行列式的计算方法毕业论文[3]

行列式的计算方法摘要行列式最早是由解线性方程而引进的，时至今日，行列式已不止如此，在许多方面都有广泛的应用。本文，我们学习行列式的定义、性质，化为“三角形”行列式，利用行列式的性质，使行列式化简或化为“三角形”行列式计算。利用拉普拉斯展开定理，按某一行列或某几行列展开，使行列式降级，利用范德蒙行列式的计算公式，利用递推关系等，在计算行列式中最常用的是利用行列式的性质，和按某行列展开行列式，而某些方法是针对于某些特殊类型的行列代而言，对一般的级行列式的计算，往往要N利用行列式的性质和拉普拉斯展开定理，导出一个递推公式，化为2级或3级行列式，以及化为“三角形”行列式来计算。关键词计算方法线性方程组行列式引言解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学代数中，解方程占有重要地位。因此这个问题是读者所熟悉的。譬如说，如果我们知道了一段导线的电阴R，它的两端的电位差V，那么通过这段导线的电流强度I，就可以由关系式，求出来。这就是通常所谓解一元一次方程的VI问题。在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组。而N元一次方程组，即线性方程组的理论，在数学中是基本的也是重要的内容。在中学代数课中学过，对于二元线性方程组2211BXA当二级行列式时，该方程组有唯一解，即，021A2112ABX，对于三元线性方程组有相仿的结论。为了把此结果推广到2112ABXN元线性方程组的情形。我们首先要掌握N级NNNNBXAXA21222121行列式的相关知识。定义N级行列式等于取自不同行不同列的N个NNNAA212112元素的乘积的代数和，这里是的一个排列，每NJJA21J21N,一项安下列规则带有符号，当是偶排列时，则该项带NJJ21正号，当是奇排列时，则该项带负号。这一定义可以写成212121122121NNJNJJJNNNAAA这里表示对所有N级排列求和。NJ21一基本理论（一）N级行列式的性质性质1行列互换，行列式不变。即NNNNNNAAA212121212112性质2一个数乘以行列式的某一行，等于该这个数乘以此行列式NNIIINNNIIINAAKAK2111221112性质3如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这个行列式除这一行外全与原来行列式的对应的行一样。NNNNNNNNNNNAACCABBAACCBAA2111221112211121性质4如果行列式中有两行相同，那么行列式为为零。所谓两行相同就是说两行的对应元素相等。性质5如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。02121121211NNIIIINIINNIIIINIIAAAAKAKA性质6把一行的倍数加到另一行，行列式不变。性质7对换行列式中两行的位置，行列式反号。（二）基本理论1其中为元素代数余式。0,21JIDAAAAJNIJIJIIJAIJA2降阶定理BCB13ACO4B5非零矩阵K左乘行列式的某一行加到另一行上，则新的分块行列式与原来相等。（三）几种特殊行列式的结果1三角行列式上三角行列式NNNAAA212210下三角行列式NNNAAA212112对角行列式NNAAA212103对称与反对称行列式满足，D称为对称NNNAAD2121122,1,NJIAJIJ行列式满足，D称为反对00321332232111NNNAD2,1NJIAIJ称行列式。若阶数N为奇数时，则D0411132122231JINIJNNNNAAAD二行列式的计算（一）定义法例计算行列式005324353122321AD解由行列式定义知，且，NNJNJJJAJ12121,0154A所以D的非零项J，只能取2或3，同理由，0514541AA因而只能取2或3，又因要求各不相同，故项中至54J51JJJ2少有一个必须取零，所以D0。（二）化成三角形行列式法将行列式化为上三角形行列式计算步骤，如果第一行第一个元素为零，首先将第一行或第一列与其它任一行或列交换，使第一行第一个元素不为零，然后把第一行分别乘以适当数加到其它各行，使第一列除第一个元素外其余元素全为零，再用同样的方法处理除去第一行加第一列余下的低阶行列式依次做下去，直至是它或为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。例计算行列式ABABBDN解各行加到第一行中去ABANABBBANNNADN1111110001NABNBABANA例计算行列式121543211NNND解从倒数第二行1倍加到第N行110132111321NNNNN将所有列加到第一列上NNNN021112）倍加各行上第一行的（NNN11202121（三）递推法例计算行列式100010ND解按第一行展开得21NNND1211NADD按递推关系12NN212由1式又可推导出，按逆推关系得211NNNDD3由23解得1NN例计算NNNNDCBAD12解计算NNNNNDCBAD12NNDCDBAA00011111001111112NNNNNDCBABC121212NNNNDBCDADBCDA由遂推公式得12IINIBCDA例N阶范德蒙VANDERMONDE行列就是采用遂推来求解。它利用初等变换把转化为递推关系式112122NNNAAD从而得出。32ND1IJNJINA（四）降阶法将行列式的展开定理与行列式性质结合使用，即先利用性质将行列式的某一行或某一列化成仅含一个非零元素，然后按此行列展开，化成低一阶的行列式，如此继续下云去，直到化为三阶或二阶行列式直接计算出结果。