最新人教版九年级下册数学教案（共197页）

二次函数 本章知识要点 1 探索具体问题中的数量关系和变化规律 2 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念 3 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质 4 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴 5 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解 6 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题 26 1 二次函数 本课知识要点 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中 体会二次函数的意义 创新思维 （ 1）正方形边长为 a（ 它的面积 s（ 多少？ （ 2）矩形的长是 4 厘米，宽是 3 厘米，如果将其长与宽都增加 x 厘米，则面积增加 y 平方厘米，试写出 y 与 x 的关系式 请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义 实践与探索 例 1 m 取哪些值时，函数 )1()( 22 以 x 为自变量的二次函数？ 分析 若函数 )1()( 22 二次函数，须 满足的条件是：02 解 若函数 )1()( 22 二次函数，则 02 解得 0m ，且 1m 因此，当 0m ，且 1m 时，函数 )1()( 22 二次函数 回顾与反思 形如 2 的函数只有在 0a 的条件下才是二次函数 探索 若函数 )1()( 22 以 x 为自变量的一次函数，则 例 2写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 （ 1）写出正方体的表面积 S（ 正方体棱长 a（ 间的函数关系； （ 2）写出圆的面积 y（ 它的周长 x（ 间的函数关系； （ 3）某种储蓄的年利率是 存入 10000 元 本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数 x 之间的函数关系； （ 4）菱形的两条对角线的和为 26菱形的面积 S（ 一对角线长 x（ 间的函数关系 解 （ 1）由题意，得 )0(6 2 其中 S 是 a 的二次函数； （ 2）由题意，得 )0(42 其中 y 是 x 的二次函数； （ 3）由题意，得 10000% x 0 且是正整数）， 其中 y 是 x 的一次函数； （ 4）由题意，得 )260(1321)26(21 2 中 S 是 x 的二次函数 例 3正方形铁片边长为 15四个角上各剪去一个边长为 x（ 小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子 (1)求盒子的表面积 S（ 小正方形边长 x（ 间的函数关系式； (2)当小正方形边长为 3，求盒子的表面积 解 （ 1） )2150(4225415 222 （ 2）当 x=3， 1 89342 25 2 S （ 当堂课内练习 1下列函数中，哪些是二次函数？ （ 1） 02 （ 2） 2)1()2)(2( （ 3）2 （ 4） 322 2当 k 为何值时，函数 1)1( 2 二次函数？ 3已知正方形的面积为 )( 2周长为 x（ (1)请写出 y 与 x 的函数关系式； (2)判断 y 是否为 x 的二次函数 本课课外作业 A 组 1 已知函数 72)3( 二次函数，求 m 的值 2 已知二次函数 2，当 x=3 时， y= x= ，求 y 的值 3 已知一个圆柱的高为 27，底面半径为 x，求圆柱的体积 y 与 x 的函数关系式若圆柱的底面半径 x 为 3，求此时的 y 4 用一根长为 40 铁丝围成一个半径为 r 的扇形，求扇形的面积 y 与它的半径 x 之间的函数关系式这个函数是二次函数吗？请写出半径 r 的取值范围 B 组 5 对 于 任 意 实 数 m ，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A 22)1( B 22)1( C 22 )1( D 22 )1( 6下列函数关系中，可以看作二次函数 2 （ 0a ）模型的是 （ ） A 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B 我国人口年自然增长率为 1%，这样我国人口总数随年份的变化关 系 C 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D 圆的周长与圆的半径之间的关系 本课学习体会 26 2 二次函数的图象与性质（ 1） 本课知识要点 会用描点法画出二次函数 2的图象，概括出图象的特点及函数的性质 创新思维 我们已经知道，一次函数 12 反比例函数的图象分别是 、 ，那么二次 函数 2的图象是什么呢？ （ 1）描点法画函数 2的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当 x 取互为相反数的值时， y 的值如何？ （ 2）观察函数 2的图象，你能得出什么结论？ 实践与探索 例 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？ （ 1） 22 （ 2） 22 解 列表 x 2 1 2 3 22 18 8 2 0 2 8 18 22 8 8 分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图 26 2 1 共同点：都以 y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点 不同点： 22的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右 下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升 22 的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降 回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接 例 2已知 42)2( 二次函数，且当 0x 时， y 随 x 的增大而增大 （ 1）求 k 的值； （ 2）求 顶点坐标和对称轴 解 （ 1）由题意，得02242 解得 k=2 （ 2）二次函数为 24，则顶点坐标为（ 0， 0），对称轴为 y 轴 例 3已知正方形周长为 积为 S （ 1）求 S 和 C 之间的函数关系式，并画出图象； （ 2）根据图象，求出 S=1 ，正方形的周长； （ 3）根据图象，求出 C 取何值时， S 4 分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量 C 的取值应在取值范围内 解 （ 1）由题意，得 )0(161 2 列表： C 2 4 6 8 2161 41 1 49 4 描点、连线，图象如图 26 2 2 （ 2）根据图象得 S=1 ，正方形的周长是4 （ 3）根据图象得，当 C 8， S 4 回顾与反思 （ 1）此图象原点处为空心点 （ 2）横轴、纵轴字母应为题中的 字母 C、 S，不要习惯地写成 x、 y （ 3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分 当堂课内练习 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标 （ 1） 23 （ 2） 23 （ 3） 231（ 1）函数 232开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； （ 2）函数 241的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 3已知等边三角形的边长为 2x，请将此三角形的面积 S 表示成 x 的函数，并画出图象的草图 本课课外作业 A 组 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象 （ 1） 24 （ 2） 241 填空： （ 1）抛物线 25 ， 当 x= 时， y 有最 值，是 （ 2）当 m= 时，抛物线 2)1( 开口向下 （ 3）已知函数 122 2)( 二次函数，它的图象开口 ，当 x 时， y 随 x 的增大而增大 3已知抛物线 102 ，当 0x 时， y 随 x 的增大而增大 （ 1）求 k 的值； （ 2）作出函数的图象（草图） 4已知抛物线 2经过点（ 1， 3），求当 y=9 时， x 的值 B 组 5底面是边长为 x 的正方形，高为 0 5长方体的体积为 1）求y 与 x 之间的函数关系式；（ 2）画出函数的图象；（ 3）根据图象，求出 y=8 x 的值；（ 4）根据图象，求出 x 取何值时， y 4 5 6二次函数 2与直线 32 于点 P（ 1， b） （ 1）求 a、 b 的值； （ 2）写出二次函数的关系式，并指出 x 取何值时，该函数的 y 随 x 的增大而减小 7 一个函数的图象是以原点为顶点， y 轴为对称轴的抛物线，且过 M（ 2） （ 1）求出这个函数的关系式并画出函数图象； （ 2）写出抛物线上与点 M 关于 y 轴对称的点 N 的坐标，并求出 面积 本课学习体会 26 2 二次函数的图象与性质（ 2） 本课知识要点 会画出 2 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质 创新思维 同学们还记得一次函数 与 12 图象的关系吗？ ，你能由此推测二次函数 2与 12 图象之间的关系吗？ ，那么 2与 22 图象之间又有何关系？ 实践与探索 例 1在同一直角坐标系中，画出函数 22与 22 2 图象 解 列表 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图 26 2 3 所示 回顾与反思 当自变量 x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？ 探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数 22与 22 2 图象之间的关系吗？ 例 2在同一直角坐标系中，画出函数 12 12 图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线 12 到抛物线 12 x 2 1 2 3 22 18 8 2 0 2 8 18 22 2 20 10 4 2 4 10 20 解 列表 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图 26 2 4 所示 可以看出，抛物线 12 由抛物线 12 下平移两个单位得到的 回顾与反思 抛物线 12 抛物线 12 别是由抛物线 2向上、向下平移一个单位得到的 探索 如果要得到抛物线 42 应将抛物线 12 怎样的平移？ x 2 1 2 3 12 3 0 1 0 8 12 5 1 5 例 3一条抛物线的开口方向、对称轴与 221 同，顶点纵坐 标是 抛物线经过点（ 1， 1），求这条抛物线的函数关系式 解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标为（ 0， 因此所求函数关系式可看作 )0(22 又抛物线经过点（ 1， 1）， 所以， 211 2 a ， 解得 3a 故所求函数关系式为 23 2 回顾与反思 2 （ a、 k 是常数， a 0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下： 2 开口方向 对称轴 顶点坐标 0a 0a 当堂课内练习 1 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 221 ， 221 2 221 2 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及 对称轴、顶点的位置你能说出抛物线 221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2抛物线 