概率论第1章3-6.ppt

和事件积事件差事件互斥事件互逆事件完备事件组,复习,1.事件的关系,2.事件的运算,交换律结合律分配律对偶律自反律,3.概率的公理化定义,三个公理：,非负性,归一性,可数可加性,4.概率的运算性质:,加法公式：,减法公式：,1.3古典概型与几何概型,1.3.1古典概型,古典概型：若一随机试验具有下面两个特征：,（1）所有的基本事件数为有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相同。,则称该随机试验为古典概型（等可能概型）。,古典概型中事件A的计算：,例1将一枚硬币抛掷三次.(1)设事件A1为“恰有一次出现正面”,求P(A1);(2)设事件A2为“至少有一次出现正面”,求P(A2).,解(1)随机事件的样本空间:S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT.而A1=HTT,THT,TTH.故得,例2100件产品有60个一等品，30个二等品，10个废品，规定一二等品都为合格品，(1)从中任意取两件，求两件产品有一件一等品一件次品的概率；(2)这批产品的合格率。,解：（1）设事件A表示取得一件一等品一件次品，则基本事件总数为，A包含的基本事件数为，故,（2）设事件B表示产品为合格品，则产品合格率为事件B的概率P(B)，B包含的基本事件数为，基本事件总数为:,故产品合格率为：,例3将只球放入个盒子里，试求每个盒子至多有一只球的概率（盒子容量不限）。,解：基本事件总数为，每个盒子至多放一只球，共有种不同放法，于是,例4某班有30名学生，试求该班至少有两名学生生日相同的概率。,例4据调查，某部门接待站在某一周曾接待过12次来访，已知这12次来访接待的时间都是在周一和周五进行的，问是否可以推断接待来访的时间是特意安排的？,解：设事件A表示至少有两名学生生日相同，基本事件总数为，表示30个学生生日各不相同，则其基本事件总数为，从而,思路：假设接待站来访的时间是每周的任意一天，而来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都是在周一周五的概率为,实际推断原理,例5袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中取一球，求（1）作放回抽样（2）作不放回抽样，求第i（i=1,2k）人取到白球（记为B）的概率。（其中k不大于a+b）,解：（1）放回抽样,各取一球共有取法(a+b)(a+b-1)(a+b-k+1)。B发生，第i人取白球有a种取法，其余有(a+b-1)(a+b-2)(a+b-1-(k-1)+1),即B事件包含a(a+b-1)(a+b-2)(a+b-1-(k-1)+1)个基本事件，于是,（2）不放回抽样,1.3.2几何概型,引例：设S为一区域，某质点等可能的落在位于区域中的任一点，A为S子区域，求质点位于A的概率P(A).,由等可能的假定知，质点位于A的概率与A的度量成正比，因此，P(A)可定义为：,为A的度量，可以是长度，面积，体积等几何度量。,这种方法定义的概率称为几何概率,例6甲乙两人相约在0到T这段时间内，在预定地点会面。先到者等待t时离去(tT)，设两人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不牵连。求甲、乙两人能会面的概率P(A).,解：以x，y表示甲乙两人到达的时刻，则,即,两人能会面的充要条件为：,即,所以,例7（Buffon投针问题）在平面上画有等距离的一些平行线，距离为，向平面上随意投掷一长为的针，,试求A=“针与平行线相交”的概率P(A).,解：设M为针的中点，x表示M点与最近的一条平行线的距离，,表示针与最近的平行线的交角，易知：,而针与平面相交的充要条件为：,故所求概率为：,若以频率代替概率，则有,即,统计试验法,蒙特卡罗方法(Monte-Carlo),1.4条件概率与乘法定理,1.4.1条件概率,引例某班有30名学生，其中女生12名，男生18名，女生中有2人喜欢看足球赛，男生中有10人喜欢看。先从该班中随意挑选一位学生。考虑：,定义：在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件A对于事件B的条件概率。记为：,A=“该生喜欢看足球赛”；B=“该生为男生”；该生喜欢看足球赛（已知该生为男生），此事件记为,例7市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品合格率为80%，现随意买一只灯泡，若用分别表示该灯泡是甲乙厂生产的，B表示该灯泡为合格品，试计算下面的概率：,解：,依题意,进一步可得,例8设某种动物活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4，现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？,解：设事件A表示“活到20岁以上”；事件B表示“活到25岁以上”，则有P(A)=0.8,P(B)=0.4,由于，则，,故,1.4.2乘法定理,定理1.1(乘法公式)设A,B为二事件，若,一般地，对多个事件,条件概率实质是缩减了样本空间,例9猎手在距猎物10米远处开枪，击中概率为0.6，若击不中，待开第二枪时猎物已逃至30米远处，此时击中概率为0.25，若再击不中，则猎物已逃至50米远处，此时只有0.1的击中概率，求猎手在三枪内击中猎物的概率。,解：,例1010个考签中有四个难签，3人参加抽签，不放回，甲乙丙顺序抽，求甲抽到难签，甲乙都抽到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲乙丙都抽到难签的概率。,思考？,甲、乙、丙抽到难签的概率是否相等？,1.5概率基本公式,1.5.1全概率公式,怎样从已知的简单事件的概率去推算出复合事件的概率？,把一个复合事件分解为若干个互斥的简单事件之和，再通过分别计算这些简单事件的概率得到最终结果。,定理1.2（全概率公式）,证明提示：,注2：若随机试验可以看成分两个阶段（层次）进行，且第一阶段的各试验结果具体发生了哪一个未知，要求的是第二阶段的结果发生的概率，则用全概率公式。,注3：应用公式时，必须首先找出引发该事件的完备事件组。,注1：上述和式既可以是