掌握，其它类型的一阶方程往往可以通过变量代换或交换x、y的位置化为基本类型解决。,主要研究,第二节一阶微分方程,3.可化为齐次方程的方程,6.全微分方程,一阶微分方程的初值问题为,一阶微分方程的基本形式为,或,第二节一阶微分方程,微分方程的初等解法:,求解微分方程,求积分,(通解可用初等函数或积分表示),初等积分法,第二节一阶微分方程,1、定义：,形如,的一阶微分方程，,称为已分离变量的微分方程.,形如,的一阶微分方程，,称为可分离变量的微分方程.,（1）,（2）,一、可分离变量的微分方程,方程的主要特征：,可分解成变量x的函数与变量y的函数之积.,等式左端为一阶导数，,等式右端,第二节一阶微分方程,2、解法,为微分方程（2）的通解,分离变量,（分离变量法）,（2）,则由（2）可得，,两端积分得，,(隐式通解）.,一、可分离变量的微分方程,分离变量法,两边积分,分离变量,积分得通解,一、可分离变量的微分方程,解,（C为任意常数）.,例1,一、可分离变量的微分方程,则原方程的通解为,解,分离变量得,于是,两端积分,（C为任意常数）.,例2,一、可分离变量的微分方程,例3,解,将方程变形分离变量得,（C为任意常数）.,一、可分离变量的微分方程,例4,求解微分方程,Solution:分离变量得,两边积分,从而,例5,一、可分离变量的微分方程,例5,解,一、可分离变量的微分方程,由题设条件,衰变规律,解,一、可分离变量的微分方程,二、齐次微分方程,形如,微分方程的右端为齐次函数.,若这里t为任意,则称为齐次函数）,例下列方程为齐次微分方程.,定义,称为齐次微分方程.,实数，,（齐次函数是指：,齐次微分方程的特点：,的微分方程，,第二节一阶微分方程,可分离变量的方程,(化为可分离变量的微分方程),（4）,齐次微分方程的解法,对齐次微分方程,即,作变量代换,两边求导得,将其代入原方程，,得,(变量替换法),求出积分后，,即得原方程的解。,分离变量得,它的通解为,二、齐次方程,1、可分离变量的微分方程:,小结,分离变量法,作业P3841(1)(4)，4（1）,微分方程的解、,通解、,特解,一、微分方程的基本概念,二、一阶微分方程的求解,变量替换法,2、齐次方程:,第二节一阶微分方程,1.可分离变量的微分方程,2.齐次微分方程,3.一阶线性微分方程,1、可分离变量的微分方程:,复习,分离变量法,一阶微分方程的求解,变量替换法,2、齐次方程:,第二节一阶微分方程,1.可分离变量的微分方程,2.齐次微分方程,3.一阶线性微分方程,例1求微分方程的通解,作变量代换,即,分离变量取积分，得,求不定积分，得,即,将回代，,解,即,则,得到原方程的通解为,二、齐次方程,例2求微分方程的通解.,解,即,分离变量取积分，得,求不定积分，得,即,将回代，,作变量代换,即,则,得到原方程的通解为,原方程可写为,二、齐次方程,解,原方程可改写成,代入原方程得,分离变量得,两边积分得,则原方程的通解为,例3,二、齐次方程,例4求解微分方程,微分方程的通解为,解,二、齐次方程,例5,Solution.,二、齐次方程,二、齐次方程,例5.,三、一阶线性微分方程,形如,一阶线性微分方程.,的微分方程,也称为与方程,相对应的一阶齐次线性微分方程。,定义,或称齐次线性方程,为非齐次线性方程的特殊情况。,称为,上方程称为一阶齐次线性方程.,上方程称为一阶非齐次线性方程.,特点,“一阶”：未知函数的导数为一阶.,“线性”：未知函数及其导数都是一次.,例,一阶齐次线性方程,一阶非齐次线性方程,三、一阶线性微分方程,（一）一阶齐次线性微分方程的求解,（一）一阶齐次线性微分方程的求解,求齐次线性方程的通解.,（C为任意常数）,(使用分离变量法),（通解公式）,三、一阶线性微分方程,解2,将方程两边同除以x，得,这是一个齐次线性方程，,代入通解公式得,例1,（用分离变量法）,解1,（公式法）,（通解公式）,例2,三、一阶线性微分方程,例2,解,这是一个齐次线性方程，,代入通解公式得,三、一阶线性微分方程,例3,（二）一阶非齐次线性微分方程的求解,求非齐次线性方程的通解.,（二）一阶非齐次线性微分方程的求解,的特殊情况，,我们可设想将齐次,线性方程通解式中的常数C换成待定函数,有可能是非齐次线性方程,即,的解。,下面我们研究这种方法的可行性。