941 2 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线 241 平移 个单位得到的 3函数 33 2 当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而减小当 x 时，函数取得最 值，最 值 y= 本课课外作业 A 组 1已知函数 231 331 2 231 2 （ 1）分别画出它们的图象； （ 2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （ 3）试说出函数 531 2 称轴、顶点坐标 2 不画图象，说出函数 341 2 称轴和顶点坐标，并说明它是由函数 241 通过怎样的平移得到的 3若二次函数 22 图象经过点（ 10），求 a 的值这个函数有最大还是最小值？是多少？ B 组 4在同一直角坐标系中 2 与 )0,0( 图象的大致位置是 ( ) 5已知二次函数 7)1(8 2 当 k 为何值时，此二次函数以 y 轴为对称轴？写出其函 数关系式 本课学习体会 26 2 二次函数的图象与性质（ 3） 本课知识要点 会画出 2)( 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质 创新思维 我们已经了解到，函数 2 的图象，可以由函数 2的图象上下平移所得，那么函数 2)2(21 否也可以由函数 221 移而得呢？画图试一试，你能 从中发现什么规律吗？ 实践与探索 例 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象 221 ， 2)2(21 ， 2)2(21 并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标 解 列表 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图 26 2 5 所示 它们的开口方向都向上；对称轴分别是 y 轴、直线 x= 直线 x=2；顶点坐标分别是 （ 0， 0），（ 0），（ 2， 0） x 2 1 2 3 221 292 210 212 29 2)2(21 210 212 2258 225 2)2(21 2258 29 2 210 21 回顾与反思 对于抛物线 2)2(21 x 时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x 时，函数取得最 值，最 值 y= 探索 抛物线 2)2(21 (21 21左、向右平移两个单位得到的如果要得到抛物线 2)4(21 将抛物线221作怎样的平移？ 例 2不画出图象，你能说明抛物线 23 与 2)2(3 间的关系吗 ? 解 抛物线 23 的顶点坐标为（ 0， 0）；抛 物线 2)2(3 顶点坐标为（ 0） 因此，抛物线 23 与 2)2(3 状相同，开口方向都向下，对称轴分别是 y 轴和直线 2x 抛物线 2)2(3 由 23 向左平移 2 个单位而得的 回顾与反思 2)( （ a、 h 是常数， a 0）的图象的开口方向、对 称轴、顶点坐标归纳如下： 2)( 开口方向 对称轴 顶点坐标 0a 0a 当堂课内练习 1画图填空：抛物线 2)1( 开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线 2向 平移 个单位得到的 2在同一直角坐标系中，画 出下列函数的图象 22 ， 2)3(2 ， 2)3(2 并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标 本课课外作业 A 组 1已知函数 221 ， 2)1(21 2)1(21 （ 1）在同一直角坐标系中画出它们的图象； （ 2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （ 3）分别讨论各个函 数的性质 2根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线 221 得到抛物线 2)1(21 )1(21 3函数 2)1(3 当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而减小当 x 时，函数取得最 值，最 值 y= 4不画出图象，请你说明抛物线 25与 2)4(5 间的关系 B 组 5将抛物线 2向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 新抛物线经过点 （ 1， 3），求 a 的值 本课学习体会 26 2 二次函数的图象与性质（ 4） 本课知识要点 1掌握把抛物线 2平移至 2)( +k 的规律； 2会画出 2)( +k 这类函数的图象，通 过比较，了解这类函数的性质 创新思维 由前面的知识，我们知道，函数 22的图象，向上平移 2 个单位，可以得到函数 22 2 图象；函数 22的图象，向右平移 3 个单位，可以得到函数 2)3(2 图象，那么函数 22的图象，如何平移，才能得到函数 2)3(2 2 图象呢？ 实践与探索 例 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象 221 ， 2)1(21 2)1(21 2 并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标 解 列表 描点、连线，画出这 三个函数的图象，如图 26 2 6 所示 它们的开口方向都向 ， 对 称 轴 分 别为 、 、 ， 顶 点 坐 标 分 别为 、 、 请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系 回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数 2)( +k 中k 的值；左右平移，只影响 h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平 移的路径此外，图象的平移与平移的顺序无关 探索 你能说出函数 