14 四点共圆与托勒密定理教师

第十四讲 四点共圆与托勒密定理1 托勒密（Ptolemy）定理：如果凸四边形四个顶点共圆，那么2 托勒密（Ptolemy）逆定理：如果凸四边形满足：，那么、四点共圆3 托勒密定理的推广：在四边形ABCD中，恒有ABCD+BCADACDB，当且仅当四边形ABCD内接于圆时等号成立. 1. 如图，是正外接圆的劣弧上任一点(不与、重合)， 求证：证明：由托勒密定理得：.此例证法甚多，如“截长”、“补短”等，详情参看初中数学一题多解欣赏2. 证明“勾股定理”：已知：在中，求证：.证明：如图，以的斜边为对角线作矩形，则是圆内接四边形由托勒密定理，得 是矩形， 把代人，得：3. 中，的平分线交外接圆于，连结，求证:证明：连结，由托勒密定理，得，故4. 若、是实数，且，求证：证明：如图，作直径的圆，在两侧任作和，使，由勾股定理知、是满足题设条件的据托勒密定理，有，即5. 已知、是的三边，且，求证：证明：，由托勒密定理，构造圆内接四边形. 如图 ，作的外接圆，以为圆心，为半径作弧交圆于，连结、，则，由托勒密定理得：，即又， 比较得，则，6. 在中，已知，求证：.证明：如图，作的外接圆，作弦，连结、，在圆内接四边形中，由托勒密定理，得：，则.7. 由外接圆的弧上一点分别向边、与作垂线、和，求证：.证：连接、，四边形，由托勒密定理得：即 ，同理可得，代人得：.8. 在ABC中，ABACBC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD=BE=AC，BDE的外接圆与ABC的外接圆交于F点，求证：BF=AF+CF. 证明：连接EF，DF，因ACF=ABF=EDF，DEF=FBD=CAF，所以AFCEFD. 于是，即EF=mAF，DE=mAC，DF=mCF. 由托勒密定理知DFDE=BDEF+BEDF. 又AC=BE=BD，分别代入上式，故BF=AF+CF. 9. .已知圆周被其上二定点A、B（AB）分成两端狐，试指出弧上的动点P在其中指定一段弧的哪个位置时，PA+PB取最大值？证明你的结论并求出这个最大值. 证明：取劣弧AB的中点C（C与P在AB两侧），由托勒密定理知ACPB+BCPA=ABPC. 因AC=BC，所以AC（PB+PA）=PCAB，即PB+PA=PC. 显然AB，AC均为定值，只需PC最大，因C为定点，必然PC为最大弦，即PC为直径时，PB+PA取最大值，于是PA=PB，PB+PA=2R. 若记APB=，易知PA+PB的最大值10. 已知D为正ABC. 的ABC内一点，且DA=DB+DC，求证：A，B，C，D四点共圆. 证明：由ABC为正三角形，得AB=BC=CA. 因DA=DB+DC，所以BCAD=BCDB+BCDC=ACDB+ABDC，由托勒密逆定理得A，B，C，D四点共圆. 11. 已知点为正三角形外接圆的劣弧上一点. 连接交于点，求证：12. 在边长为1的正七边形中，对角线、的长分别为、求证：13. 设是的三边，且满足，求证：.【作业1】 如图，圆O外接于正方形ABCD，P为弧AD上的任意一点，求证为定值. 证明：连PC，PA，设正方形边长为a，由托勒密定理得ACPB=APBC+ABPC，即PB=aAP+aPC，. 1. 已知等腰，垂直于于点，垂直于于点，是的中点，求证：原图加辅助线后图2. 在中，的外角平分线交边的延长线于，