1.5二次函数的应用.ppt

二次函数的应用（1）建立二次函数模型解决抛物线型问题,主讲老师：吴方磊,湘教版九年级下册数学,它们的形状有何共同点？,一、情境引入,例：如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9m，当水面宽是4m时，拱顶离水面2m。若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化，你能想出办法来吗？,分析：由于拱桥的纵截面是抛物线的一部分，应当是某个二次函数图象的一部分，因此可以建立二次函数模型来刻画。,4.9m,4m,am,?,二、问题探究,2m,方法1：以C为原点，CD所在的直线为x轴，建立直角坐标系。,可设抛物线的解析式为：y=a(x-2)2+2或y=ax(x-4)。,方法2：以D为原点，CD所在的直线为x轴，建立直角坐标系。,（2，2）,（4，0）,（-2，2）,（-4，0）,可设抛物线的解析式为：y=a(x+2)+2或y=ax(x+4)。,方法3：以CD中点G为原点，CD所在的直线为x轴，建立直角坐标系。,方法4：以拱顶E为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系。,（0，2）,（-2，0）,（2，0）,可设抛物线的解析式为：y=ax+2或y=a(x+2)(x-2)。,由于顶点坐标是(0，0)，可设抛物线的解析式为：y=ax,（0，0）,（-2，-2）,（2，-2）,通过比较，我们发现，以抛物线的顶点E为原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时，解析式最简单。,比较一下，这几种建系方法中，哪一种解决问题时更简单？为什么？,一般建系时考虑两个方面：,第一，点的坐标易计算；第二，解析式模型简单。,在建系的过程中，为什么没有选择以A，F，B为原点，以AB所在的直线为x轴建立直角坐标系呢？,我们发现这样建系后，点C，G，D的坐标都不好表示，也就不便求出解析式。,解：以拱顶E为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图所示。,D(2，-2)在抛物线上，,抛物线的解析式为y=-x,其中x表示水面宽度一半,y表示水面与拱顶的距离。,由于顶点坐标是(0，0)，因此这条抛物线的二次函数解析式为y=ax。,-2=2a，,由于桥的跨度是4.9m，所以自变量的取值范围是：-2.45x2.45。,这样，我们从水面宽度的变化情况可以了解到拱顶离水面高度的变化情况。,a=-,（0，0）,（2，-2）,例如：当水面宽4.6m时，拱顶离水面几米？当水面下降1m时，水面宽度增加多少米？,计算可得：当x=2.3，y=2.645。,解：,当水面宽4.6m时，拱顶离水面2.645m。,（0，0）,（-2，2）,（2，-2）,（2.3，？）,解：以C为原点，CD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，如图所示。,由于顶点坐标是(2，2)，因此这条抛物线的二次函数解析式为：y=a(x-2)+2。,请你再从前面3种建系方法中选取一种，求抛物线的解析式并回答问题,（4.3，？）,（4，0）,（2，2）,（2，2）,（4，0）,（4.3，？）,注意点：点的坐标的正负；自变量的取值范围；实际上，通过建系建模我们将实际问题转化成了数学问题；然后运用二次函数的图象和性质解决数学问题；最后再将数学问题的解转化成实际问题的答案。在这个过程中，体现了数学抽象的思想、数学建模的思想以及转化、形数结合的方法。,三、归纳提升,建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：,审题从实物图中抽取研究对象，并明确已知和所求；,建系根据图形特征，建立适当的坐标系，并把已知线段长转化成点的坐标；,建模设解析式、求解析式、用解析式求得相关点的坐标；,应用回答实际问题的解。,四、变式练习：,某公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=0.81米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图2所示。为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米，如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？,分析：首先构建直角坐标系，再求抛物线的解析式，再求出图象与x轴的交点坐标即可，确定函数关系式要充分运用条件“水流在与OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米”求解析式。,解：在图2中，以点O为原点，OA所在直线为y轴建立如下图所示的坐标系，,解得：x1=2.25，x2=-0.250(舍去),根据题意，抛物线的顶点坐标为(1，2.25),可设抛物线的解析式为y=a(x-1)+2.25，,图象