名校真题初二数学难题解析

1（2008南京）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为X（H），两车之间的距离为Y（KM），图中的折线表示Y与X之间的函数关系根据图象进行以下探究信息读取图象理解1甲、乙两地之间的距离为_KM（2）请解释图中点B的实际意义；（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段BC所表示的Y与X之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时1解（1）900（2）图中点B的实际意义是当慢车行驶4H时，慢车和快车相遇；（3）由图象可知，慢车12H行驶的路程为900KM,所以慢车的速度为9075/,12KMH当慢车行驶4H时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900KM，慢车和快车行驶的速度之和为，所以快车的速度为150KM/H；（4）根据题意，快车行驶900KM到达乙地，所以快车行驶到达乙地，此时两车之间的距离为6X75450（KM），所以点C的坐标为（6，450）设线段BC所表示的Y与X之间的函数关系式为，把（4，0），（6，450）代入得YKXB04KB，4506K6，解得K225，B900，所以，线段BC所表示的Y与X之间的函数关系式为Y225X900，自变量X的取值范围是4X6；（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是45H，把X45代入Y225X900中，得Y1125此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车1之间的距离是1125KM，所以两列快车出发的间隔时间是1125150075（H），即第二列快车比第一列快车晚出发075H2如图，已知直线LY3,X过点A（0,1）作Y轴的垂线交直线L于点B,过点B作直线L的垂线交Y轴于点1A过点1作Y轴的垂线交直线L于点1B,过点1作直线L的垂线交Y轴于点2,A按此作法继续下去,则点的坐标为_2013A1112223334442013120132013201386,645558,NOBOAA解，点的点坐标为（0,），点的坐标为（），点的坐标为（），点的坐标为（），点的坐标为（3某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟，下图表示快递车距离A地的路程Y单位千米与所用时间X单位时的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时（1）请在图中画出货车距离A地的路程Y千米与所用时间X时的函数图象；（2）求两车在途中相遇的次数直接写出答案；（3）求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时23解1（2）4（3）设直线EF的解析式YK1XB1图像过（9，0），（5，200）1109,5254KBK解得，40YX设直线DC的解析式YK2XB2，图像过（8，0），（6，200）22106,8KKB解得，08YX解由、组成的方程组5047,1810YXXY解得，最后一次相遇时距离A地的路程为100KM，货车从A地出发8小时4小华准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他以存62元，从现在起每月存12元，小华的同学小丽以前没有存过零用钱，听到小华在存零用钱，表示从现在起每个月存20元，争取超过小华1请直接写出小华的存款总数Y与现在开始的存款月数X之间的函数关系式以及小丽存款数Y与现在开始的存款月数X之间的函数关系式（2）请你求出从第几个月开始小丽存款数超过小华4解（1）Y16212X，Y220X；（4分）（2）由20X6212X得X775，（7分）所以从第8个月开始小丽的存款数可以超过小华35（2013牡丹江）若等腰三角形的周长是100CM，则能反映这个等腰三角形的腰长Y（CM）与底边长X（CM）之间的函数关系式的图象是（）ABCD分析根据三角形的周长列式并整理得到Y与X的函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边第三列式求出X的取值范围，即可得解解根据题意，X2Y100150,2所以根据三角形的三边关系，XYY0,XYY2Y所以，XX100，解得X50,150X2YY所以，与的函数关系式为）纵观各选项，只有C选项符合故选C6112YXXY在直线上，且到轴或轴距离为的点有（）34ABD个个个个答案C6解因为当X1时，Y1,X1时，Y0,X3时Y1所以有3个满足条件的点，C正确7一次函数YKXB（K0）的图象过点（1，1），且与直线Y2X5平行，则此一次函数的解析式为_解一次函数YKXB（K0）的图象与直线Y2X5平行，K2一次函数YKXB（K0）的图象过点（1，1），12B，解得B1；此一次函数的解析式为Y2X1；故答案是Y2X18“高高兴兴上学来，开开心心回家去”，小明某天放学后，17时从学校出发，回家途中离家的路程S百米与所走的时间T分钟之间的函数关系如图所示，那么这天小明到家的时间为（）A17时15分B17时14分C17时12分D17时11分8解设前分钟的函数关系式为YKXB0X6其过（，）（，）代入YKXB中，得418,53BK解得，1,8KBYX18,当X6时,Y12。