现代控制理论系统能控性.pptx

现代控制理论ModernControlTheory(8),俞立,浙江工业大学信息工程学院,系统能控性,连续系统能控性概念可以推广到离散系统,问题：一个连续系统模型可以离散化，那么离散化对系统的能控性有何影响呢？,例3.1.7考虑由以下状态空间模型描述的连续系统,010,x&=,x+u,20,1,检验其离散化状态空间模型的能控性。,求矩阵指数函数,=1,1,(t)L(sIA),s,1,s2+2,2+2,1,ss,s1,=1,=1,L,L,2s,2,s,2+2,2+2,s,cost(sint),=,sint,cost,T,利用,G=eT,H=etBdt,A,A,0,x(k+1)=Gx(k)+Hu(k),1cosT,2,cosT,(sinT),=,x(k)+,u(k),sinT,cosT,sinT,能控性检验矩阵,1cosTcosTcosT+sinT,2,2,2,2,G,H=,c,sinT,2sinTcosTsinT,k,当,，=k1,2,T=,L,以上能控性矩阵的第2行为零，故能控性检验矩阵是不满秩的。离散系统不能控的。,原因：采样周期选取不合适！,采样周期大，使得信息损失过多，导致性能损失采样周期小，处理复杂,3.1.4输出能控性,控制输入影响输出的能力输出能控性。,=+,x&AxBu,y=Cx+Du,若对任意的初始输出y存在某个时间段0,T上定义的,0，,控制信号u，使得在该控制作用下，系统的输出从初始,输出y转移到任意给定的最终输出y(T)，则系统称为是,0,输出完全能控的，简称输出能控。检验条件：矩阵,2,n1,CBCABCABLCABD,的秩等于该矩阵的行数。,例3.1.8判断以下系统的状态和输出能控性,011,x&=,x+,u,12,1,y=10 x,系统的状态能控性矩阵,11,A,B=BAB=,c,11,AB=det(,)0,故系统不是状态完全能控的。,c,输出能控性矩阵110S=CBCABD=,显然它是行满秩的，故输出能控。,结论：系统输出能控，但不是状态能控的。即使系统状态能控，也可能输出不能控。,3.2系统的能观性,系统,u,y,x,状态变量未必都可以从外部观测到！1。检测手段的限制；,2。一些状态变量不是物理量。,问题：如何通过输入输出信息来了解系统内部的状态？,是否可以通过输入输出数据确定状态呢？,利用状态方程，由初始状态和输入就可确定任意状态，问题：是否可由输入输出信号来确定初始状态？,t,x(t)=etx(0)+etBu()d,A(),A,o,t,(t)=eA(0)+eA,Cx,C,Bu()d+Du,t,(t,),y,o,t,A(t)=,At,y(t)CeBu()dDuCex(0),o,待估计量,已知信号,x=Ax,&,=y(t)Cex(0),At,y=Cx,结论：只需要考虑零输入系统！,定义若以非零初始状态x产生的输出响应恒为零，即,0,对所有的时间t，()()0yt=Cxt=,则称状态x是不能观的。若系统中没有不能观的状态，,0,则系统称为是状态完全能观（简称能观），也称矩阵对,(C,A)是能观的。,不能观状态的物理意义！在输出中反映不出初始状态。,20,例考虑系统,x&=,x,y=30x,01,2t,00,0,e,输出响应,y(t)e=CAtx=,=,2t,=0,30,3e0,t1,1,0e,x=,01是不能观的。,T,问题如何给出判别状态x能观的有效方法？,0,引理若x是系统的不能观状态，则,0,CCAM,x=0,0,CAn1,x&=Ax,y=Cx,x(0)x0，,=,证明系统,y=CAtx,系统输出响应是(t)e,0,若x不能观，则对所有时间t，=At,y(t)Cex0,0,0,连续微分,=0,CAex=0,At,CAx0,0,2At=0CAex,2=,CAx0,取t0,0,0,M,M,n1At=CAex0,n1=,CAx0,0,0,C,不能观的状态x满足线性方程组,CA,0,x=0,0,M,n1,CA,系统不存在不能观状态等价于该方程组无非零解！,定理系统能观的充分必要条件是,C,CA,rank,=n,M,CAn1,能观性检验矩阵。