2.4.2抛物线的几何性质

1、第1课时抛物线的几何性质,第二章2.3.2抛物线的几何性质,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一抛物线的几何性质,x0,y0,(0,0),1,知识点二焦点弦 设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则,1.椭圆、双曲线和抛物线都是中心对称图形.() 2.抛物线和双曲线一样，开口大小都与离心率有关.() 3.抛物线只有一条对称轴和一个顶点.() 4.抛物线的开口

2、大小与焦点到准线的距离有关.(),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,例1已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程.,题型一由抛物线的几何性质求标准方程,解由题意，设抛物线方程为y22mx(m0)，,所以|AB|2|m|.,引申探究 等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积是 A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2,解析因为抛物线的对称轴为x轴，内接AOB为等腰直角三角形，所

3、以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45.,所以点A的坐标为(2p,2p)，同理可得B(2p，2p)，,反思感悟把握三个要点确定抛物线的几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.,跟踪训练1已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆 短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程.,抛物线的对称轴为x轴. 设抛物线的方程为y

4、2ax(a0)，,抛物线的方程为y220 x或y220 x.,例2已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点. (1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；,题型二抛物线的焦点弦问题,解因为直线l的倾斜角为60，,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25.,所以|AB|538.,(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离.,所以x1x26，所以线段AB的中点M的横坐标是3.,引申探究 本例中，若A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，求A1FB1.,解由抛物线定义|AA1|AF|，得AA1FAFA1， 又AA1x轴， OFA1AA1F， OFA1AFA

5、1， 同理得OFB1BFB1， A1FOB1FO90，即A1FB190.,反思感悟(1)抛物线的焦半径,(2)过焦点的弦长的求解方法 设过抛物线y22px(p0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1x2即可.,跟踪训练2直线l过抛物线y24x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为_.,xy10或xy10,解析因为抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)， 若l与x轴垂直，则|AB|4，不符合题意. 所以可设所求直线l的方程为yk(x1).,所以所求直线l的方程为xy

6、10或xy10.,3,达标检测,PART THREE,1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为 A.y28x B.y28x C.y28x或y28x D.x28y或x28y,解析设抛物线y22px或y22px(p0)，p4.,1,2,3,4,5,2.若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为,1,2,3,4,5,3.已知过抛物线y28x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|的值为_.,解析由y28x，得p4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,10,1,2,3,4,5

7、,4.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： 焦点在y轴上； 焦点在x轴上； 抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； 抛物线的通径的长为5； 由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1). 符合抛物线方程为y210 x的条件是_.(要求填写合适条件的序号),1,2,3,4,5,解析由抛物线方程y210 x，知它的焦点在x轴上， 所以符合.,设点P(2,1)，可得kPOkPF1，所以也符合. 而显然不符合，通过计算可知，不合题意. 所以应填.,1,2,3,4,5,5.求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；,1,2,3,4,5,因此，所求抛物线的标准方程为y216x或x216y.,(2)顶点是双曲线16x29y2144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴.,1,2,3,4,5,故p6.因此，所求抛物线的标准方程为y212x.,1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程