高考数学复习全套课件(理) 第二章第七节幂函数与二次函数

1.了解幂函数的概念.2.结合函数yx，yx2，yx3，y，y的图象，了解它们的变化情况.,1.幂函数的定义如果一个函数，底数是，指数是，即yx，这样的函数称为幂函数.,自变量x,常数,思考探究1幂函数与指数函数有何不同？,提示：本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置.,2.幂函数的图象,思考探究2在上图第一象限中如何确定yx3，yx2，yx，y，yx1的图象？,提示：画出直线xx0，当x01时，即当x1时，从上到下依次为yx3，yx2，yx，y，yx1的图象，在(1,1)点处相交.当x01时，,即当x1时，从上到下依次为yx1，y，yx，yx2，yx3的图象.,在上减；在上增,(0，,3.幂函数的性质,特征,函数,性质,yx,yx2,yx3,y,yx1,定义域,值域,奇偶性,单调性,定点,在上减；在上减,幂函数的图象过定点,R,R,R,R,R,0，),x|x0,0，),0，),y|y0,奇,偶,奇,奇,非奇非偶,增函数,(，,0,),增函数,增函数,(，0),(0，),(1,1),4.二次函数,1.下列函数中：yy3x2；yx4x2；y是幂函数的个数为()A.1B.2C.3D.4,解析：由幂函数定义可知，yx3，y为幂函数.,答案：B,2.已知点M(,3)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为()A.f(x)x2B.f(x)x2C.f(x)D.f(x),解析：设幂函数的解析式为yx，则3()，2，yx2,答案：B,3.函数y2x26x3，x1,1，则y的最小值是()A.B.3C.1D.不存在,解析：函数y2x26x3的图象的对称轴为x1，函数y2x26x3，在x1,1上为单调递减函数，ymin2631.,答案：C,4.若二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，f(0)1，则f(x).,解析：设函数f(x)ax2bxc(a0).f(0)1，c1，即f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)ax2bx2x.2axab2x.a1，b1，即f(x)x2x1.,答案：x2x1,5.若函数f(x)x2(a2)xb(xa，b)的图象关于直线x1对称，则f(x)max.,解析：由题知f(x)x22x6，x4,6，当x4或6时，f(x)max30.,答案：30,幂函数yx的性质和图象，由于的取值不同而比较复杂，一般可从三方面考查：(1)的正负：0时图象经过(0,0)点和(1,1)点，在第一象限的部分“上升”；0时图象不过(0,0)点，经过(1,1)点，在第一象限的部分“下降”；(2)曲线在第一象限的凹凸性：1时曲线下凹，01时曲线上凸，0时曲线下凹；,(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性.,特别警示无论取何值，幂函数的图象必经过第一象限，且一定不经过第四象限.,已知幂函数f(x)(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足：(a1)(32a)的a的范围.,思路点拨,课堂笔记函数在(0，)上递减，m22m30，解得1m3.mN*，m1,2.又函数的图象关于y轴对称，m22m3是偶数，而222233为奇数，122134为偶数，m1.,而f(x)x在(，0)，(0，)上均为减函数，(a1)(32a)等价于a132a0，或0a132a或a1032a.解得a1或a.故a的范围为a|a1或a.,一元二次函数的三种不同解析式实质上是一样的，用哪种形式的解析式，取决于不同的条件.求其解析式时一般用待定系数法，经过三点用一般式；给出顶点坐标，用顶点式；已知与x轴的两交点，用双根式.,特别警示二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解.在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起.,已知函数f(x)x2mxn的图象过点(1,3)，且f(1x)f(1x)对任意实数都成立，函数yg(x)与yf(x)的图象关于原点对称.(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)g(x)f(x)在(1,1上是增函数，求实数的取值范围.,思路点拨,课堂笔记(1)由题意知：解得f(x)x22x.设函数yf(x)图象上的任意一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，则x0x，y0y.点Q(x0，y0)在yf(x)的图象上，yx22x，yx22x，g(x)x22x.,(2)F(x)x22x(x22x)(1)x22(1)x.F(x)在(1,1上是增函数，F(x)2(1)x2(1)0在(1,1上恒成立，即在(1,1上恒成立.令u1，由u1在(1,1上为减函数可知，当x1时u取最小值0，故0，即所求的取值范围是(，0.,若将例(2)中的“增函数”改为“单调函数”，求实数的取值范围.,解：F(x)(1)x22(1)x.