【初中数学课件】等差数列的前n项和ppt课件.ppt

等差数列的前n项和,天马行空官方博客：,问题1,1+2+3+4+5+100=？,天马行空官方博客：,解法1:,1+100=101，2+99=101，3+98=101，4+97=101，49+52=101，50+51=101.1+2+3+4+5+100=50101=5050.,高斯,德国著名数学家高斯（CarlFriedrichCauss1777年1855年），10岁时曾很快求出它的结果！,解法2,1+99=100，2+98=100，3+97=100，47+53=100，48+52=100，49+51=100，1+2+3+4+5+100=49100+150=5050,解法1与解法3的比较,解法1：1+100=101，2+99=101，49+52=101，50+51=101.1+2+3+4+5+100=50101=5050.,解法3：设：S=1+2+99+100,S=100+99+2+1,2S=(1+100)+(2+99)+(99+2)+(100+1)=100101s=100(1+100)/2S=5050.,解法1与解法3的比较,解法1：1+100=101，2+99=101，49+52=101，50+51=101.1+2+3+4+5+100=50101=5050.算术法,解法3：设：S=1+2+99+100,S=100+99+2+1,2S=(1+100)+(2+99)+(99+2)+(100+1)=100101s=100(1+100)/2S=5050.,解法1与解法3的比较,解法1：1+100=101，2+99=101，49+52=101，50+51=101.1+2+3+4+5+100=50101=5050.算术法,解法3：设：S=1+2+99+100,S=100+99+2+1,2S=(1+100)+(2+99)+(99+2)+(100+1)=100101s=100(1+100)/2S=5050.,解法1与解法3的比较,解法1：1+100=101，2+99=101，49+52=101，50+51=101.1+2+3+4+5+100=50101=5050.算术法,解法3：设：S=1+2+99+100,S=100+99+2+1,2S=(1+100)+(2+99)+(99+2)+(100+1)=100101s=100(1+100)/2S=5050.代数法（倒序求和）,解法3,设：S=1+2+3+4+97+98+99+100,S=100+99+98+97+4+3+2+1,2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+(97+4)+(98+3)+(99+2)+(100+1)=100101s=100(1+100)/2S=5050注：此法称倒序求和（属代数法）,解法3,设：S=1+2+3+4+97+98+99+100,S=100+99+98+97+4+3+2+1,2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+(97+4)+(98+3)+(99+2)+(100+1)=100101s=100(1+100)/2S=5050注：此法称倒序求和（属代数法）,猜想1,设求等差数列an的前n项和为Sn，即Sn=a1+a2+a3+an,则sn=n(a1+an)/2,探索1,设:Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an,Sn=an+an-1+an-2+a3+a2+a12Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)？2Sn=n(a1+an)sn=n(a1+an)/2,解决疑难问题,定理：数列an是等差数列，m,n,p,q分别为自然数若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.证明：设等差数列首项为a1，公差为d,则am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)dap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)dm+n=p+q,m+n-2=p+q-2am+an=ap+aq,证明猜想1,证明：Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an,Sn=an+an-1+an-2+a3+a2+a12Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)1+n=2+n-1=3+n-2=n-2+3=n-1+2=n+1,由定理得(a1+an)=(a2+an-1)=(a3+an-2)=(an-2+a3)=(an-1+a2)=(an+a1)2Sn=n(a1+an)sn=n(a1+an)/2sn=n(a1+an)/2,由定理得(a1+an)=(a2+an-1)=(a3+an-2)=(an-2+a3)=(an-1+a2)=(an+a1)2Sn=n(a1+an)sn=n(a1+an)/2sn=n(a1+an)/2,由定理得(a1+an)=(a2+an-1)=(a3+an-2)=(an-2+a3)=(an-1+a2)=(an+a1)2Sn=n(a1+a2)sn=n(a1+an)/2sn=n(a1+an)/2,解法4：,1+2+3+4+100=3+3+4+100=6+4+100=5050,解法5：,把问题1看成a1=1,d=1,n=100的等差数列，则根据等差数列的中项公式，得1+99=250，2+98=250，3+97=250,，,47+53=250,48+52=250,49+51=250,1+2+3+4+5+100=49250+50+100=5050,对问题1转换点看,用数列观点：求等差数列1，2，3，4，5，6，n,的前100项的和.从而研究等差数列：a1,a2,a3,an,设求等差数列an的前n项和为Sn，即Sn=a1+a2+a3+an,用倒序求和法1,Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+anSn=an+an-1+an-2+a3+a2+a12Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)2Sn=a1+a1+(n-1)d+a1+d+a1+(n-2)d+a1+(n-2)d+a1+d+a1+(n-1)d+a1,2Sn=2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d2Sn=n2a1+(n-1)dSn=n2a1+(n-1)d/2Sn=na1+n(n-1)d/2,2Sn=2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d2Sn=n2a1+(n-1)dSn=n2a1+(n-1)d/2Sn=na1+n(n-1)d/2,2Sn=2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d2Sn=n2a1+(n-1)dSn=n2a1+(n-1)d/2Sn=na1+n(n-1)d/2,2Sn=2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d2Sn=n2a1+(n-1)dSn=n2a1+(n-1)d/2Sn=na1+a1+(n-1)d/2an=a1+(n-1)dSn=na1+an/2,2Sn=2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d2Sn=n2a1+(n-1)dSn=n2a1+(n-1)d/2Sn=na1+a1+(n-1)d/2an=a1+(n-1)dSn=na1+an/2,2Sn=2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d2Sn=n2a1+(n-1)dSn=n2a1+(n-1)d/2Sn=na1+a1+(n-1)d/2an=a1+(n-1)dSn=na1+an/2,用倒序求和法2,Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an,则Sn=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d,(1)Sn=an+(an-d)+an-(n-1)d,(2)由（1）+（2）得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an),用倒序求和法2,Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an,则Sn=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d,(1)Sn=an+(an-d)+an-(n-1)d,(2)由（1）+（2）得n个2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an),用倒序求和法2,Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an,则Sn=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d,(1)Sn=an+(an-d)+an-(n-1)d,(2)由（1）+（2）得n个2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)=n(a1+an),用倒序求和法2,Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an,则Sn=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d,(1)Sn=an+(an-d)+an-(n-1)d,(2)由（1）+（2）得n个2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)=n(a1+an)Sn=na1+an/2,用倒序求和法2,Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an,则Sn=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d,(1)Sn=an+(an-d)+an-(n-1)d,(2)由（1）+（2）得n个2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)=n(a1+an)Sn=na1+an/2,等差数列的前n项和公式,Sn=na1+an/2(1)Sn=na1+n(n-1)d/2(2),问题1,1+2+3+4+5+100=？解：由题意可知，它是等差数列前n项和求和问题，则a1=1,an=100,n=100Sn=100(1+100)/2=5050.,例1,如图3-4，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支铅笔？,解：,由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，即为an，其中a1=1,a120=120.根据等差数列前n项和的公式，得,S120=120(1+120)/2=7260.答：V形架上共放着7260支铅笔.,例2,等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是54？解:设题中的等差数列为an，前n项和是Sn，则a1=-10