2020年高中数学选修 极坐标方程 知识点总结+经典题型汇总（含答案解析）.doc

极坐标方程【学习目标】1能在极坐标系中用极坐标表示点的位置2理解在极坐标系中和直角坐标系中表示点的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化3能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程【要点梳理】要点一、极坐标系和点的极坐标1. 极坐标系定义（1）在平面内取一定点O，由点O引出一条射线Ox，并确定一个长度单位和度量角度的正方向（通常取逆时针方向），这就构成一个极坐标系，定点O叫做极点，射线Ox叫做极轴要点诠释： 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 2. 点的极坐标 在极坐标系中，平面上任意一点P的位置可以由OP的长度和从Ox轴旋转到OP的角度来确定，（，）叫做点P的极坐标，叫做点P的极径，叫做点P的极角极点的极坐标为（0，），其中可以取任何值 要点诠释：（1）极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角的始边是极轴，它的终边随着的大小和正负而取得各个位置；的正方向通常取逆时针方向，的值一般是以弧度为单位的数量；点M的极径表示点M与极点O的距离|OM|，因此0；但必要时，允许0 （2）在极坐标系中，与给定的极坐标（，）相对应的点的位置是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个如一点的极坐标是（，）（0），那么这一点也可以表示为（，）或（，）（其中n为整数） 一般情况下，我们取极径0，极角为02（或0） 如果我们规定0，02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系3相关点的极坐标 （1）同一个点：如极坐标系中点，由终边相同的角的定义可知上述点的终边相同，并且与极点的距离相等，这样，它们就表示平面上的同一个点，实际上，（kZ）都表示点于是我们有，一般地，极坐标（，）与（，）（kZ）表示平面内的同一个点特别地，极点O的坐标为（0，）（R），也是平面内的同一个点，这样，我们就知道平面内的一个点的极坐标有无数多种表示 这就是说：平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的（2）位于同一个圆上的点：如极坐标分别为（4，0）、，但它们的极角不相等，也不再是终边相同的角，所有这些点在以极点为圆心，以4为半径的圆上，因而（，）这里为定值，点的轨迹就是以极点为圆心，以为半径的圆（3）对称点：（，）关于极轴的对称点为（，），关于极点的对称点为（，），关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为（，）（4）共线的点：如果极坐标为（，），其中为常数，0，则表示与极轴成角的射线 4极坐标系内两点间的距离公式 设极坐标系内两点，则 特例：当，要点二、极坐标与直角坐标的互化 1、平面内一点的极坐标与直角坐标互化的条件极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；极坐标系中的极轴与直角坐标系中的轴正半轴重合；两种坐标系中长度单位相同2、互化公式如图，符合上述三条件的点的极坐标为，直角坐标为，则极坐标化直角坐标：直角坐标化极坐标：这就是在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系. 要点诠释： 由求时，不取负值；由确定时，根据点（x，y）所在的象限取正角当x0时，角才能由按上述方法确定当x=0时，tan没有意义，这时又分三种情况：（1）当x=0，y=0时，可取任何值；（2）当x=0，y0时，可取；（3）当x=0，y0时，可取要点三、曲线的极坐标方程1曲线的极坐标方程的概念 （1）一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线C上，那么方程称为曲线C的极坐标方程 在直角坐标系中，曲线可以用含有变量x、y的方程表示；同样地，在极坐标系中，曲线可以用含有、这两个变量的方程来表示，这种方程即为曲线的极坐标方程要点诠释： 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程例如给定曲线，设点P的一极坐标为，那么点P适合方程，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标就不适合方程了所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，只需判断点P的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C的方程即可2. 