二维抛物方程的九点差分格式的研究 论文完整版

.本科毕业论文论文题目：二维抛物方程9点差分格式研究学生名称：joward学号：20090082130专业：信息和计算科学地图教师：奥廷廷科学院：数学科学院1 2013年5月20日。毕业论文(设计)内容简介论文(设计)标题二维抛物型方程九点差分格式的研究选题时间2012.11.25完成时间2013.5.20论文(设计)字数3970关联语二维抛物线方程，五点差分格式，九点差分格式，数值验证论文(设计)主题的来源、理论和现实意义：主题院：在大学学的科目中，详细比较系统地学习了抛物线方程式和9点差体系。通过与老师的交流，我认为这个主题既有理论分析，又有机械编程实验。充分发挥我们信仰界专业的讲课内容和特点，在指导老师的指导下确定了这个主题。理论：五分差体系，九分差体系实用意义：对于典型的二维抛物线方程，在原始坐标轴逆时针旋转45度后，在此坐标平面上创建了5点差分格式，并将此5点差分格式和经典5点差分格式的权重相加，得到了抛物线方程的9点差分格式。更灵活的这种方法是绘制图像后显示精确解决方案的图像和9点差分格式的图像，表明与偏微分方程相关的内容在解决问题时具有优越性。论文(设计)的主要内容和创新点主要内容：对于典型的二维抛物线方程式，原始座标轴逆时针旋转45度后，此座标平面设定了5点差格式，此5点差格式将加权加入一般5点差格式，成为抛物线方程式的9点差格式。该方法更灵活，比9点差分格式的5点差分格式误差小。绘制图像时，可以直观确认正确解决方案的图像和9点差分格式的图像，表明与偏微分方程相关的内容在解决问题时具有优越性。创新点：对于在同一坐标平面上寻找5点差分系统和9点差分系统的同一二维抛物线方程，分析误差、稳定性、收敛顺序、精度是本文的创新点。附件：论文(设计)本人签名：年月日。目录中文摘要I英语摘要II第一章简介1第二章基础2第三章二维抛物方程的九点差分格式和稳定性分析33.1经典5分差分格式33.2旋转轴后二维抛物方程的五点差分格式53.3二维抛物方程的9点差分格式63.4 9点差分格式的稳定性7第四章二维抛物型方程9点差分格式的MATLAB算法8第五章数值实验验证9第六章摘要12参考文献13附录14。二维抛物型方程九点差分格式的研究早月摘要：对于二维抛物线方程，在原始坐标平面内建立经典5点差分格式，将轴逆时针旋转45度，然后建立5点差分格式，并将其与经典5点差分格式加权平均，建立抛物线方程的9点差分格式。还分析了九点差分格式的稳定性。与一般的五点差分格式相比，这种方法在某些条件下误差小，对稳定性的要求不变。最后，给出了数值计算实例、误差图像，生动地展示了精确的解决方案，从而验证了9点差分格式的有效性。关键字：二维抛物线方程式；9点差异体系；五点差分格式；数值实验。research on two-dimensional parabolic equations nine-point finite difference method小玉Abstract:for the two-dimensional parabolic equation，We establish its classic five-point finite difference method in the original coordinate plane andbased on the two five-point finite difference method，Weformulate A new nine-point finite difference method by A weighted average method . alsoit is more flexible to differ the exact solution s figure and the new meth Od s figure as well as to prove the new method s effectiveness after therKeywords:the two-dimensional parabolic equation，a nine-point finite difference method，a five-point finite difference method，numerical equation。第一章引言差分法是将元件分成多个单位，将连续体分成相互连接的有限数单位的数值解法。有限差分法是利用泰勒技术展开方程，将变量的导数写成变量，以不同时间或空间点值的差异形式进行表述的方法。有限差分法的基本思想是，将时间和空间区域划分为多个网格，用未知函数的值替换偏微分方程的每个阶导数，将表示变量连续变分关系的偏微分方程分解为有限代数方程，然后求解这个线性代数方程，即有限差分方程。求解这个方程，可以从原始方程的离散点得到近似，使用插值方法，可以从各个解中得到整个区域的问题近似。