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积分习题课题目及解答积分概念一、有关可积性的练习:我们知道,在区间,ba连续的函数有原函数,并且有牛顿莱布尼茨公式下述定理说明:函数的连续性并不是牛顿莱布尼茨公式成立的必要条件定理:假设)(xf区间,ba可积且有原函数)(xF(注释:在区间,ba可积的函数未必有原函数)则有)()(d)(aFbFxxfba提示:对于区间,ba任意分割bxxxaTn10:注意到niiiniiixFxFxF111)()()(2求证:假设)(xf在,ba可积,则0,存在区间,ba上的阶梯函数)(xg,使得baxxgxfd|)()(|3设)(xf在,ba可积,求证函数)(cosxf在,ba可积二、求和nnnnnn12)2)(1(1lim(e4)1022dsinlimxxnxn(31)设其它,010,)(nxnxxn10)()(nknnnkxxg求极限10d)(limxxgenxn用极限定义计算10d2xx三、定积分10d)(xxf是和式niiixf1)(的极限,这个定义为定积分的近似计算提供了依据假定积分10d)(xxf存在,则当n时,两个和式:ninnifnS1)1(1和ninnifn1)212(1都趋向于10d)(xxf不过收敛速度有所不同研究下面的问题:假设)(xf在1,0连续,试证MnSxxfn21|d)(|10,Mnxxfn41|d)(|10其中M是与)(xf有关的正数反常积分一、收敛判别)1(dln1收敛pxxxp,)0(dln0pxxxp(发散),)0(d)1ln(0pxxxp(1p收敛))0()d11(ln1pxxxp(1p收敛)20dsinlnxx(收敛),20dsinln1xx(发散),032d)4()2(1xxxx(收敛)1d1)cos(lnxxx(发散.换元xtln)1d)21sin1cos1(xxx(收敛,泰勒公式,比阶判别法)二、反常积分计算03d2xexx,(21,换元法)12darctanxxx()4ln(41,分部积分法),022d)1(lnxxxx(0,分部积分计算,或者换元法)三、证明题:()举例说明:axxfd)(收敛未必有0)(limxfx即使非负函数也是如此()求证:如果)(xf在),a非负且一致连续,axxfd)(收敛,则0)(limxfx2求证1dsinxxx收敛,但是12dsinxxx发散.积分习题课题目及解答积分概念定理:假设)(xf区间,ba可积且有原函数)(xF(注释:在区间,ba可积的函数未必有原函数)则有)()(d)(aFbFxxfba证明:对于区间,ba任意分割bxxxaTn10:由微分中值定理得到)()(aFbFniiiniiixFxFxF111)()()(),(1iiixx当分割的直径趋向于零时,等式右端有极限baxxfd)(2求证:假设)(xf在,ba可积,则0,存在区间,ba上的阶梯函数)(xg,使得baxxgxfd|)()(|解:0,由黎曼定理(定理2.1.4)推出,存在0,使得直径任意分割方式,21nxxxT,都有nkkkkxmM1)(今取一个满足直径的确定的分割,21nxxxT。并取阶梯函数),2,1(),)(1nkxxxmxgkkk,则有babaxxgxfxxgxfd)()(d|)()(|nkxxkkkxmxf11d)(nkxxkkkkxmM11d)(3设)(xf在,ba可积,求证函数)(expxf在,ba可积证明:)(xf在,ba,设|:)(sup|bxaxfM对于区间,ba的任意分割,21nxxxT,|)(sup1iiixxxxfM,|)(inf1iiixxxxfm,iiimM,1iixxvu,有|)()(|)exp(|)(exp)(exp|vfufvfufiiM1(其中介于)(),(vfuf之间,)exp(1MM)对于上述任意分割,21nxxxT,命|)(supexp1*iiixxxxfM,|)(infexp1*iiixxxxfm,*iiimM则有niiiiniiiiniiixxxxvfufxmMx111*1*:)(exp)(supexp)(1111:)()(supniiiixxxxvfufMniiixM11由于)(xf可积,当分割直径趋向于于零时,01niiix,于是01*niiix二、求和nnnnnn12)2)(1(1lim解:令nSnnnnn12)2)(1(1nnnnn1)1)21)(11()1ln()21ln()11ln(1lnnnnnnSAnn12ln2d)1ln(10xx于是eSnn4lim61dsinlim1022xxnxn解:nknknkxxnxxxnx11221022dsindsinnknknkkxxn1122dsinnkkkkttn1)1(22dsin161d212110212xxnnkk设其它,010,)(nxnxxn10)()(nk
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