自动控制4.1-4.2-根轨迹法的基本概念和绘制

第4章线性系统的根轨迹法,本章主要内容,4.1根轨迹法的基本概念4.2根轨迹绘制的基本原则4.3广义根轨迹4.4系统性能分析,本章要求,1、正确理解根轨迹的概念；2、掌握根轨迹的绘制法则，能熟练绘制根轨迹；3、了解广义根轨迹；4、能根据根轨迹定性分析系统指标随参数变化趋势；5、掌握确定闭环零极点及计算系统动态指标的方法。,4.1根轨迹方程,特征方程的根运动模态系统动态响应,根轨迹开环系统（传递函数）的每一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程根在s平面上的轨迹称为根轨迹。,若闭环系统不存在零点与极点相消，闭环特征方程的根与闭环传递函数的极点是一一对应的。,特征方程可以写成特征方程的根如果令，二阶系统的根轨迹如图。,设控制系统如图，闭环传递函数,极点,极点,稳定性考察根轨迹是否进入右半s平面。稳态性能开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为1型系统，根轨迹上的K值就是静态误差系数。但是由开环传递函数绘制根轨迹，K是根轨迹增益，根轨迹增益与开环增益之间有一个转换关系。动态性能由K值变化所对应的闭环极点分布来估计。,根轨迹与系统性能,闭环零、极点与开环零、极点之间的关系,设控制系统如图所示,闭环传递函数,：前向通路增益：前向通道根轨迹增益：反馈通道根轨迹增益,结论：（1）闭环系统的根轨迹增益=开环前向通道系统根轨迹增益。（2）闭环系统的零点由开环前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数的极点所组成。（3）闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益均有关。,根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。,由闭环传递函数,当,求出相应的根，就可以在s平面上绘制出根轨迹。,根轨迹方程可以进一步表示为,相角条件（幅角条件）：（充分必要条件）,模值条件（幅值条件）：,根轨迹的幅值条件方程和相角条件方程,为复数，故根轨迹方程是一个向量方程。,幅值条件：相角条件：,相角条件方程和kg无关，s平面上任意一点，只要满足相角条件方程，则必定同时满足幅值条件，该点必定在根轨迹上，即对应不同的kg时的闭环极点，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件。,4.2根轨迹绘制的基本法则,可变参数为根轨迹增益,相角条件：180o相轨迹,规则1：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。简要证明：,又从,在实际系统通常是，则还有条根轨迹终止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有个无限远（无穷）零点。,有两个无穷远处的终点,规则2：根轨迹的分支数和对称性根轨迹的分支数：与开环极点数n相等（nm）或与开环有限零点数m相等（nm时，则有（n-m)条根轨迹分支终止于无限零点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。,与实轴夹角,与实轴交点,例4-1设单位反馈系统的前向传递函数为,（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴,（1）,（3）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线。,规则5：根轨迹分离点两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点称为分离点（会合点）。分离点（会合点）的坐标d由下列方程所决定：,规则4：实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。这个结论可以用相角条件证明。,注：（1）根轨迹出现分离点说明对应特征根出现了重根。（2）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点）或开环极点（包括无限极点），则在此段根轨迹上必有分离点。（3）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。,例4-2绘制图示系统大致的根轨迹,解（1）开环零点开环极点根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。（2）实轴上根轨迹（3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点（4）分离点（用试探法求解）,例4-3设单位反馈系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹。,解：（1）一个开环零点，两个开环极点；两条根轨迹分支；有一个无穷远处的零点。（2）渐近线与实轴重合的，实轴上根轨迹（-，-2。（3）分离点,（4）由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分，圆心为（-2，j0)，半径为,规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角（入射角）起始角（出射角）：根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴的夹角。