5-3 正定二次型与正定矩阵习题评讲

正定二次型与正定矩阵习题评讲、如果、为同阶正定矩阵，证明：为正定矩阵。证明：因为、是阶实对称矩阵，故也是阶实对称矩阵。因为、为阶正定矩阵，所以实二次型（，）和（，）都是正定二次型。实二次型（，）（）（，）（，）。所以对任意不全为零的实数，因为（，），（，），从而有（，）（，）（，），所以实二次型（，）（）正定，从而是正定矩阵。证明：因为、是阶实对称矩阵，故也是阶实对称矩阵。因为、为阶正定矩阵，所以对任意维非零实列向量，都有；（），所以是正定矩阵。总自测题证明题（）设维列向量与任何维向量都正交，证明：。证明：设（，），取维单位向量（，），。有（，），所以。、判别下列实对称矩阵是否为正定矩阵：（）；（）；（）。解（）：是实对称矩阵，第三个顺序主子式，不是正定矩阵。解（）：是实对称矩阵，第三个顺序主子式，不是正定矩阵。解（）：实对称矩阵所有顺序主子式为：；所以是正定矩阵。、确定参数的值，使下列二次型正定：（）；（）。解（）：实二次型的矩阵为，的顺序主子式为：；。正定正定。解（）：二次型的矩阵为，的各阶顺序主子式为：；（）；正定正定。、设有二次曲线方程（）。证明：当时，曲线为一椭圆；当时，曲线为一双曲线。证明：对二次曲线方程（），对应的实二次型为：（，）（），的矩阵为，是实对称矩阵，且。对实二次型（，），存在正交变换（是正交矩阵）化为标准形：（，），其中，是的特征值。这个正交变换，化二次曲线（）为如下形式：该二次曲线是椭圆，都是正数（，）正定的所有顺序主子式都大于零，。该二次曲线是双曲线，一个是正数，另一个是负数。因为，所以该二次曲线是双曲线。、如果矩阵（）是正定矩阵，证明：（，）。证明：令（，），。有，。因为（）是阶正定矩阵，对任意维非零实列向量，都有，特别对结论也成立，所以，。、利用定理的推论证明：实对称矩阵正定的充要条件是存在可逆矩阵，使得。证明：必要性：如果正定，则存在可逆矩阵，使，于是，（）（）。令，则是可逆矩阵，使。充分性：如果是实对称矩阵，且存在可逆矩阵，使，即，所以（），即（），其中是可逆矩阵，故与合同，从而正定。、如果矩阵正定，且存在可逆矩阵，使得。证明：矩阵是正定矩阵。证明：因为正定，所以是实对称矩阵。又因为存在可逆矩阵，使得，故也是实对称矩阵。因为正定，所以存在可逆矩阵，使，于是有（）（），其中是可逆矩阵，于是是正定矩阵。证明：当可逆时，由是实对称矩阵知，也是实对称矩阵。对每一个非零列向量，有是非零列向量，且是正定矩阵，所以（）（）（），所以是正交矩阵。第五章自测题、单选题（）（）二次型（为实对称矩阵）正定的一个充要条件是（）。（）det（）；必要不充分（）存在可逆矩阵，使得成为对角矩阵；所有实对称矩阵的共性（）可逆；必要不充分（）存在可逆矩阵，使得。，题解：选。（）已知矩阵正定，和都是正常数，则矩阵（ ）（）不是对称矩阵；（）是正定矩阵；（）必是正交矩阵；（）是奇异矩阵。解：显然是实方阵。已知正定，顺序方子式，。因为和都是正常数，的顺序主子式：，是正定矩阵。选（）。、计算题（）若二次型正定，求实数的取值范围。解：实二次型的矩阵为，的顺序主子式为：，。正定正定。（）设矩阵，试判别二次型（）是否正定？其中（，）。解：，是可逆矩阵，而是实对称矩阵，据页题知，是正定矩阵，从而是正定二次型。解：，是可逆矩阵，对任意维非零实列向量，也是维非零实列向量，且有（）（）（）（）（），所以是正定二次型。、证明题（）设是正定矩阵，证明也是正定矩阵。证明：因为正定矩阵是实对称矩阵，（）（），也是实对称矩阵。正定矩阵是可逆矩阵，由得，与合同，故也是正定矩阵。证明：因为正定矩阵是实对称矩阵，（）（），也是实对称矩阵。正定矩阵是可逆矩阵，由，据题结论知也是正定矩阵。证明：因为正定矩阵是实对称矩阵，（）（），也是实对称矩阵。正定矩阵是可逆矩阵，且，对任意非零实列向量，也是非零实列向量，且（）（）（）（）（）（），所以（）是正定二次型，从而是正定矩阵。总自测题、填空题（）若矩阵正定，则的取值范围是。解：实对称矩阵的顺序主子式为：，（）；正定。、单选题（）若实对称矩阵与矩阵相似，则二次型（，）是（）（）正定的；（）负定的；（）不定的；（）半正定的。解：据题设，存在正交变换（是正