114422DCBADCBDACBDCBA左边00122222244442222ADACABADCAB111222ADACB112222BBCDACABDCADB例计算行列式，其中，002122121AAADNNN201IA解NNNNNAAAAD2122121121NNAA2122101122110102212121NNNNAAAAAD1,22111122KJKJINNJNKINAAA（五）升阶法此法多采用的形式为加边法。例计算行列式，其中IN是单位阵，为N维实UIN21U列向量，且1U解将行列式升为N1阶行列式。I2112211102UNUUNUUINNN1221UN101221NIIU由I12NIU12（六）分解之和法例YXZBAZYBAXZYX3解左边BZAYXBZXAYBXZ按第一列分开BZAYXZYBAXZY220分别再分右边233331YXZYXZAYXZZYXA例121132AANADN解第2行乘1加到第1行，第3行乘1加到2行，依次行乘1加行N1N1011AAA最后一行拆成2行AAAAADN10111001101NNNNA1例计算行列式XAX解将左上角的改写成，于是可以写成两个行列式的XND和110NNNAXDAXAXAXAXAAD因关于与是对称的，所以又有N11NNNAXXD由此两式即可得21NNXD例计算行列式2321323323212111NNNNNAXAAXAAX解将表成两个行列式之和NDNNNNNNNNNAAAXXAAXX212221112122110在第二个行列式中，于第行和第列都提出公因子，再用乘I第行加到第行上去，易得NI22121121AXAXAXXD得NIIINIINX1212例计算行列式NNNNNYAXYAXD1212221解NNNNYXYAX1212121111221121NNNYAXYAX个行列式分开共有YAXNN12112其中,221NX例计算行列式MXXMDNNN2121解MXMMXXMDNNN000112121NINNNNXXX1110（七）分解之积法计算行列式NNNNNNBABA10110100解NIJIJNNNNNNNNBACBBACAD0211022111201例计算行列式2COSCOSCSCOS2SSSSRRRD证明000SINIINICOSINCOIRR例证明22224CBABCA证明22400CBABACCBAD（八）换元法例计算行列式NAXND21解把视为中每个元素加上X所得，NXANN021因此NINJINININJJIIIJIJNXAXAXAXAAXD11111（九）数学归纳法例NNNNAXAXXAAX1112210010证明当时，命题成立。12D212AX假设对于阶行列式命题成立，即1N1221NNAXXAD则按第1列展开N右边NNNAXDXAXD11100所以对于阶行列式命题成立。例计算行列式2112N解,213424283猜想N证明1当时验证成立12假设时成立，即有K1K当时，有KN1221212102KKKNNK1KK当时成立猜想成立N（十）线性因子法计算行列式120XYZZZX11解1由各列加于第一列可见，行列式D可被整除。由第YX二列加到第一列，并减去第三、四列可见，可被整除，由第三Z列加于第一列，并减去第二、四列可见，被整除。最后由第四YX列加于第一列，并减去第二、三列可见，可被整除。我们把DZ视为独立未知量，于是上述四个线性因子式是两两互素的，因此，ZYX,可被它们的乘积整除。DZYXZXZYX此乘积中含有一项，而中含有一项4D4241ZC所以ZYXZXZYX222442将行列式的前两行和两列分别对换，得DZX11如果以代替，又得原来形式的行列式。因此，如果含有因式XD，必含有因式，由于当时，有两列相同，故确有因式，XX0XDDX从而含有因式。同理又含有因式，而的展开式中有一项D22Z，从而2ZXZX计算行列式XNXN11解由阶行列式定义知，的展开式是关于的首项系数为ND的次多项式当时，因此1N,XN2,10NK,0KDN有个互异根0，1、2由因式定理得XDN20|KNX故021KXNN（十一）辅助行列式法计算行列式11NNAFFD其中为次数的数域F上多项式为F中任,IXFI2NA1意个数。N解若中有两个数相等，则NA10ND若互异，则每个阶行列式是的线性组211NNAFFXFG,21XFFXN合，据题的次数因而的次数但FIIG,02NAA这说明至少有个不同的根，故所以即XG1N,0XG01A0XDN（十二）应用范得蒙行列式进行计算例112122212NNNNXXXX解第列提出公因子得I,2II111111222121NNNNNIIXXXD再将第1行加于第2行，将新的第2行加于第3行，将新的第行加于第行，得NNNINIJJIXXD1例NNNNNBABA12112221211解，第行提出公因子得I,I1111122111NIJJIJNIJJININNNIBAABABAAD例NNNNND1111解11111NNA1111111NNNNNNNND11112122212JINJNIJNNNNNIJJIJ1例计算行列式11111NAADNNN解最后一行依次与前行调换位置经过次,再将第行依次与前NN行调换位置共次共经过次变换。