【真题】2015年高考数学（理科）课标卷Ⅰ（Word版含答案解析）.doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数z满足1+z1-z=i,则|z|=()A.1B.2C.3D.22.sin20cos10-cos160sin10=()A.-32B.32C.-12D.123.设命题p:nN,n22n,则p为()A.nN,n22nB.nN,n22nC.nN,n22nD.nN,n2=2n4.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3125.已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1MF20,则y0的取值范围是()A.-33,33B.-36,36C.-223,223D.-233,2336.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛7.设D为ABC所在平面内一点,BC=3CD,则()A.AD=-13AB+43ACB.AD=13AB-43ACC.AD=43AB+13ACD.AD=43AB-13AC8.函数f(x)=cos(x+)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A.k-14,k+34,kZB.2k-14,2k+34,kZC.k-14,k+34,kZD.2k-14,2k+34,kZ9.执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=()A.5B.6C.7D.810.(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.6011.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20,则r=()A.1B.2C.4D.812.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,an2+2an=4Sn+3.()求an的通项公式;()设bn=1anan+1,求数列bn的前n项和.18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD为菱形,ABC=120,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF,AEEC.()证明:平面AEC平面AFC;()求直线AE与直线CF所成角的余弦值.19.(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.xywi=18(xi-x)2i=18(wi-w)2i=18(xi-x)(yi-y)i=18(wi-w)(yi-y)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=xi,w=18i=18wi.()根据散点图判断,y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)()根据()的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;()已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据()的结果回答下列问题:(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回归直线v=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为=i=1n(ui-u)(vi-v)i=1n(ui-u)2,=v-u.20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=x24与直线l:y=kx+a(a0)交于M,N两点.()当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;()y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPM=OPN?说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+ax+14,g(x)=-lnx.()当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线?()用minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,AB是O的直径,AC是O的切线,BC交O于点E.()若D为AC的中点,证明:DE是O的切线;()若OA=3CE,求ACB的大小.23.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.()求C1,C2的极坐标方程;()若直线C3的极坐标方程为=4(R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.24.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0.()当a=1时,求不等式f(x)1的解集;()若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)一、选择题1.A由已知1+z1-z=i,可得z=i-1i+1=(i-1)2(i+1)(i-1)=-2i-2=i,|z|=|i|=1,故选A.2.D原式=sin 20cos 10+cos 20sin 10=sin(20+10)=sin 30=12,故选D.3.C根据特称命题的否定为全称命题,知p:nN,n22n,故选C.4.A该同学通过测试的概率P=C320.620.4+0.63=0.432+0.216=0.648,故选A.5.A若MF1MF2=0,则点M在以原点为圆心,半焦距c=3为半径的圆上,则x02+y02=3,x022-y02=1,解得y02=13.可知:MF1MF20点M在圆x2+y2=3的内部y02t;第二次循环:S=12-14=14,m=18,n=2,St;第三次循环:S=14-18=18,m=116,n=3,St;第四次循环:S=18-116=116,m=132,n=4,St;第五次循环:S=116-132=132,m=164,n=5,St;第六次循环:S=132-164=164,m=1128,n=6,St;第七次循环:S=164-1128=1128,m=1256,n=7,此时不满足St,结束循环,输出n=7,故选C.10.C(x2+x+y)5=(x2+x)+y5的展开式中只有C52(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为C52C31=30,故选C.11.B由已知可知,该几何体的直观图如图所示,其表面积为2r2+r2+4r2+2r2=5r2+4r2.