数学人教版八年级下册18.1 勾股定理 .ppt

18.1勾股定理,庐江县金牛镇初级中学邢世良327964359,这是2002年北京国际数学家大会会徽的图案,活动1:认一认,你听说过勾股定理吗？,这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”,你们知道这个图案的名字和来历吗?,活动2：议一议,相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了等腰直角三角形三边的某种数量关系,我们也来观察右图中的地面，看看有什么发现？,1、每个三角形是等腰直角三角形，且全等。,2、两个等腰直角三角形构成一个小正方形。四个等腰直角三角形构成一个大正方形。,3、小正方形以等腰直角三角形的直角边为边长。大正方形以等腰直角三角形的直角边为边长。,4、两个小正方形面积的和等于一个大正方形的面积。,在等腰直角三角形中，两条直角边的平方等于斜边的平方。,由以上信息我们可以看出：,那么在一般的直角三角形中呢？也满足直角边的平方和等于斜边的平方吗？,1观察图1-1（图中每个小方格代表一个单位面积）,正方形A中含有个小方格，即A的面积是个单位面积,正方形B的面积是个单位面积,正方形C的面积是个单位面积,9,9,18,你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流交流,1,2,9,继续,活动3：试一试,图11,分割成若干个直角边为整数的三角形,返回,分割求和法,把C看成边长为6的正方形面积的一半,返回,补全求差法,2观察右边两个图并填写下表：,16,9,25,4,9,13,你是怎样得到表中的结果的？与同伴交流交流,3三个正方形A，B，C面积之间有什么关系？,SA+SB=SC,即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积,活动4：想一想,动画演示,4你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴交流,5分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度第4题中的关系对这个三角形仍然成立吗？,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证明到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种之多下面我们就来看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的,活动5：总结归纳,看左边的图案，这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（黄色）,活动6：做一做,赵爽弦图的证法,化简得：c2=a2+b2,两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明因此不断出现关于勾股定理的新证法,美国第20任总统茄菲尔德的证法,刘徽的证法,勾股定理的证明,其他证法,传说中毕达哥拉斯的证法,从以上各种证明方法中，你有什么启示？,采取拼补图形的方法借助面积相等加以证明的,继续,刘徽在九章算术中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开方除之，即弦也,令正方形ABCD为朱方，正方形BEFG为青方在BG间取一点H，使AH=BG，裁下ADH，移至CDI，裁下HGF，移至IEF，是为“出入相补，各从其类”，其余不动，则形成弦方正方形DHFI勾股定理由此得证,刘徽的证法,返回,动画演示,美国第二十任总统伽菲尔德,总统巧证勾股定理,返回,向常春的证明方法,注:这一方法是向常春于1994年3月20日构想发现的新法,返回,我们用拼图的方法来说明勾股定理是正确的,证明:上面的大正方形的面积为：下面大的正方形的面积为：从右图中我们可以看出，这两个正方形的边长都是ab，所以面积相等，即,拼图法,返回,S矩形ADNM2SADC又正方形ACHK和ABK同底（AK）、等高（即平行线AK和BH间的距离），S正方形ACHK2SABKADAB，ACAK，CADKAB，ADCABK由此可得S矩形ADNMS正方形ACHK同理可证S矩形MNEBS正方形CBFGS矩形ADNMS矩形MNEBS正方形ACHKS正方形CBFG即S正方形ADEBS正方形ACHKS正方形CBFG，也就是a2+b2=c2,传说中毕达哥拉斯的证法,证明：从RtABC的三边向外各作一个正方形（如图），作CNDE交AB于M，那么正方形ABED被分成两个矩形连结CD和KB,返回,由于矩形ADNM和ADC同底（AD），等高(即平行线AD和CN间的距离)，,勾股定理,如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”所以对于直角三角形这样一个性质，称之为“勾股定理”。,为什么叫勾股定理呢？,勾三股四弦五,你知道吗？,活动7：,商高定理,商高是公元前十一世纪的西周人在中国古代的数学著作周髀算经中记录着商高同周公的一段对话商高说：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五”意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以在我国人们就把这个定理叫作“商高定理”关于勾股定理的发现，周髀算经上说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也”“此数”指的是“勾三股四弦五”，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的比毕达哥拉斯早500多年。,你知道吗？,毕达哥拉斯发现了勾股定理后高兴异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理又叫做“百牛定理”勾股定理流传最广的证明载于欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）的几何原本中，欧几里德在编著几何原本时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成这张邮票也是为了纪念勾股定理这个伟大的发现,1955年希腊发行的印有勾股定理图案的邮票,百牛定理,“勾股定理”在国外，尤其在西方被称为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理”,你知道吗？,小结：,活动8：课堂小结，布置作业,布置作业：,1、勾股定理从边的角度刻画了直角三角形的又一个特