1,16,128,YKXB分钟以后的函数关系式为其过点（）（），代入中，186KB12,4解得，12,4B解得，分钟以后的函数关系式为YX，当Y0时,X12分钟时分钟,到家时17时12分9已知直线L1经过点A（1，0）与点B（2，3），另一条直线L2经过点B，且与X轴相交于点P（M,0）（1）求直线L1的解析式；（2）若APB的面积为3，求M的值9解（1）设直线L1的解析式为YKXB，由题意，得，解得，所以，直线L1的解析式为YX1；（2）当点P在点A的右侧时，有，解得M1，此时，点P的坐标为（1，0）；当点P在点A的左侧时，有，解得M3，此时，点P的坐标为（3，0），综上所述，M的值为1或310甲、乙两班同学同时从学校沿同一路线去离学校S千米的军训巷地参加训练。甲班有一半路程以1V时的速度行走，另一半路程以2V千米/时的速度行走；乙班有一半时间以1V千米/时的速度行走，另一半时间以2千米/时的速度行走甲、设乙两班同学走到军训基地的时间分别为T小时、2T小时1试用含12SV、的代数式表示12T和5（2）请你判断甲、乙两班哪一个班的同学先到达军训基地并说明理由。121212212121212212120,4SSVTVTSVSSVSVTV解（）由已知得，11已知直线YNYXN为正整数与坐标轴围成的三角形的面积为,NS11已知直线Y12N为正整数与坐标轴围成的三角形的面积为,N则12301_SS11解令X0,2YN令Y0,11120,2NNXX2NSXXN2X1X12N106453130SS124521032041X0X6422AABC1,ABCBCCA2已知、满足则的值为_622221,B,ABCACABCABCCAABCABCBCAC1解两边同乘得同理B0AACBC）22213A,C,CAB已知且则代数式的值为_2223330,A,BBCACCAB解的分子、分母同乘得同理333222222,3BCBCCCBBCBCCB把代入上式，得原式A11AC,576A14已知则的值_B,5,C12,13,BCAA解分子、分母同乘得同理112348,24,24BCBCABCA0,_ABC（5若且则7A,A1,2,3,123,20BC2B,C0,8,0A,KBCKAKCBKACAB5解令则得（或当时，11BCCCAB的值是8或4223410,5,_MAA16已知且则2224224423,16,16,4,3AAAA解221115,5,5,142,32AMMM37460,4,113,7ABCCABCABC17已知实数、满足与则的值是_113,713,7,1317BCABCAABCBCCACABCABBCCA17解析等式两边同乘（得，,921CAB18如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点8E在线段BC上，且PEPB（1）求证PEPD；PEPD；（2）设APX，PBE的面积为Y求出Y关于X的函数关系式，并写出X的取值范围；当X取何值时，Y取得最大值，并求出这个最大值考点二次函数综合题专题压轴题；动点型分析（1）可通过构建全等三角形来求解过点P作GFAB，分别交AD、BC于G、F，那么可通过证三角形GPD和EFP全等来求PDPE以及PEPD在直角三角形AGP中，由于CAD45，因此三角形AGP是等腰直角三角形，那么AGPG，而PBPE，PFBE，那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出BFFEAGPG，同理可得出两三角形的另一组对应边DG，PF相等，因此可得出两直角三角形全等可得出PDPE，GDPEPF，而GDPGPD90，那么可得出GPDEPF90，由此可得出PDPE（2）求三角形PBE的面积，就要知道底边BE和高PF的长，（1）中已得出BFFEAG，那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG，GP即BF，FE的长，那么就知道了底边BE的长，而高PFCDGP，也就可求出PF的长，可根据三角形的面积公式得出X，Y的函数关系式然后可根据函数的性质及自变量的取值范围求出Y的最大值以及对应的X的取值18解答（1）证明过点P作GFAB，分别交AD、BC于G、F如图所示四边形ABCD是正方形，四