1NN2N原式21NNNAA111NIJNNNIJN02121021NIJ132（十三）阶循环行列式算法N例计算行列式其中ACBABDNCB0解设且令的个根为12NXXBAFBCN则,1NIXNIIFD1由有1XBCAXBAFNN1IIIIACCF利用关系式01,21NIIJIIXXBCNN21得NIIIIINIXACAXBAD11BCABCAANNNN11例设都是的可微函数,2,JIXFIJX证明NINNININNNNXFXFFDFDXFXFXFXFFFFFDX11121221121证明121212211212XFFXDXFXFFFFFDXNJJJJJNNNNNN212121XFFXDNJJJJJNN112121212FDXFFXFFXDNJJNJJNJJJJJNN112121221121NNNNJNJJNJJJNJJJJXFDFXFXFFXD2122211121221121XFXFFFDFDFXXXFXFFFDFDFXNNNNNNNN1221121,1,1,222111XFXFFFDFDFXIFDXFDXFFFXFXNNNINIINNNNN（十四）有关矩阵的行列式计算例设A与B为同阶方阵证明BABA证明BA0例设A为阶可逆方阵，、为两个维列向量，则NNA1证明110111AAN例若阶方阵A与B且第列不同。J证明N12证明21NBABA2211BNA211BNAN1BANN12十五用构造法解行列式例设BAXAXF,321证明FFBD32证明构造出多项式BAXBAXBAXD321113210AA3211321110BAXB32132101DX0,0,13213211321321BFDBABABABDXAFA当当AF（十六）用加边法计算行列式计算行列式AB解将原行列式加边如下ABAD001各列减去第一列，并提出。再在所得的行列式中各行都加到第BA1一行上去，得1011BNABABNADN例计算行例式NNNDNN231316322解NNNNNNNN232323131032116322NNNNN222132331321133200112212121221NNNNNNNN22122221133NJINNNIN21N十七利用拉普拉斯展开证明级行列式NXAAXDNN1221001证明利用拉普拉斯展开定理，按第行展开有NNNNNNNNNNNNNXAXAXXAXAXXXAXAXAD1221112211212100100001001000000以上等式右端的级行列式均为“三角形行列式”。以上主要罗列了行列式的计算方法，大家要学会仔细观察行列式，灵活运用各种方法计算行列式，选择最佳计算方法。三用多种方法解题下面用我们运用上面的介绍的各种方法，选用多种方法解题。例1、计算XAXAADN法1将第2,3,，N行都加到第1行上去，得XANXAAAXNXNANXDN11111再将第一行通乘，然后分别加到第2,3,N行上，得10111ANXAXANXDNN法2将2,3,N行分别减去第1行得AXXAAAXDN0再将第2,3,N列都加到第1列上去，便有1001NNAXNXAXAD法3将添加一行及一列，构成阶行列式ND1NXAXAAN01再将第2,3,N1分别减去第1行，于是有令AXAXADN011在时，显然，在时，AXND则11001101NNNNAXNXAXAAXAXXAXD法4令AXXAXAXAAXAXDN0011000将右式中第二个行列式的第2,3,N列全加到第1列上去，再利用LAPLACE展开，所以得11NNNNXXAXXD例2、求证NIINNBABAA1212100证若记，时，上述等式可简记为,21AA,21NBBBZNN证法一把第2行乘以，第3行乘以，第行乘以1A2A1N，全部加到第一行，再对第1行利用拉普拉斯定理展开，注意各项NA的符号应为，得证。11NN证法二对用归纳法当时，命题成立。1N110BABA假设对于时命题成立，那么，当左下角单位矩阵为阶即时，1NNZ对最后一行展开，211212121200000DBAAAABBZANNNNNN其中，NNNBAAD1121而按归纳法假设证毕。11122NJJNJJNBABA证法三利用分块矩阵的乘法010NNNZABZBA两边取行列式，得ABZABZABZNNNNN110010在演算一个问题时，需要仔细分析已给的条件，灵活运用已经知道的性质和已经掌握的技巧，不要死套公式，这样就能很快求出答案。参考文献1北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编高等代数北京高等代数出版社。2刘学生,谭欣,王丽燕主编，高等数学学习指导与解题训练大连大连理工大学出版社。3考研笔记4杨尚验,材家寿高等代数重要习题详解，安徽安徽省数学学会1982,33540。5石福庆,陈凯,钱辉镜线性代数辅导北京1985。THECALCULATEMETHODOFDETERMINAMTLIUYANGDEPARTMENTOFMATHEMATICSBOHAIUNIVERSITYLIAONINGJINZHOU121000CHINAABSTRACTHERANKSAREEARLASTBUTSOLVEDTHELINEAREQUATIONANDINTRODUCED,EVENTOTHISDAYDETERMINANTAREALREADYNETONLYLIKETHIS,THEREISEXTENSIVEAPPLICATIONINMANYASPECTSWESTUDYTHEDEFINITIONOFDETERMINANT,NATURE,TURN”TRIANGLE”DETERMINANT,INTHISTEXTUTILIZENATUREOFTHEDETERMINANTTOBEARANKSPETROCHEMICALINDUSTRYORTURN“TRIANGLE”DETERMINANTTOCALCULATE,UTILIZELAPLACESEXPANSIONTHEOREM,LAU