由5r2+4r2=16+20,得r=2.故选B.12.D由f(x0)0,即ex0(2x0-1)-a(x0-1)0得ex0(2x0-1)a(x0-1).当x0=1时,得e1,则aex0(2x0-1)x0-1.令g(x)=ex(2x-1)x-1,则g(x)=2xexx-32(x-1)2.当x1,32时,g(x)0,g(x)为增函数,要满足题意,则x0=2,此时需满足g(2)ag(3),得3e2a52e3,与a1矛盾,所以x01.因为x01,所以a0,g(x)为增函数,当x(0,1)时,g(x)0,g(x)为减函数,要满足题意,则x0=0,此时需满足g(-1)ag(0),得32ea1(满足a1).故选D.评析本题主要考查导数的应用及分类讨论思想,分离参变量是解决本题的关键,本题综合性较强,属难题.二、填空题13.答案1解析由已知得f(-x)=f(x),即-xln(a+x2-x)=xln(x+a+x2),则ln(x+a+x2)+ln(a+x2-x)=0,ln(a+x2)2-x2=0,得ln a=0,a=1.14.答案x-322+y2=254解析由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分线的方程为2x-y-3=0.令y=0,得x=32,所以圆心坐标为32,0,则半径r=4-32=52.故该圆的标准方程为x-322+y2=254.评析本题考查圆和椭圆的方程,求出圆心坐标是解题关键.15.答案3解析由约束条件画出可行域,如图.yx的几何意义是可行域内的点(x,y)与原点O连线的斜率,所以yx的最大值即为直线OA的斜率,又由x-1=0,x+y-4=0得点A的坐标为(1,3),则yxmax=kOA=3.16.答案(6-2,6+2)解析依题意作出四边形ABCD,连结BD.令BD=x,AB=y,CDB=,CBD=.在BCD中,由正弦定理得2sin=xsin75.由题意可知,ADC=135,则ADB=135-.在ABD中,由正弦定理得xsin75=ysin(135-).所以ysin(135-)=2sin,即y=2sin(135-)sin=2sin90-(-45)sin=2cos(-45)sin=2(cos+sin)sin.因为075,+75=180,所以300,可得an+1-an=2.又a12+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.(6分)()由an=2n+1可知bn=1anan+1=1(2n+1)(2n+3)=1212n+1-12n+3.设数列bn的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+bn=1213-15+15-17+12n+1-12n+3=n3(2n+3).(12分)18.解析()连结BD.设BDAC=G,连结EG,FG,EF.在菱形ABCD中,不妨设GB=1.由ABC=120,可得AG=GC=3.由BE平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.又AEEC,所以EG=3,且EGAC.在RtEBG中,可得BE=2,故DF=22.在RtFDG中,可得FG=62.在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=2,DF=22,可得EF=322.从而EG2+FG2=EF2,所以EGFG.又ACFG=G,可得EG平面AFC.因为EG平面AEC,所以平面AEC平面AFC.(6分)()如图,以G为坐标原点,分别以GB,GC的方向为x轴,y轴正方向,|GB|为单位长,建立空间直角坐标系G-xyz.由()可得A(0,-3,0),E(1,0,2),F-1,0,22,C(0,3,0),所以AE=(1,3,2),CF=-1,-3,22.(10分)故cos=AECF|AE|CF|=-33.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为33.(12分)评析本题考查了线面垂直的判定和性质、面面垂直的判定、异面直线所成的角.建立适当的空间直角坐标系,利用空间向量的有关公式是求解的关键.证明“EG平面AFC”是解题的难点.本题属中等难度题.19.解析()由散点图可以判断,y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2分)()令w=x,先建立y关于w的线性回归方程.由于d=i=18(wi-w)(yi-y)i=18(wi-w)2=108.81.6=68,c=y-d w=563-686.8=100.6,所以y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为y=100.6+68x.(6分)()(i)由()知,当x=49时,年销售量y的预报值y=100.6+6849=576.6,年利润z的预报值z=576.60.2-49=66.32.(9分)(ii)根据()的结果知,年利润z的预报值z=0.2(100.6+68x)-x=-x+13.6x+20.12.所以当x=13.62=6.8,即x=46.24时,z取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.(12分)20.解析()由题设可得M(2a,a),N(-2a,a)或M(-2a,a),N(2a,a).又y=x2,故y=x24在x=2a处的导数值为a,C在点(2a,a)处的切线方程为y-a=a(x-2a),即ax-y-a=0.y=x24在x=-2a处的导数值为-a,C在点(-2a,a)处的切线方程为y-a=-a(x+2a),即ax+y+a=0.故所求切线方程为ax-y-a=0和ax+y+a=0.(5分)()存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2=k(a+b)a.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故OPM=OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分)21.解析()设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)=0,f (x0)=0,即x03+ax0+14=0,3x02+a=0.解得x0=12,a=-34.因此,当a=-34时,x轴为曲线y=f(x)的切线.(5分)()当x(1,+)时,g(x)=-ln x0,从而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,故h(x)在(1,+)