求曲线极坐标方程的步骤 建立适当的极坐标系，设是曲线上任意一点 由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式 将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程 证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略要点诠释： （1）求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径和极角之间的关系，常用解三角形（正弦定理、余弦定理）的知识，利用三角形的面积相等来建立、之间的关系 （2）今后我们遇到的极坐标方程多是的形式，即是的一个函数 （3）由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程的图形的对称性：若，则相应图形关于极轴对称；若，则图形关于射线所在的直线对称；若，则图形关于极点O对称 3圆的极坐标方程 （1）圆心在极轴上且过极点的圆 圆心在极轴上的点（a，0）处，且圆过极点O（如图所示）P为圆与极轴的另一交点，为圆上的动点，连接OM和MP，由平面几何知识知OMMP在直角三角形OMP中，由三角知识可得 坐标满足此方程的点也在该圆上因此，得该圆的方程为 也可以先写出该圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程如图所示，建立直角坐标系，在直角坐标系中，该圆的圆心为（a，0），半径为a，故圆的直角坐标方程为 (xa)2+y2=a2，即 x2+y2=2ax 由坐标变换公式得 ，即 这样就得到前面推导出的极坐标方程 所以，方程就是圆上任意一点极坐标所满足的条件，另一方面，我们也可以验证，坐标适合方程的点都在这个圆上 （2）圆心在极点的圆 如果已知O的半径为r，我们可以以圆心为极点，以从圆心O发出的一条射线为极轴建立极坐标系，那么圆上各点的特征是它们的极径都等于圆的半径r，这时圆的极坐标方程为（R）4直线的极坐标方程 （1）过极点的直线的极坐标方程如图所示，直线AA过极点且与极轴成的角为，即直线AA的极坐标方程为 （0）和（0） 特别地，我们规定为全体实数，那么该直线的极坐标方程就为（R），或（R） （2）过点A（a，0）（a0）且垂直于极轴的直线的极坐标方程 如图所示，设为直线上的除A外的任意一点连接OM，则有AOM为直角三角形并且AOM=，|OA|=a，|OM|=，所以有 即，化为直角坐标方程为x=a （3）过点且平行于极轴所在直线的直线极坐标方程如图所示，设M为直线上任意一点，其极坐标为，连接OM，则有|OA|=a，|OM|=，在直角三角形AOM中，我们有 ，即，化为直角坐标方程为y=a【典型例题】类型一、极坐标系中的点的表示例1 写出右图中各点的极坐标（0，02） 【总结升华】本题考查了极坐标的定义，已知点在极坐标系中的位置，要准确写出它的极坐标，对应的极角可以限定一个范围，如0，2）当0时，每一点都对应唯一确定的一个极坐标 举一反三：【变式1】下列各点中与不表示极坐标中同一个点的是（ ） A B C D【变式2】 设点，直线为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴、直线、极点的对称点的极坐标（限定，） 【变式3】在极坐标系中，点(,)与(-, -)的位置关系为( )。 A关于极轴所在直线对称 B关于极点对称 C关于直线= (R) 对称 D重合类型二、极坐标与直角坐标互化例2（1）将下列点的极坐标化成直角坐标：；。 （2）将下列各点的直角坐标化为极径为正，极角在之间的极坐标：；。【总结升华】把点的极坐标化成直角坐标时，关键是依据关系式，把极坐标方程中的用表示。把点的直角坐标化成极坐标时，关键是依据关系式，且注意由求时，还须结合点所在的象限来确定的值，一般取。举一反三：【变式1】点的直角坐标是，则点的极坐标为（ ）A B C D 【变式2】将点的极坐标化为直角坐标。【变式3】（1）把点M的极坐标化成直角坐标； （2）把点M的直角坐标（1，1）化成极坐标 【变式4】在极坐标系中，已知三点，（1）将三点的极坐标化为直角坐标；（2）判断三点是否在同一直线上.类型三、圆的极坐标方程例3. 求圆心在处并且过极点的圆的极坐标方程 【总结升华】与求圆的直角坐标方程相比，求它的极坐标方程比球直角坐标更加简便，因为在极坐标系中圆上的点的坐标、所满足的条件更加容易表示，代数变换也更加直接，有时为了求极坐标方程，也可以先求出相应的直角坐标方程，再利用，代换，也较为方便举一反三：【变式1】在极坐标系中，圆心在(且过极点的圆的方程为（ ）(A) (B) (C) (D) 【变式2】在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点，以轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 （ ）A B C D【变式3】在极坐标系中，半径为1的圆的圆心坐标为，求圆的极坐标方程；类型四、直线的极坐标方程例4. （ 海淀区校级模拟）在极坐标系中，直线l的方程为 ，则点A（2， ）到直线l的距离是（ ）A B. C. D. 举一反三：【变式1】求适合下列条件的直线的极坐标方程：（1）过极点，倾斜角是；（2）过点，并且和极轴垂直。【变式2】求（1）过点平行于极轴的直线。（2）过点且和极轴成角的直线。类型五、 极坐标方程与直线坐标方程互化例5. 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。