,三、一阶线性微分方程,将上式变形为,两边积分,为非齐次方程通解形式,与齐次线性方程通解相比:,求非齐次线性方程的通解.,则,由此，引入求解一阶非齐次线性方程的,常数变易法。,（二）一阶非齐次线性微分方程的求解,求非齐次线性方程的通解.,设,将其对x求导,得,是非齐次方程的解,将上式积分，得,其中u(x),为待定.,（二）一阶非齐次线性微分方程的求解,上式即为非齐次线性微分方程的通解.,(通解公式),（二）一阶非齐次线性微分方程的求解,得非齐次线性方程的通解,常数变易法,把齐次线性方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,一阶非齐次线性微分方程的通解可写为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,结论：,一阶非齐次线性方程的通解是对应的齐次,线性方程的通解与其自身的一个特解之和。,以后还会,看到，这个结论对于高阶非齐次线性方程亦成立。,（二）一阶非齐次线性微分方程的求解,一阶非齐次线性微分方程的两种求解方法,方法一：常数变易法,（1）求齐次方程的通解,（2）将齐次方程通解中的常数变易为函数,（3）变易后的函数代入非齐次方程中确定,（*）,（4）函数代入（*）式得非齐次通解,求非齐次线性方程的通解.,方法二：公式法,（1）将给定方程变为标准方程形式,（2）确定方程中的,（3）将代入方程的通解公式中,（4）积分得非齐次线性微分方程通解.,一阶非齐次线性微分方程的两种求解方法,注意:,类似地，对于以x为函数的一阶非齐次线性方程,同时也有常数变易法.,（二）一阶非齐次线性微分方程的求解,解,例1,第一步，求相应的齐次线性方程的通解,（二）一阶非齐次线性微分方程的求解,第二步，常数变易法求非齐次方程的通解,解,第二步，常数变易法求非齐次方程的通解,例1,（二）一阶非齐次线性微分方程的求解,例2,解法1（常数变易法）,所以,（二）一阶非齐次线性微分方程的求解,故得原线性非齐次微分方程的通解为,（二）一阶非齐次线性微分方程的求解,例2,解法2公式法,将其代入公式通解公式，得通解,例3,例3,解,代入通解公式，,得通解,（二）一阶非齐次线性微分方程的求解,例4,则方程可改写为,解,对于未知函数x(y为自变量)来说，,其通解公式为,性非齐次方程,上式方程为一阶线,由方程变为,则显然不是线性微分方程.,（二）一阶非齐次线性微分方程的求解,这里,将其代入通解公式，,得所求方程的通解为,例5,解,方程化为,其中,（二）一阶非齐次线性微分方程的求解,所以,（二）一阶非齐次线性微分方程的求解,例6,解,代入通解公式得,将,（二）一阶非齐次线性微分方程的求解,将方程标准化为,于是,由初始条件,故所求特解为,得,例7,解,的特解.,（二）一阶非齐次线性微分方程的求解,例8如图所示，平行于轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.,两边求导得,解,解此微分方程,即,（二）一阶非齐次线性微分方程的求解,所求曲线为,（二）一阶非齐次线性微分方程的求解,四、利用变量代换求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解为,第二节一阶微分方程,例10用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,贝努利方程,第二节一阶微分方程,解,分离变量法得,所求通解为,第二节一阶微分方程,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,（一阶线性微分方程）,第二节一阶微分方程,（1）分离变量;,（2）两端积分-隐式通解.,1、可分离变量的微分方程:,2、齐次方程,分离变量法,替换分离法,小结,典型的一阶微分方程求解方法,即得原方程的解。,求出它的通解后,（初等积分法）,3、一阶线性微分方程,（通解公式）,公式法,分离变量法,求非齐次线性方程的通解.,公式法,（通解公式）,常数变易法,作业P3842(3,5),3(1,3,6);4(5),7,典型的一阶微分方程求解方法,（初等积分法）,思考题,1.求解微分方程,2.方程,是否为齐次方程?,第二节一阶微分方程,思考题解答,为所求解.,第二节一