当10，即1时，F(x)4x在(1,1上为单调函数.当10时，函数图象的对称轴为x,则1或1，解之得1或10，综上所述，的取值范围为0.,二次函数求最值问题，首先采用配方法化为ya(xm)2n的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程xm，结合二次函数的图象求解，常见有三种类型：1.顶点固定，区间也固定；2.顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；,3.顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数.讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值.,已知函数f(x)4x24axa22a2在区间0,2上有最小值3，求a的值.,思路点拨,课堂笔记f(x)4(x)22a2，对称轴为x.当0，即a0时，函数f(x)在0,2上是增函数，f(x)minf(0)a22a2.由a22a23，得a1.a0，a1.当02，即0a4时，f(x)minf()2a2.由2a23，得a(0,4)，舍去.,当2，即a4时，函数f(x)在0,2上是减函数，f(x)minf(2)a210a18.由a210a183，得a5，a4，a5.综上所述，a1或a5.,二次函数是一种常考常新的“老函数”，特别是二次函数的图象以及单调性是高考的常考内容，09年江苏高考将二次函数的概念、性质、图象与一元二次不等式的解法相结合，考查学生灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的能力，符合新课标的要求，是一个新的考查方向.,考题印证(2009江苏高考)(12分)设a为实数，函数f(x)2x2(xa)|xa|.(1)若f(0)1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设函数h(x)f(x)，x(a，)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)1的解集.,【解】(1)因为f(0)a|a|1，(1分)所以a0，即a0.(2分)由a21知a1.因此，a的取值范围为(，1.(2)记f(x)的最小值为g(a).我们有f(x)2x2(xa)|xa|,(i)当a0时，f(a)2a2，(3分)由知f(x)2a2，此时g(a)2a2.(4分)()当aa，则由知f(x)a2；(5分)若xa，则xa2aa2.(6分)此时g(a)a2.,综上得g(a)(7分)(3)()当a(，)时，解集为(a，)；(9分)()当a，)时，(10分)解集为，)；()当a(，)时，(11分)解集为(a，).(12分),自主体验设二次函数f(x)x2axa，方程f(x)x0的两根x1和x2满足0x1x21.(1)求实数a的取值范围；(2)试比较f(0)f(1)f(0)与的大小，并说明理由.,解：令g(x)f(x)xx2(a1)xa，则由题意可得0a3.故所求实数a的取值范围是(0,3).,或a3,(2)法一：f(0)f(1)f(0)g(0)g(1)2a2，令h(a)2a2.当a0时h(a)单调增加，当0a3时，0h(a)h(32)2(32)22(1712)2，即f(0)f(1)f(0).,法二：(2)f(0)f(1)f(0)g(0)g(1)2a2，由(1)知0a3，1170，又10，于是2a2(32a21)(1)(1)0，即2a20，故f(0)f(1)f(0).,1.若幂函数y(m23m3)的图像不经过原点，则实数m的值等于()A.1B.2C.1或2D.0,解析：由于函数y(m23m3)是幂函数，所以m23m31，解得m1或2.当m1时y(m23m3)x2，定义域是x|xR，x0，图像不经过原点；当m2时，y(m23m3)xm2m2x0，定义域是x|xR，x0，图像不经过原点.,答案：C,2.设，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有值为()A.1,3B.1,1C.1,3D.1,1,3,解析：yx1的定义域为(，0)(0，)，1不合题意.排除B、C、D，故选A.,答案：A,3.已知2x23x0，那么函数f(x)x2x1()A.有最小值，但无最大值B.有最小值，有最大值1C.有最小值1，有最大值D.无最小值，也无最大值,解析：2x23x0，0x，又f(x)(x)2，f(x)minf(0)1，f(x)maxf().,答案：C,4.方程mx22mx10有一根大于1，另一根小于1，则实数m的取值范围是.,解析：令f(x)mx22m1，当m0时，f(1)3m10，即m，舍去；当m0时，3m10，即m，m0.,答案：m0,5.已知函数f(x)(xa)(xb)2(ab)，若、()是方程f(x)0的两个根，则实数a，b，之间的大小关系是.,解析：已知函数f(x)(xa)(xb)2(ab)，若、()是方程f(x)0的两个根，则实数a，b，之间的大小关系是若令g(x)(xa)(xb)，显然函数g(x)的两个零点是a，b函数f(x)的两个零点是，而函数f(x)的图象是由函数g(x)的图象向上平移两个单位得到的，结合图象可知：ab.,答案：ab,6.函数f(x)x24x4在闭区间t，t1(tR)上