2)( +k（ a、 h、 k 是常数， a 0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表 2)( +k 开口方向 对称轴 顶点坐标 0a x 2 1 2 3 221 29 2 21 0 21 2 29 2)1(21 8 292 210 212 2)1(21 2 6 25 0 2330 0a 例 2 把抛物线 2 向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到抛物线 2，求 b、 c 的值 分析 抛物线 2的顶点为（ 0， 0），只要求出抛物线 2 的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出 b、 c 的值 解 2 442224)2(22 向上平移 2 个单位，得到 24)2(22 再向左平移 4 个单位，得到 24)42(22 其顶点坐标是 )24,42(2 而抛物线 2的顶点为（ 0， 0），则 0240422 148探索 把抛物线 2 向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到抛物线 2，也就意味着把抛物线 2向下平移 2 个单位，再向右平移 4个单位，得到抛物线 2 那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试 当堂课内练习 1 将抛物线 1)4(2 2 何 平 移 可 得 到 抛 物 线 22 （ ） A向左平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 B向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 C向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 D向右 平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 2把抛物线 223 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，所得的抛物线的函数关系式为 3抛物线 22121 可由抛物线 221 向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到 本课课外作业 A 组 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象 23 ， 2)2(3 1)2(3 2 并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标 2将抛物线 522 向下平移 1 个单位，再向左平移 4 个单位，求平移后的抛物线的函数关系式 3将抛物线2321 2 得到抛物线 3221 2 B 组 4把抛物线 2 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到抛物线 532 则 有 （ ） A b =3， c=7 B b= c= C b=3， c=3 D b= c=21 5抛物线 23 是由抛物线 13 2 上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位得到的，求 b、 c 的值 6将抛物线 )0(2 左平移 h 个单位，再向上平移 k 个单位，其中 h 0， k 0，求所得的抛物线的函数关系式 本课学习体会 26 2 二次函数的图象与性质（ 5） 本课知识要点 1能通过配方把二次函数 2 化成 2)( +k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标； 2会利用对称性画出二次函数的图象 创新思维 我们已经发现，二次函数 1)3(2 2 图象，可以由函数 22的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数 1)3(2 2 开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 那么，对于任意一个二次函数，如 232 你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？ 实践与探索 例 1通过配方，确定抛物线 642 2 开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图 解 642 2 8)1(261)1(26)112(26)2(22222物线开口向下，对称轴是直线 x=1，顶点坐标为（ 1， 8） 由对称性列表： x 1 0 1 2 3 4 642 2 6 8 6 0 描点、连线，如图 26 2 7 所示 回顾与反思 （ 1）列表时选值，应以对称轴 x=1 为中心，函数值 可由对称性得到， （ 2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点 探索 对于二次函数 2 ，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 例 2已知抛物线 9)2(2 顶点在坐标轴上，求 a 的值 分析 顶点在坐标轴上有两种可 能：（ 1）顶点在 x 轴上，则顶点的纵坐标等于0；（ 2）顶点在 y 轴上，则顶点的横坐标等于 0 解 9)2(2 2(9)2 2(22 则抛物线的顶点坐标是 4 )2(9,2 22 当顶点在 x 轴上时，有 022a， 解得 2a 当顶点在 y 轴上时，有 04 )2(92 a ， 解得 4a 或 8a 所以，当抛物线 9)2(2 顶点在坐标轴上时， a 有三个值，分别是 2， 4， 8 当堂课内练习 1（ 1）二次函数 2 的对称轴是 （ 2）二次函数 122 2 图象的顶点是 ，当 x 时 ， y随 x 的增大而减小 （ 3）抛物线 642 顶点横坐标是 a = 2抛物线 22 的顶点是 )1,31( ，则 a 、 c 的值是多少？ 