可降阶的高阶微分方程

,可降阶高阶微分方程,第五节,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,第七章,代入原方程,得,解法：,特点：,P(x)的(n-k)阶方程,可得通解.,一、型,例1.,解:,解,代入原方程,解线性方程,得,两端积分,得,原方程通解为,例2,例.质量为m的质点受力F的作用沿ox轴作直线,运动,在开始时刻,随着时间的增大,此力F均匀地减,直到t=T时F(T)=0.,如果开始时质点在原点,解:据题意有,t=0时,设力F仅是时间t的函数:F=F(t).,小,求质点的运动规律.,初初速度为0,且,对方程两边积分,得,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,例3.,例4.,例5.求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,例.,绳索仅受,重力作用而下垂,解:取坐标系如图.,考察最低点A到,(:密度,s:弧长),弧段重力大小,按静力平衡条件,有,故有,设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?,任意点M(x,y)弧段的受力情况:,两式相除得,则得定解问题:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,悬链线,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,解,代入原方程得,原方程通解为,例6,例7.解初值问题,解:令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,M:地球质量m:物体质量,例.,静止开始落向地面,求它落到地面时的速度和所需时间,(不计空气阻力).,解:如图所示选取坐标系.,则有定解问题:,代入方程得,积分得,一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由,两端积分得,因此有,注意“”号,由于y=R时,由原方程可得,因此落到地面(y=R)时的速度和所需时间分别为,说明:若此例改为如图所示的坐标系,解方程可得,问:此时开方根号前应取什么符号?说明道理.,则定解问题为,为曲边的曲边梯形面积,上述两直线与x轴围成的三角形面,例.,二阶可导,且,上任一点P(x,y)作该曲线的,切线及x轴的垂线,区间0,x上以,解:,于是,在点P(x,y)处的切线倾角为,满足的方程.,积记为,(99考研),再利用y(0)=1得,利用,得,两边对x求导,得,定解条件为,方程化为,利用定解条件得,得,故所求曲线方程为,特点,解法：,类似于全微分方程可降低一阶,再设法求解这个方程.,四、恰当导数方程,解,将方程写成,积分后得通解,注意:,这一段技巧性较高,关键是配导数的方程.,例8,解,从而通解为,例9,另解,原方程变为,两边积分,得,原方程通解为,解,原方程通解为,代入原方程,得,补充题:,特点：,解法：,五、齐次方程,解,代入原方程,得,原方程通解为,例10,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,六、小结,思考题,思考题解答,都是微分方程的解,是对应齐次方程的解,常数,所求通解为,思考与练习,1.方程,如何代换求解?,答:令,或,一般说,用前者方便些.,均可.,有时用后者方便.,例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?,答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.,(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.,练习题,练习题答案,速度,大小为2v,方向指向A,提示:设t时刻B位于(x,y),如图所示,则有,去分母后两边对x求导,得,又由于,设物体A从点(0,1)出发,以大小