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形AGP和PFC都是等腰直角三角形GDFCFP，GPAGBF，PGDPFE90度9又PBPE，BFFE，GPFE，EFPPGD（SAS）,PEPD,12132390度DPE90度PEPD（2）解过P作PMAB，可得AMP为等腰直角三角形，四边形PMBF为矩形，可得PMBF，APX，PM2X,BFPM22,1,XPF2211,02SBEFBPXYXXA即2211121,0,424YXAXY当时，最大值为19如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PEPB（1）求证BCPDCP；（2）求证DPEABC（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图），若ABC58，则DPE_解答（1）证明在正方形ABCD中，BCDC，BCPDCP45，在BCP和DCP中，BCPDCP（SAS）（2）证明由（1）知，BCPDCP，CBPCDP10PEPB，CBPE，DPEDCE，12（对顶角相等），1801CDP1802E，即DPEDCE，ABCD，DCEABC，DPEABC；（3）解与（2）同理可得DPEABC，ABC58，DPE58故答案为58点评本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出BCPDCP是解题的关键20四边形中有一组邻角相等，我们称这个四边形为等邻角四边形（1）如图1，ABC中，ABAC,点D在BC上，且CDCA,点E、F分别为BC,AD的中点，连接EF并延长交AB于G求证四边形AGEC是等邻角四边形（2）如图2，若点D在ABC的内部，其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若不存在，说明理由，若存在，请指出图中的等邻角四边形解（1）在CE上截取点Z,使EZEDE是BC中点，BECE,BEEZCEED,CDCA,ABAC,ABACCD,BAZ是等腰三角形，BAZBZA,F是AD的中点，EF/AZBEGBZA,BGEBAZ,BEGBGE,AGEGEC,四边形AGEC是等邻角四边形。（2）四边形AGHC为等邻角四边形证明连接AE，CF两直线相交于K点CACDCAAB且E为BC中点F为AD中点AEBCCFAD125EAB（等腰三角形三线合一）,AFK与CEK中,CEACFA90FKAEKC,AFKCEK,有AKKCFKKE,11在FKE与AKC中，AKKCFKKEFKEAKC，FKEAKC4531，BGEEAB351，GHD4251，BGEGHD，AGHCHG（等角的补角相等），四边形AGHC为等邻角四边形ZGFEDCBA214AGH3DFKEB521（2008烟台）如图，菱形ABCD的边长为2，BD2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AECF2（1）求证BDEBCF；（2）判断BEF的形状，并说明理由；（3）设BEF的面积为S，求S的取值范围21解（1）证明菱形ABCD的边长为2，BD2，ABD和BCD都为正三角形，BDEBCF60，BDBC，AEDEAD2，而AECF2，DECF，BDEBCF；（2）解BEF为正三角形理由BDEBCF，DBFDBE60即EBF60，BEF为正三角形；DBCDBFCBF60，DBECBF，BEBF，233,213124324XHXSXABGXEAXSS设作于点，则当时，最小），即最小为当与重合时，最大为，12HFEDCBAGADCBFE22如图，在RTABC中，B90,BC53,C30点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D、E运动的时间是T秒（T0过点D作DFBC于点F，连接DE、EF1求证AEDF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗如果能，求出相应的T值；如果不能，说明理由；（3）当T为何值时，DEF为直角三角形请说明理由22解（1）在DFC中，DFC90，C30，DC2T，DFT，又AET，AEDF；（2）能；理由如下ABBC，DFBC，AEDF，又AEDF四边形AEFD为平行四边形，在RTABC中，C30,AC2AB,BC53,222223755,10ACBABBC由勾股定理得，4，ADACDC102T，若使为菱形，则需AEAD，即T102T，T即当T时，四边形AEFD为菱形；（3）EDF90时，四边形EBFD为矩形，在RTAED中，ADEC30AD2AE，即102T2T，T；DEF90时，由（2）知EFAD，则BFEC30,ADEDEF9013B90,BEF60,AED30,AE2AD,AD12T，102TT，T4；EFD90时，此种情况不存在；综上所述，当或4时，DEF为直角三角形。