数学北师大版九年级上册矩形的判定与性质课件.ppt

矩形的性质与判定,学习目标,1、能用综合法证明矩形的性质定理、判定定理以及相关结论；2、能用矩形的性质进行简单的证明与计算,请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边形有哪些性质？,边：对边平行且相等；角：对角相等；对角线：对角线互相平分,新课导入,知识讲解,矩形与平行四边形之间的关系,（3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）,（4）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直；角：四个角是直角（性质1）；对角线：相等且互相平分,定理:矩形的四个角都是直角.,已知:如图,四边形ABCD是矩形.,分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.,证明:,四边形ABCD是矩形.,A=90,四边形ABCD是平行四边形.,C=A=90,B=180-A=90,D=180-A=90.,求证:A=B=C=D=90.,四边形ABCD是矩形.,定理:矩形的两条对角线相等.,已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.,求证:AC=BD.,证明:,四边形ABCD是矩形.,AB=DC,ABC=DCB=90.,分析:根据矩形的性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明.,BC=CB.,ABCDCB(SAS).,AC=DB.,推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,练一练：如图，在矩形ABCD中：ABCD，AB=CD；ADBC，AD=BCBAD=ADC=BCD=ABC=90AC=BD=2AO=2OC=2OB=2OD问：在RtABC中，斜边AC上的中线是OB，它与斜边的关系是OB=AC问：是不是所有的三角形都有这样的性质?关键是是不是任何一个三角形都可以放进一个矩形里?,【例1】已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,AOD=120,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.,解析:,四边形ABCD是矩形.,BD=2AB=22.5=5(cm).,AC=BD,且,DAB=90.,AOD=120.,ODA=OAD=,你认为例1还可以怎么去解？,定理:有三个角是直角的四边形是矩形.,已知:如图,在四边形ABCD中,A=B=C=90.,分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证.,证明:,A=B=C=90.,A+B=180,B+C=180.,ADBC,ABCD.,求证:四边形ABCD是矩形.,四边形ABCD是平行四边形.,四边形ABCD是矩形.,定理:对角线相等的平行四边形是矩形.,已知:如图,在ABCD中,对角线AC=BD.,求证:平行四边形ABCD是矩形.,分析:要证明ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.,证明:,AB=CD,ABCD.,AC=DB,BC=CB.,ABCDCB.,ABC=DCB.,四边形ABCD是平行四边形.,ABC+DCB=180.,ABC=90.,四边形ABCD是矩形.,下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）对角线相等的四边形是矩形；（）（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）（3）有四个角是直角的四边形是矩形；（）（4）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）,X,X,定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.,求证:ABC是直角三角形.,已知:CD是ABC边AB上的中线,且,分析:要证明ABC是直角三角形,可以将点A,B,C构造平行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形.,证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE.,四边形ACBE是平行四边形.,AB=2CD,CE=2CD.,AC=DB.,四边形ACBE是矩形.,AD=BD,CD=ED.,ACB=90.,ABC是直角三角形.,1如图所示，已知ABCD，下列条件：AC=BD，AB=AD，1=2，ABBC中，能说明ABCD是矩形的有（填写序号）.,解析：根据对角线相等的平行四边形是矩形；矩形的定义.答案：,随堂练习,2如图，在ABC中，ABAC8，AD是底边上的高，E为AC的中点，则DE,解析：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，DE等于AC的一半，所以DE=4.答案：4,3如图，在等边ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边ADE（1）求CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形,解析：（1）在等边ABC中，点D是BC边的中点，DAC30，又等边ADE，DAE60，CAE30.,（2）在等边ABC中，F是AB边的中点，D是BC边的中点，CFAD，CFA90，又ADAE，AECF，由（1）知CAE30，EAF60+3090，CFAEAF，CFAE，AECF，四边形AFCE是平行四边形，又CFA90，四边形AFCE是矩形,4已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点求证：四边形BMDN是矩形,证明：在正三角形ABD和BCD中，M、N分别为BC、AD的中点.BNAD，DMBC，DBC=60，BND=DMB=90，NBD=30.NBM=90.四边形BMDN是矩形.,5、已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,AOD=120,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.解:四边形ABCD是矩形.AC=BD,且OA=OD.AOD=120.ODA=OAD=DAB=90.BD=2AB=22.5=5(cm).,你认为本题还可以怎样解？,通过本课时的学习，需要我们掌握：1、矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相