在使用数值计算方法求解偏微分方程时，可以用有限差分近似法替换每个微分，将解偏微分方程的问题转化为解称为有限差分法的代数方程的问题。有限差分方法是解偏微分方程的步骤1。区域离散化，即把解析的区域分成有限晶格的栅格。2.近似替换，即用有限差分公式替换每个晶格的导数；3.取代偏微分方程解的插值多项式及其微分的近似解。随着科学技术的发展，工程、数学、计算机的结合越来越广泛和深刻地表现出来。9点差分格式是有限差分方法的一部分，可用于解决椭圆方程、抛物线方程、双曲方程等偏微分方程的问题，9点差分格式与一般的5点差分格式相比可以减少误差。整个想法可以使用建设问题计算机编程附加分析线进一步应用于水利技术、工程力学、工程结构、建筑材料等。通过计算机编程，通过出差子格式的优缺点和配置的差异格式，可以更加生动地分析实验解法和正确解决方案的差异。第二章基本知识阶段：将宗地分割成n等分。分数如下：i=0，1，2，N，h=(b-a)/N所以我们得到地块的一个网格。称为网格节点，h称为步骤。一般内部点：xy平面上的有边界区域g是线段平滑曲线，沿x和y轴的步长，以及与轴平行的两条线：两个族群的交点称为点或节点(I，j)。两个节点和在或情况下相邻。表示属于g内部的所有节点集。这些节点称为内部点，表示与网络线或的交点集合。这些点称为边界点。如果内部点的所有四个相邻点都属于，则称为普通内部点，否则称为非规则内部点。泰勒扩张：在存在到n阶的微分中设置的一般函数f构成了函数f在点内的称为泰勒多项式的n阶多项式。一般其余部分可以写如下：其中是步骤h。第一条边值条件：g是xy平面的边界区域，边界是线段平滑曲线，上面的u是边值条件：是连续函数。第三章二维抛物方程的九点差分格式及稳定性分析3.1经典5分差分格式考虑二维抛物线方程式。(1.1)其中a是正常数，f(x，y)是给定的连续函数。具有所需数量的部分微分相的函数满足方程式(1.1)(，)和初始条件(1.2)，(1.3)假设在该区域平滑并且与边值兼容，则对于上述问题，唯一的解决方案是足够平滑的。现在考虑原始坐标轴下边值问题(1.1)、(1.2)(1.3)的经典5点差分格式。原始坐标轴首先采取平面空间步长和时间步长。其中n，m是正整数。用平行线，将区域分割为网格节点为的网格。其次，它表示在网点中定义的函数。现在假设为一般内部点。沿x，y方向，分别用二次中心差额因子代替，用一次中心差额因子代替。由于在导出误差和格式的过程中没有实际作用，对实验结果没有任何影响，因此(1.1)的5点差异格式是理想的特殊情况，因此=(1 )使用“泰勒”卷展栏可以在点上扩展等式的两侧。因此，可以得到5点差分格式的截断误差：=。3.2旋转轴后二维抛物线方程的五点差分格式t轴逆时针旋转xy轴45度，不平移。t轴未更改，因此可以继续使用主中心差分格式。，可以在新的xy平面中使用二次中心差商。(*)泰勒在这里展开后：可以替代(*)2=轴向旋转后，可以得到五点差分格式的截断误差。2=3.3二次抛物线方程式的9点差异格式为二维抛物线方程式的九点差格式为(1/2)*(1) (1/2)*(*)，即：误差为2=错误：与相比，在某些情况下错误更少。收敛顺序：可获取，9点差分格式的收敛顺序等于二次，精度等于经典5点差分格式的收敛顺序和精度(在Li rong偏微分方程数值解法中得出)。边界值条件的处理：用表示非规则内部点集的边界点集表示区域边界。这是因为，(1.2)、(1.3)使用可用值立即成为非规则内部点时，可以创建新的差异格式并解决此问题。3.4 9点差分格式的稳定性对于9点差分格式引入新变量，使其成为一级方程式。而且，可以替换为顺序，旧样式：得：请注意，增长矩阵为B=。b的行列式的特性多项式必须小于1作为该特性多项式特征值的模，以保持差分系统的稳定性。总之，这个九点差体系条件稳定，稳定条件。传统五点差分格式的稳定性条件是(取自Li rong偏微分方程数值解法)，与传统五点差分格式相比，九点差分格式的稳定性要求保持不变。第四章二维抛物型方程九点差分格式的MATLAB算法实现考虑二维抛物线方程式。(1.1)其中a是正常数，f(x，y)是给定的连续函数。具有所需数量的部分微分相的函数满足方程式(1.1)(，)和初始条件(1.2)，(1.3)要允许按层执行计算，请使用。(1.2)中获得，以后可以使用差异格式。找出。使用从头导出的九点差公式。进一步了解。第五章数值实验验证数值计算范例：正确的解决方案是：1/8。在计算过程中，空间步长=0.1，时间步长=0.01。此时，稳定性条件正确满足。使用结果9点差分格式进行近似，以时间为单位运行程序将创建以t=0.02s开始的99个小时的图像(请参见附录以了解MATLAB程序)，剪切5个小时的9点差分格式图像将分别与此时的实际解决方案图像进行比较，并给出了对应于该时刻的经典5点差分格式、9点差分格式以及实际解决方案的错误表。了解T=0.02s的图像的9点差格式为t=0.02s的图像T=0.11s的图像的9点差异格式为t=0.11s的图像了解T=0.21s的图像的9点差格式为t=0.21s