终止角（入射角）：根轨迹进入复平面上开环零点处的切线与实轴的夹角。,出射角：始于开环极点的根轨迹在起点的切线与正实轴的夹角入射角：止于开环零点的根轨迹在终点的切线与正实轴的夹角,说明：靠近的地方选一个s1点，相距当0，则出射角即：,通式：由其它各开环零点指向的向量的幅角：由其它各开环极点指向的向量的幅角,入射角：,规则7：根轨迹与虚轴的交点交点对应的根轨迹增益和角频率可以用劳斯判据或闭环特征方程（）确定。,例4-4设系统开环传递函数，试绘制系统大致的根轨迹。,解：（1）无开环零点，开环极点根轨迹在实轴上-3，0。（2）有4条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点,（3）分离点,（4）起始角（出射角）,（5）与虚轴的交点，运用劳斯判据,由辅助方程,由第一列、第三行元素为零,规则8：闭环极点之和、闭环极点之积与根轨迹分支走向（1）若n-m2，闭环极点之和=开环极点之和=常数表明：在某些根轨迹分支（闭环极点）向左移动，而另一些根轨迹分支（闭环极点）必须向右移动，才能维持闭环极点之和为常数。（2）对于1型以上（包括1型）的系统，闭环极点之积与开环增益值成正比。,闭环极点的确定,对于特定的K*值下的闭环极点，可以借助根轨迹图用模值条件确定。根据K*值，通常用试探法先确定在实轴上的闭环极点，然后确定其它的闭环极点。,例4-5在图中，确定K*=4的闭环极点。,解：因为已知分离点,于是可知K*=4对应的闭环极点在分离点两侧。经过若干次试探，找出满足模值条件的两个闭环极点,另外两个根可以从特征方程求出,例4-6设控制系统的开环传递函数为,试绘制系统的根轨迹。,（1）系统的开环极点为0，3，(1j)和(1j),它们是根轨迹上各分支的起点。共有四条根轨迹分支。有一条根轨迹分支终止在有限开环零点2，其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。（2）确定根轨迹的渐近线渐近线的倾斜角为,取式中的K=0，1，2，得a=/3，5/3。,（3）实轴上的根轨迹位于原点与零点2之间以及极点-3的左边，如图4-14中的粗线所示。从复数极点(1j)出发的两条根轨迹分支沿60渐近线趋向无穷远处。（4）在实轴上无根轨迹的分离点。（5）确定根轨迹与虚轴的交点,渐近线与实轴的交点为,系统的闭环特征方程式为,劳斯行列表,18,5,0,6,令阵列中的s1行等于零，即（6+3K）150K/（34-3K）=0,解之可得K=2.34。相应于K=2.34的频率，由辅助方程,解之得根轨迹与虚轴的交点为s=j1.614。,（6）确定根轨迹的出射角,根据绘制根轨迹的基本法则，自复数极点p1=（1j）出发的根轨迹的出射角为,取k=0，则得到,S平面,j,-1,-2,-3,-4,0,j1,j2,j3,-j3,135,45,90,26.6,系统的根轨迹,广义根轨迹是指根轨迹参数除了开环增益之外的所有根轨迹。,引入等效开环传递函数的概念,等效开环传递函数,4.3广义根轨迹,参数根轨迹,以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹.,参数根轨迹,注意：在此的等效意义是在特征方程相同，或者是闭环极点相同的前提下成立；而此时闭环零点是不同的。,例4-6设单位反馈系统的开环传递函数为其中开环增益可自行选定。试分析时间常数对系统性能的影响。,解：闭环特征方程,要绘制参数根轨迹，首先要求出等效开环传递函数的极点,等效开环极点,注：若分母多项式为高次时，无法解析求解等效开环极点，则运用根轨迹法求解。如本例，求解分母特征根的根轨迹方程为：,在本例中，K可自行选定，选定不同K值，然后将G1(s)的零、极点在s平面上，在令绘制出变化时的参数根轨迹。,附加开环零点的作用,附加的开环实数零点，其值可在s左半平面内任意选择，当时，表明不存在有限零点。,1.附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。,设开环传递函数为,2.附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改善系统的动态性能。,结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善。,设系统闭环传递函数,系统的闭环极点,单位阶跃响应,近似结果,主导极点,非主导极点,4.4系统性能分析与估算,闭环零极点与时间响应的关系,闭环极点,闭环零点,实数偶极子、复数偶极子。如果这对偶极子不十分靠近坐标原点，则它们对动态性能的影响可以忽略不计。,偶极子，是指一对相距很近的闭环零点、极点。,例如,假定，则，构成一对偶极子,系统单位阶跃响应,简化为,如果偶极子十分接近原点，即,偶极子的确定：闭环零、极点之间的距离比它们自身的模值小一个数量级，这对闭环零、极点构成偶极子。,系统单位阶跃响应,简化为,一典型三阶系统为例，其传递函数为,系统性能的定量分析,先求出其阶跃响应,通过近似计算，得到各项性能指标,（1）稳定性：闭环极点全部位于左半S平面，则系统一定稳定，即系统稳定性与闭环极点有关，与闭环零点无关。（2）运动形式：闭环系统无零点，闭环极点均为实数，时间响应一定是单调的；闭环极点均为复数，时间响应一般是振荡的。（3）超调量：超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率并与其它闭环零、极点接近坐标的程度有关。,闭环系统零、极点位置对时间响应性能指标的影响，归纳为：,系统性能的定性分析,（