群表示理论ppt课件

群表示理论,1,一.群的表示,群的各种表示,群的表示的定义：任意一组集合,如果它的乘法关系与群的相同,那么这组集合就是群的一个表示。群的表示就是群的一个同构或同态的群。,群的矩阵表示：通常总是选择一组矩阵(矩阵群)作为群的表示(这样,就将群的对称性变换化为矩阵运算,便于解析),称为群的矩阵表示。,基的选择：可以是坐标、向量,也可以是一组线性独立的函数。因为基的选择是随意的,因而产生的表示也有无数多；但是对一个特定群,不等价不可约表示是固定的有限个。,2,(1)忠实表示与不忠实表示,3,4,以x,y,z为基得到的一组3维矩阵：,有与C2V群相同的乘法关系，构成C2V群的一个矩阵表示。像这样，一个对称操作对应一个矩阵的表示,即为忠实表示.,5,6,(2)等价表示与不等价表示,实际上,O原子在构成H2O分子时,3个实p轨道与2s轨道经sp3不等性杂化,形成两对孤对电子(未成键)和两个与H结合键.,若以两个键为基,则得到两个2维的矩阵表示：,7,8,不同线性独立的函数集合,左乘A-1,得,什么是等价表示,9,Whatistherelationshipbetween,and,?,与右上式比较，,10,2.举例,p轨道函数空间,px,py,pz,p1,P-1,p0,f基,g基,用前面定义的A，,A=,A-1=,以g为基表示的矩阵与以f为基表示的矩阵，可由一个相似变换简单地联系起来，这两个表示被称为等价,A为酉阵,11,对于绕e3轴顺时针转q,求得,（详见p122-123）,12,13,等价表示n维线性空间中,两组(线性独立的)基、的表示矩阵,、,在相似变换下有,可见,一方面,等价表示相当于基组变换,判定为等价表示的两组基属于同类,同类表示研究一个即可.群中有意义的是那些不能通过相似变换联系起来的不等价表示.,14,(3)可约表示与不可约表示,可约(化)表示:如果有一相似变换可以将一个表示的所有矩阵都对角化,或变成式样相同的准对角(分块)矩阵,那么,这个表示就是可约(化)表示.于是,相似变换又是约化表示的工具.约化后的可约表示等于各子块表示矩阵的直和.不可约表示(IR):若子块表示矩阵不能再约化了,则称为不可约表示。,对于一个给定的群,可约表示有无数；但不等价不可约表示是有限个,是确定的.它反映了该群的特征,从而构成群表示理论的基础.,15,16,17,18,19,(4)广义正交定理（关键定理，GreatOrthogonalityTheorem）：,（维数分别为nm和nn)的两个不可约表示，那么矩阵元素具有下列方程所表述的关系,g为群的阶,加和遍及所有的操作R.证明见附录A.7-1,对于群G的每个操作R，Gm和Gn是具有矩阵和,20,假定不可约表示是酉群,（理解更重要）,可分为三个等式理解,对称操作R的逆操作,对称操作R的逆矩阵,21,（还有一个一维不等价不可约表示，见后面）,=A1,=E,表6-5.1p129,22,右端:C3v群的阶g为6，只有当m=n,i=j,且k=m时不为0。,左端=,取二维表示，则右端=6/2=3,E,C3,C32,sv,sv”,sv”,例1：,举例验证广义正交定理：见上页表,验证,取i=1,j=2，则:,试验证i=2,j=1的情况和,23,例2：,取nm=1,nn=2,即A1和E不可约表示。,左端=,mn,则右端=0,E,C3,C32,sv,sv”,sv”,对A1只有一个元素1，对E,如取j=1,m=2,例3：,取nm=nn=1,即1维不可约表示A1,24,2.特征标与特征标表,特征标定义：,特征标性质：（1）等价表示的特征标相等（逆命题也成立）,25,（2）同类操作的特征标相等,如果：,则：,26,27,D(P)和D(Q)靠相似变换联系起来,证明：,28,29,30,31,3.不可约表示的性质,32,特征标的广义正交定理,对i和j加和,k=i,m=j,33,酉矩阵,34,35,例：求某一不可约表示的特征标,（1）各个不可约表示的维数的平方和等于群的阶,（2）,不可约表示的数目r等于类的数目k,(3)各行必须满足,(4)各列必须满足,(第1列和第1行),a,b,c,d,二.群表示的基,一个分子的所属点群确定之后,在分子对称(群)框架下,可以选任何事件为基；,直角坐标、基向量(分子内坐标)和(波)函数,特别是以波函数(