,20,x,y11x=,例考虑系统=,x&,11,检验系统的能观性：,C11,CA=11,A,C=,=,o,CA11,系统是不能观的。,例考虑倒立摆系统，假定只有小车的位移可以测量，,01000,m,y,0010000100110,1,x&=Ax+Bu=,x+,u,mg,l,0,1,u,M,y=,Cx1000 x,&,x=yyT,&,由,C1000,CACA2CA3,0100,=,A,C=,o,0010,0001,可得系统是能观的。因此，可以通过小车的位移估计小车的速度、摆杆的偏移角和角速度。,产生能观性矩阵的函数：obsv(A,C),不能观：非零初始状态x产生的输出响应恒为零。,0,能观：系统初始状态信息可以在输出中反映。,能观性检验：,C,CA,rank,=n,M,CAn1,问题：如何从系统的输出信息来确定初始状态呢？,T,T,定义能观格拉姆矩阵：,=,At,T,At,W(0,T),eCCedt,o,0,结论：系统能观的充分必要条件是矩阵W(0,T)非奇异,o,定理若对某个常数T，矩阵W(0,T)非奇异，则系统的,o,x(0)=x,初始状态,可用时间段0,T上的输出信号确定：,0,T,T,x=W1(0,T)etCTy(t)dt,A,0,o,0,由于=,At,y(t)Cex,0,T,T,T,T,=,1o,At,T,At,1o,At,T,W(0,T)eCCedtx,W(0,T)eCy(t)dt,0,0,0,=W1,(0,T)(0,T)x=x,W,o,o,0,0,给出了用时间段0,T上的输出信号来确定x的方法。,0,可以用任意短时间内的输出信号来确定状态。,能控能观性的对偶原理,AB=BABLAB,由于,n1,c,(,)T,=BABLAn1BT,T,BT,T,T,BA,=ATBT,(,),T,=,o,M,BTATn1,(),定理(A,B)能控的充分必要条件是,T,T,能观,(B,A),系统II,对于互为对偶的系统,x=Ax+Bu,=T+,T,&,z&AzCv,系统I,y=Cx,=T,wBz,系统I能控（能观）系统II能观（能控）。,优点：能观（能控）性问题可以转化为能控（能观）性问题来处理。,例能观标准型是能观的,00ab,0,10,00,0,0,&,x=10ax+bv对偶系统&=,x,0,1x0u,+,2,12,1,01a,b,a,1,a0,a1,2,y=bbbx,w=001x,0,1,2,3.4基于传递函数的能控能观性条件,描述系统内部特性的能控、能观性和传递函数的关系,0,10,能控、不能观C0.8,例,x&=,x+u,0.41.3,1,1,oA,C,=,=,y=0.81x,CA0.40.5,能观、不能控,00.40.8,&,x=,x+,u,11.3,1,0.80.4,y=01x,A,B=BAB=,10.5,c,同一个系统的不同状态空间模型带来显著的能控、能观性的差异！,系统的传递函数,0,1,0,G(s)(s,=CIA1B,),x&=,x+u,0.41.3,1,1,10,s,y=0.81x,=,0.81,0.4s+1.31,s+1310,1,=,0.81,s1.3s0.4,2+,+,0.4s1,s+0.8(s+0.8)(s+0.5),=,s+0.8,有一个公因子,零极相消导致能控、能观性的缺失。具体要视情况而定。,00,考虑,1,1,x&=0,0 x+u,2,2,00,3,3,y=x,1,2,3,1,s,（1）在C(IA)B中的零极相消,3,G(s)=C(sIA)1B=,ii,si,i=1,不存在零极相消的充分必要条件是0，0,i,i,这也是系统能控能观的充分必要条件（所有极点不为零）,（2）在(sIA)1B中的零极相消,00,考虑,1,1,x&=0,0 x+u,2,2,00,3,3,y=x,1,2,3,1,0,0,s1,(s,),1,1,1,1s20,(sIA)1B=0,01,=(s),2,2,2,(s),3,3,3,0,s,3,(s)(s),1,2,3,1,=,(s)(s),23,1,3,(s)(s)(s),1,2,3,(s)(s),1,