本课课外作业 A 组 1已知抛物线25321 2 出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象 2利用配方法，把下列函数写成 2)( +k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 （ 1） 162 （ 2） 432 2 （ 3） 2 （ 4） 2 3已知 622)2( 二次函数，且当 0x 时， y 随 x 的增大而增大 （ 1）求 k 的值；（ 2）求开口方向 、顶点坐标和对称轴 B 组 4当 0a 时，求抛物线 22 212 的顶点所在的象限 5. 已知抛物线 42 的顶点 A 在直线 14 ，求抛物线的顶点坐标 本课学习体会 用函数观点看一元二次方程（第一课时） 教学目标 (一 )知识与技能 1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系 2理 解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根 3理解一元二次方程的根就是二次函数与 y=h(交点的横坐标 (二 )过程与方法 1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神 2通过观察二次函数图象与 论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想 3通过学生共同观察和讨论培养大家的合作交流意识 (三 )情感态度与价 值观 1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造感受数学的严谨性以及数学结论的确定性， 2具有初步的创新精神和实践能力 教学重点 1体会方程与函数之间的联系 2理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根 y=h(交点的横坐标 教学难点 1探索方程与函数之间的联系的过程 2理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系 教 学过程 入新课 kx+b=0(k 0)和一次函数 y kx+b(k 0)后，讨论了它们之间的关系当一次函数中的函数值 y=0时，一次函数 y=kx+kx+b=0，且一次函数 )y=kx+b(k 0)的图象与 x 轴交点的横坐标即为一元一次方程 kx+b 0的解 现在我们学习了一元二次方程 bx+c 0(a 0)和二次函数 ybx+c(a 0)，它们之间是否也存在一定的关系呢 ? 接引入新课 合作交流 解读探究 探究：教材问题 师生同步完成 . 观察：教材 22页，学生小组交流 . 归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳 . 巩固提高 1 同期声 2 3 总结反思 拓展升华 本节课学了如下内容： 1经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系 2理解了二次函数与 与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根 ,两个相等的实根和没有实根 . 分类讨论和数形结合 . 反思：在判断抛物线与 x 轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？ 拓展：教案 课后作业 6 2 二次函数的图象与性质（ 6） 本课知识要点 1会通过配方求出二次函数 )0(2 最大或最小值； 2在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二 次函数的性质求实际问题中的最大或最小值 创新思维 在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如 问题：某商店将每件进价为 80 元的某种商品按每件 100 元出售，一天可销出约100 件该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润经过市场调查，发现这种商品单价每降低 1 元，其销售量可增加约 10 件将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 在这个问题中，设每件商品降价 x 元，该商品每天的利润为 y 元，则可得函数关系式为二次函数 200010010 2 那么，此问题可归结 为：自变量 y 取得最大值？你能解决吗 ? 实践与探索 例 1求下列函数的最大值或最小值 （ 1） 532 2 （ 2） 432 分析 由于函数 532 2 432 自变量 x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值 解 （ 1）二次函数 532 2 的二次项系数 2 0， 因此抛物线 532 2 最低点，即函数有最小值 因为 532 2 849)43(2 2 x， 所以当43数 532 2 最小值是849 （ 2）二次函数 432 的二次项系数 0， 因此抛物线 432 最高点，即函数有最大值 因为 432 425)23( 2 x， 所以当23数 432 最大值是425 回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定 a 的符号， a 0 有最小值，a 0 有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值 探索 试一试，当 2 5 x 3 5 时，求二次函数 322 最大值或最小值 例 2某产品每件成本是 120 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间关系如下表： x（元） 130 150 165 y（件） 70 50 35 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？ 