FECBAEDCBAFFEDCBA23如图，已知ABC是等腰直角三角形，BAC90,点D是BC的中点。作正方形DEFG,使点A、C分别在DG和DE上，连接AE,BG1试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；2将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0，小于360），如图，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；（3）若BCDE2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值23解（1）BGAE（2）成立如图，连接ADABC是等腰三直角角形，BAC90，点D是BC的中点ADB90，且BDADBDGADBADG90ADGADE，DGDEBDGADE，BGAE（3）由（2）知，BGAE，故当BG最大时，AE也最大因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270）时，BG最大，如图若BCDE2，则AD1，EF2在RTAEF中，AF2AE2EF2ADDE2EF21222213AF即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF1424如图，有长为24M的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度A为10M），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽AB为XM，面积为SM1求S与X的函数关系式；（2）如果要围成面积为45M的花圃，AB的长是多少M（3）能围成面积比45M更大的花圃吗如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由解（1）设宽AB为XM，则BC为（243X）M,这时面积SX（243X）3X224X（2）由条件3X224X45化为X28X150,解得X15，X23,0243X10得X8X3不合题意舍去,即花圃的宽为5米（3）S3X224X3（X28X）3（X4）248（3）S3X224X3（X28X）3（X4）248咨询热线0108705827214X8,当时，S有最大值483（4）2,故能围成面积比45米2更大的花圃463围法24310，花圃的长为10米，宽为米，这时有最大面积平方米35如图，直线AB过X轴上的点A（2，0），且与抛物线YAX2相交于B、C两点，已知点B的坐15标是（1，1）。（1）求直线AB和抛物线所表示的函数解析式；（2）如果在第一象限，抛物线上有一点D，使得，求这时D点坐标解（1）设直线AB所表示的函数解析式为YKXB，它过点A（2，0）和点B（1，1），,直线AB所表示的函数解析式为YX2，抛物线过点B（1，1），,A1，抛物线所表示的函数解析式为；（2）解方程组得，C点坐标为（2，4），又B点坐标为（1，1），A点坐标为（2，0），OA2，,，设D点的纵坐标为，由于点D在第一象限，0,Y,3DDXEY则，把Y3代入得，又点D在第一象限，D点坐标为（，3）26已知抛物线把它向下平移，得到的抛物线与X轴交于A、B两点，与Y轴交于C点21YX，若ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位解如图，设平移后抛物线解析式为则C（0，K）,BK,0代入得21YXK1621210,K2KO解得舍），原抛物线应向下平移个单位23327Y32,XA,XBBXCPBFEA如图，直线经过点，且与轴交于点将抛物线Y沿轴作左右平移记平移后的抛物线为其顶点为抛物线与轴交于点E，与与直线交于两点，其中一个交点为当线段轴时，求平移后的抛物线对应的函数解析式2222133,3,10,13,3,BBYXXTTFXEFCFTABTTA解点在直线YX上，（）直线的解析式为设抛物线顶点为P（T,0则抛物线的解析式为Y轴，点、关于抛物线的对称轴对称，（点在直线上，平移后的抛物线对应的函数关系2213XX式为Y或28抛物线与直线交于点A1，B2YAX31求A,B的值；2求抛物线与直线Y2的两个交点B、C的坐标（点B在点C右侧）；23求OBC的面积解（1）把点（1，B）代入Y2X3得23B，解得B1，所以交点坐标为（1，1），把（1，1）代入YAX2得1A，即A1；2由（1）A1,所以抛物线的对称轴为Y轴，顶点坐标为（0，0）；直线Y2,222,YXXBY解方程组或，点B在点C右侧，点坐标为（，），C31SO1729若M、N（MN）是关于X的方程1（XA）（XB）0的两根，且AB，则A、B、M、N的大小关系是AMABNBAMNBCAMBNDMANB22104,40,B,2,AB,2AXBAKKKXMNNMNA解、是关于的方程的两个根，（1,解得不妨设（选0,YXCACYX30在二次函数、是常数）中，函数与自变量的对应值如下表XY1240112743274152431）二次函数图象的顶点坐标为_（2）一元二次方程AX2BXC0（A0，A，B，C是常数）的两个根X1，X2的取值范围是下列选项中的哪一个_；1230,2X125,XX532解（1）由表格可知，当X1时，函数值Y2最大，故二次函数图象的顶点坐标为（1，2）121520,0,4YX）由表格可知此时或故选31已知P（3，M）和Q（1，M）是抛物线Y2X2BX1上的两点（1）求B的值；（2）判断关于X的一元二次方程2X2BX10是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线Y2X2BX1的图象向上平移K（K是正整数）个单位，使平移后的图象与X轴无交点，求18K的最小值解（1）点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等31,442BX抛物线对称轴（2）由（1）可知，关于X的一元二次方程为2X24X10B24AC16880，方程有实根，；182BXXA，（3）由题意将抛物线Y2X2BX1的图象向上平移K（K是正整数）个单位，使平移后的图象与X轴无交点设为Y2X24X1K，方程2X24X1K0没根，0，168（1K）0，K1，K是正整数，K的最小值为232（2009江苏）如图，已知二次函数YX22X1的图象的顶点为A二次函数YAX2BX的图象与X轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数YX22X1的图象的对称上（1）求点A与点C的坐标；（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数YAX2BX的关系式二次函数综合题专题代数几何综合题；压轴题分析（1）二次函数YAX2BX的顶点在已知二次函数抛物线的对称轴上，可知两个函数对称轴相等，因此先根据已知函数求出对称轴根据函数解析式得出顶点A的坐标与对称轴，故可得出二次函数YAX2BX关于X1对称，且函数与X轴的交点分别是原点和C点，所以点C和点O关于直线L对称，故可得出点C的坐标；（2）因为四边形AOBC是菱形，根据菱形性质，可以得出点O和点C关于直线AB对称，点B和点A关于直线OC对称，因此，可求出点B的坐标，根据二次函数YAX2BX的图象经过点B19（1，2），C（2，0），将B，C代入解析式得出A,B的值，进而得出其解析式解（1）YX22X1（X1）22，顶点A的坐标为（1，2）二次函数YAX2BX的图象与X轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数YX22X1的图象的对称轴上二次函数YAX2BX的对称轴为直线X1，点C和点O关于直线X1对称点C的坐标为（2，0）（2）因为四边形AOBC是菱形，所以点B和点A关于直线OC对称，因此，点B的坐标为（1，2）因为二次函数YAX2BX的图象经过点B（1，2），C（2，0），所以AB2,4A2B0,解得A2,B4,所以二次函数YAX2BX的关系式为Y2X24X点评本题主要考查利用二次函数和菱形的对称性求有关的点，再用待定系数法求二次22468551015YX21LACOBY2X4函数解析式，是难度中等的考题33（2005河南）如图，RTPMN中，P90，PMPN，MN8CM，矩形ABCD的长和宽分别为8CM和2CM，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上令RTPMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1CM的速度移动（如图2），直到C点与N点重合为止设移动X秒后，矩形ABCD与PMN重叠部分的面积为YCM2求Y与X之间的函数关系式考点二次函数综合题专题压轴题20分析在RTPMN中解题，要充分运用好垂直关系，作垂直辅助线，延长AD构成一个长方形，更有利解题，因为此题也是点的移动问题，可知矩形ABCD以每秒1CM的速度由开始向右移动到停止，和RTPMN重叠部分的形状可分为下列三种情况，（1）C点由M点运动到F点的过程中（0X2）；（2）当C点由F点运动到T点的过程中（2X6）；（3）当C点由T点运动到N点的过程中（6X8）；把思路理清晰，解题就容易了解答解在RTPMN中，PMPN，P90PMNPNM45，延长AD分别交PM，PN于点G、H过G作GFMN于F，过H作HTMN于TDC2CM，MFGF2CM，TNHT2CMMN8CM，MT6CM因此，矩形ABCD以每秒1CM的速度由开始向右移动到停止，和RTPMN重叠部分的形状可分为下列三种情况（1）当C点由M点运动到F点的过程中（0X2），如图所示，设CD与PM交于点E，则重叠部分图形是RT