（1） （2） （3） （4）【总结升华】（1）互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的长度单位相同（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在02范围内求值（3）将直角坐标方程化为极坐标方程最后要注意化简（4）将极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形举一反三：【变式1】极坐标方程表示的曲线为（ ）A一条射线和一个圆 B两条直线 C一条直线和一个圆 D一个圆【变式2】如图，极坐标方程=asin(a0)所表示的曲线的图形是( )【变式3】（1）把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并判断图形的形状 ； ； ；【变式4】将下列直角坐标方程化为极坐标方程 x2+(y2)2=4； x2+y2=4x； x+y=2； x=2【变式5】已知圆的极坐标方程是，求直线被圆截得的弦长.【变式6】已知直线的极坐标方程为，求点A（2，）到这条直线的距离类型六、 极坐标方程的综合应用例6在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=（）求圆C的极坐标方程；（）若0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围举一反三：【变式1】在极坐标系中，则AOB的面积是_。【变式2】极坐标方程分别是和的两个圆的圆心距是（ ）A2 B C1 D【变式3】极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为=4cos，曲线C2的参数方程为（t为参数，0），射线=，=+，=与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C（1）求证：|OB|+|OC|=|OA|；（2）当=时，B，C两点在曲线C2上，求m与的值答案解析例1【解析】 由图可知： A（5，0），E（2，）， 举一反三：【变式1】【答案】C。由点的极坐标定义可得。【变式2】 如图所示关于极轴的对称点为 关于直线z的对称点为 关于极点D的对称点为【变式3】【答案】A 与点M(,)关于极轴对称的点有(,-)或(-,-)，关于=所在直线对称的点有(-,-)或(,-)，关于极点对称的点有(-,)或(,+)。例2【解析】（1），所以极坐标系中点的直角坐标为。，所以极坐标系中点的直角坐标为。（2），又点在第一象限，所以，所以直角坐标系中点的极坐标为。，又点在第三象限，所以。所以直角坐标系中点的极坐标为。举一反三：【变式1】【答案】C 都是极坐标【变式2】答案】，。点的直角坐标为【变式3】（1）， 点M的直角坐标是 （2）应用极坐标与直角坐标的互化关系可得： （点M在第四象限） 点M的极坐标为【变式4】（1），（2）,所以三点共线.例3. 【思路点拨】 如图所示，设为圆上除O、B外的任意一点，连接OM、MB，则在RtBOM中，由|OM|=|OB|cosMOB，即可得、的关系本题亦可以先求直角坐标系中的方程，再化为极坐标方程 【解析】如图所示，设为圆上除O、B外的任意一点，连OM、MB，则有OB=4，OM=，从而BOM为直角三角形，所以有|OM|=|OB|cosMOB， 即举一反三：【变式1】【答案】B【变式2】【答案】B【变式3】【答案】法一：（1）设在圆上，则，由余弦定理得 即，为圆的极坐标方程。法二：（1）圆心的直角坐标为，则符合条件的圆方程为，圆的极坐标方程：整理得，即.例4. 【答案】B【解析】直线方程为，展开化为：，可得直角坐标方程为：x+y=1，则点A（2， ）化为A（2cos（），2sin（），即A（，），所以点A到这条直线的距离 ，故选B。举一反三：【变式1】（1）由图知，所求的极坐标方程为；2）法一：由图知，所求直线的方程为，即.法二：由图知，所求直线的方程为，即.【变式2】（1）在直线l上任取一点，因为，所以|MH|=2在直角三角形MOH中|MH|=|OM|sin即，所以过点平行于极轴的直线为。（2）设M为直线上一点。， =3，由已知 ，所以，所以又 在MOA中，根据正弦定理得 又 将展开化简可得所以过且和极轴成角的直线为：例5. （1）将代入得化简得（2） 化简得：（3） 。即 所以 。化简得 。（4）由 即 所以 【变式1】【答案】C 则或【变式2】【答案】C如果没有记住它的图形，不妨化其为直角坐标方程:=asin，2=asin,x2+y2=ay,x2+(y-)2=,图形显然是以(0,)为圆心，为半径的圆.选C.【变式3】两边同时乘得， 即 x2+y2=2ax 整理得 x2+y22ax=0，即 (xa)2+y2=a2 它是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆两边同时乘得，即x2+y2=9x+9y，又可化为，它是以为圆心，以为半径的圆 将=4两边平方得2=16，即x2+y2=16 它是以原点为圆心，以4为半径的圆 ，即2x3y=5，是一条直线【变式4】x2+(y2)2=4可化为x2+y2=4y 代入，得，即 代入，得，即 【变式5】圆的普通方程是：，与直线的交点为，所以弦长为.【变式6】可化为，即，利用极坐标与直角坐标的互化公式得直线的直角坐标方程为，即。点A（2，）化为直角坐标为，点A