分析 日销售利润 =日销售量每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量 解 由表可知 x+y=200， 因此，所求的一次函数的关系式为 200 设每日销售利润为 s 元，则有 1 6 0 0)160()120( 2 因为 01 2 0,02 0 0 所以 200120 x 所以，当每件产品的销售价定为 160 元时，销售利润最大，最大销售利润为 1600元 回顾与反思 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果 例 3如图 26 2 8，在 ， C=90， ， ，点 D 在斜边 ，分别作 足分 别为 E、 F，得四边形 DE=x， DF=y （ 1）用含 y 的代数式表示 （ 2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出 x 的取值范围； （ 3）设四边形 面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系，并求出 S 的最大值 解 （ 1）由题意可知，四边形 矩形，因此 8 （ 2）由 得，即884 ， 所以， 8 ， x 的取值范围是 40 x （ 3） 8)2(282)28( 22 所以，当 x=2 时， S 有最大值 8 当堂课内练习 1对于二次函数 22 ，当 x= 时， y 有最小值 2已知二次函数 2)1( 有最小值 1，则 a 与 b 之间的大小关系是 （ ） A a b B a=b C a b D不能确定 3某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件 （ 1）若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （ 2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 本课课外作业 A 组 1求下列函数的最大值或最小值 （ 1） 2 ； （ 2） 122 2 2已知二次函数 62 的最小值为 1，求 m 的值， 3心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x（单位：分）之间满足函数关系： )300( y 值越大，表示接受能力越强 （ 1） x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？ x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （ 2）第 10 分时，学生的接受能力是多少？ （ 3）第几分时，学生的接受能力最强？ B 组 4不论自变量 x 取什么数，二次函数 62 2 的函数值总是正值，求m 的取值范围 5如图，有长为 24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度 a 为 10m）， 围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽 x m，面积为 S （ 1）求 S 与 x 的函数关系式； （ 2）如果要围成面积为 45 花圃， 长是多少米？ （ 3）能围成面积比 45 大的花圃吗？如果能，请求出 最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由 6如图，矩形 ， ， ，线段 对角线 ， 足分别是 G、 H，且 H= （ 1）求线段 长； （ 2）设 EG=x， 面积和为 S， 写出 S 关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围， 并求出 S 的最小值 本课学习体会 26 . 2 二次函数的图象与性质（ 7） 本课知识要点 会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式 创新思维 一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式例如：我们在确定一次函数 )0( 关系式时 ，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数 )0( 常只需要一个条件：如果要确定二次函数 )0(2 关系式，又需要几个条件呢？ 实践与探索 例 1某涵洞是抛物线形，它的截面如图 26 2 9 所示，现测得水面宽 1 6m，涵洞顶点 O 到水面的距离为 2 4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 分析 如图，以 垂直平分线为 y 轴，以过点 O 的 x 轴，建立了直角坐标系这时，涵洞所在的抛物线的顶 点在原点，对称轴是 y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是 )0(2 此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式 解 由题意，得点 B 的坐标为（ 0 8， 4）， 又因为点 B 在抛物线上，将它的坐标代入 )0(2 得 a 所以 415a 因此，函数关系式是 2415 例 2根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式 （ 1）已知二次函数的图象经过点 A（ 0， B（ 1， 0）、 C（ 2）； （ 2）已知抛物线的顶点为（ 1， 且与 y 轴交于点（ 0， 1）； （ 3）已知抛物线与 x 轴交于点 M（ 0）、（ 5， 0），且与 y 轴交于点（ 0， （ 4）已知抛物线的顶点为（ 3， 且与 x 轴两交点间的距离为 4 分析 （ 1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为 2 的形式；（ 2） 根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为3)1( 2 再根据抛物线与 y 轴的交点可求出 a 的值；（ 3）根据抛物线与 x 轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为 )5)(3( 再根据抛物线与 y 轴的交点可求出 a 的值；（ 4）根据已知抛物线的顶点坐标（ 3， 可设函数关系式为 2)3( 2