微积分习题2.doc

积分习题课题目及解答积分概念一、有关可积性的练习：我们知道，在区间,ba连续的函数有原函数，并且有牛顿莱布尼茨公式下述定理说明：函数的连续性并不是牛顿莱布尼茨公式成立的必要条件定理：假设)(xf区间,ba可积且有原函数)(xF（注释：在区间,ba可积的函数未必有原函数）则有)()(d)(aFbFxxfba提示：对于区间,ba任意分割bxxxaTn10:注意到niiiniiixFxFxF111)()()(2求证：假设)(xf在,ba可积，则0，存在区间,ba上的阶梯函数)(xg，使得baxxgxfd|)()(|3设)(xf在,ba可积，求证函数)(cosxf在,ba可积二、求和nnnnnn12)2)(1(1lim（e4）1022dsinlimxxnxn（31）设其它,010,)(nxnxxn10)()(nknnnkxxg求极限10d)(limxxgenxn用极限定义计算10d2xx三、定积分10d)(xxf是和式niiixf1)(的极限，这个定义为定积分的近似计算提供了依据假定积分10d)(xxf存在，则当n时，两个和式：ninnifnS1)1(1和ninnifn1)212(1都趋向于10d)(xxf不过收敛速度有所不同研究下面的问题：假设)(xf在1,0连续，试证MnSxxfn21|d)(|10，Mnxxfn41|d)(|10其中M是与)(xf有关的正数反常积分一、收敛判别)1(dln1收敛pxxxp，)0(dln0pxxxp（发散），)0(d)1ln(0pxxxp（1p收敛）)0()d11(ln1pxxxp（1p收敛）20dsinlnxx（收敛），20dsinln1xx（发散），032d)4()2(1xxxx（收敛）1d1)cos(lnxxx（发散.换元xtln）1d)21sin1cos1(xxx（收敛，泰勒公式，比阶判别法）二、反常积分计算03d2xexx，（21，换元法）12darctanxxx（)4ln(41，分部积分法），022d)1(lnxxxx（0，分部积分计算，或者换元法）三、证明题：（）举例说明：axxfd)(收敛未必有0)(limxfx即使非负函数也是如此（）求证：如果)(xf在),a非负且一致连续，axxfd)(收敛，则0)(limxfx2求证1dsinxxx收敛，但是12dsinxxx发散.积分习题课题目及解答积分概念定理：假设)(xf区间,ba可积且有原函数)(xF（注释：在区间,ba可积的函数未必有原函数）则有)()(d)(aFbFxxfba证明：对于区间,ba任意分割bxxxaTn10:由微分中值定理得到)()(aFbFniiiniiixFxFxF111)()()(),(1iiixx当分割的直径趋向于零时，等式右端有极限baxxfd)(2求证：假设)(xf在,ba可积，则0，存在区间,ba上的阶梯函数)(xg，使得baxxgxfd|)()(|解：0，由黎曼定理（定理2.1.4）推出，存在0，使得直径任意分割方式,21nxxxT，都有nkkkkxmM1)(今取一个满足直径的确定的分割,21nxxxT。并取阶梯函数),2,1(),)(1nkxxxmxgkkk，则有babaxxgxfxxgxfd)()(d|)()(|nkxxkkkxmxf11d)(nkxxkkkkxmM11d)(3设)(xf在,ba可积，求证函数)(expxf在,ba可积证明：)(xf在,ba，设|:)(sup|bxaxfM对于区间,ba的任意分割,21nxxxT，|)(sup1iiixxxxfM，|)(inf1iiixxxxfm，iiimM,1iixxvu，有|)()(|)exp(|)(exp)(exp|vfufvfufiiM1（其中介于)(),(vfuf之间，)exp(1MM）对于上述任意分割,21nxxxT，命|)(supexp1*iiixxxxfM，|)(infexp1*iiixxxxfm，*iiimM则有niiiiniiiiniiixxxxvfufxmMx111*1*:)(exp)(supexp)(1111:)()(supniiiixxxxvfufMniiixM11由于)(xf可积，当分割直径趋向于于零时，01niiix，于是01*niiix二、求和nnnnnn12)2)(1(1lim解：令nSnnnnn12)2)(1(1nnnnn1)1)21)(11()1ln()21ln()11ln(1lnnnnnnSAnn12ln2d)1ln(10xx于是eSnn4lim61dsinlim1022xxnxn解：nknknkxxnxxxnx11221022dsindsinnknknkkxxn1122dsinnkkkkttn1)1(22dsin161d212110212xxnnkk设其它,010,)(nxnxxn10)()(nk