2021年高考数学一轮精选练习：16《导数的综合应用》(含解析).doc

1、2021年高考数学一轮精选练习：16导数的综合应用一 、选择题已知函数y=x33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c等于( )A.2或2 B.9或3 C.1或1 D.3或1已知函数f(x)=m2lnx(mR)，g(x)=，若至少存在一个x01，e，使得f(x0)g(x0)成立，则实数m的取值范围是()A. B. C.(，0 D.(，0)定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x)1，f(0)=4，则不等式exf(x)ex3(其中e为自然对数的底数)的解集为( )A.(0，) B.(，0)(3，)C.(，0)(0，) D.(3，)已知函数f(x)=(xa)33xa(a0)在1，b上的值域为22

2、a,0，则b的取值范围是( )A.0,3 B.0,2 C.2,3 D.(1,3对于三次函数f(x)=ax3bx2cxd(a0)，给出定义：设f(x)是函数y=f(x)的导数，f(x)是f(x)的导数，若方程f(x)=0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数g(x)=2x33x2，则ggg=( )A.100 B.50 C. D.0已知f(x)=x2c(b，c是常数)和g(x)=x是定义在M=x|1x4上的函数，对于任意的xM，存在x0M使得f(x)f(x0)，g(

3、x)g(x0)，且f(x0)=g(x0)，则f(x)在M上的最大值为(B)A.3.5 B.5 C.6 D.8已知f(x)=(xR)，若关于x的方程f2(x)mf(x)m1=0恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围为( )A.(2，e) B. C. D.二 、填空题从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为 cm3.直线x=t分别与函数f(x)=ex1的图象及g(x)=2x1的图象相交于点A和点B，则|AB|的最小值为 .定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(3)=0，且不等式f(x)xf(x)在(0，)上恒成立，则函数g(

4、x)=xf(x)lg|x1|的零点个数为 .三 、解答题已知函数f(x)=2ex(xa)23，aR.(1)若函数f(x)的图象在x=0处的切线与x轴平行，求a的值；(2)若x0，f(x)0恒成立，求a的取值范围.已知函数f(x)=xlnx.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：当x1时，ex1；(3)若f(x)(1m)xm对任意x(0，)恒成立，求实数m的值.已知函数f(x)=xlnx.(1)若函数g(x)=f(x)ax在区间e2，)上为增函数，求实数a的取值范围；(2)若对任意x(0，)，f(x)恒成立，求实数m的最大值.已知函数f(x)=(x1)exax2.(1)讨论f(x)的单调

5、性；(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.答案解析答案为：A；解析：y=3x23，当y=0时，x=1.则当x变化时，y，y的变化情况如下表：因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c2=0或c2=0，c=2或c=2.答案为：A；解析：由题意，不等式f(x)g(x)在1，e上有解，mx2lnx在1，e上有解，即在1，e上有解，令h(x)=，则h(x)=，当1xe时，h(x)0，在1，e上，h(x)max=h(e)=，m，m的取值范围是，故选B.答案为：A；解析：设g(x)=exf(x)ex(xR)，则g(x)=exf(x)exf(x)ex=exf(x)f(x)1，因为f(x)f(x

6、)1，所以f(x)f(x)10，所以g(x)0，所以g(x)=exf(x)ex在定义域上单调递增，因为exf(x)ex3，所以g(x)3.又因为g(0)=e0f(0)e0=41=3，所以g(x)g(0)，所以x0.答案为：A；解析：由f(x)=(xa)33xa，得f(x)=3(xa)23，令f(x)=0，得x1=a1，x2=a1.当x(，a1)(a1，)时，f(x)0，当x(a1，a1)时，f(x)0，则f(x)在(，a1)，(a1，)上为增函数，在(a1，a1)上为减函数.又f(a1)=22a，要使f(x)=(xa)33xa(a0)在1，b上的值域为22a,0，则f(1a)=22a0，若22

7、a=0，即a=1，此时f(1)=4，f(0)=0，22a=4，f(3)=0，f(2)=4.b0,3；若22a0，即a1，此时f(1)=(1a)33a=a33a22a2，而f(1)(2a2)=a33a22a22a2=a33a24=(1a)(a2)20，不合题意，b的取值范围是0,3.故选A.答案为：D；解析：g(x)=2x33x2，g(x)=6x26x，g(x)=12x6，由g(x)=0，得x=，又g=2332=0，函数g(x)的图象关于点对称，g(x)g(1x)=0，ggg=490g=g=0，故选D.答案为：B；解析：因为当x1,4时，g(x)=x2=1(当且仅当x=2时等号成立)，所以f(2

8、)=2c=g(2)=1，所以c=1，所以f(x)=x21，所以f(x)=x=.因为f(x)在x=2处有最小值，且x1,4，所以f(2)=0，即b=8，所以c=5，经检验，b=8，c=5符合题意.所以f(x)=x25，f(x)=，所以f(x)在1,2)上单调递减，在(2,4上单调递增，而f(1)=85=，f(4)=825=5，所以函数f(x)在M上的最大值为5，故选B.答案为：C；解析：依题意，由f2(x)mf(x)m1=0，得f(x)=1或f(x)=m1.当x0时，f(x)=xex，f(x)=(x1)ex0，此时f(x)是减函数.当x0时，f(x)=xex，f(x)=(x1)ex，若0x1，则

9、f(x)0，f(x)是增函数；若x1，则f(x)0，f(x)是减函数.因此，要使关于x的方程f2(x)mf(x)m1=0恰好有4个不相等的实数根，只要求直线y=1，直线y=m1与函数y=f(x)的图象共有四个不同的交点.函数f(x)的图象如图.注意到直线y=1与函数y=f(x)的图象有唯一公共点，因此要求直线y=m1与函数y=f(x)的图象共有三个不同的交点，结合图象可知，0m1，即1m1，则实数m的取值范围为.答案为：144;解析：设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm，x(0,5).则y=(102x)(162x)x=4x352x2160x，y=12x2104x160.令y=0，得x=2

10、或x=(舍去)，ymax=6122=144(cm3).答案为：42ln2；解析：由题意得，|AB|=|et1(2t1)|=|et2t2|，令h(t)=et2t2，则h(t)=et2，所以h(t)在(，ln2)上单调递减，在(ln2，)上单调递增，所以h(t)min=h(ln2)=42ln20，即|AB|的最小值是42ln2.答案为：3；解析：定义在R上的奇函数f(x)满足：f(0)=0=f(3)=f(3)，f(x)=f(x)，当x0时，f(x)xf(x)，即f(x)xf(x)0，xf(x)0，即h(x)=xf(x)在x0时是增函数，又h(x)=xf(x)=xf(x)，h(x)=xf(x)是偶函

11、数，当x0时，h(x)是减函数，结合函数的定义域为R，且f(0)=f(3)=f(3)=0，可得函数y1=xf(x)与y2=lg|x1|的大致图象如图.由图象可知，函数g(x)=xf(x)lg|x1|的零点的个数为3.解：(1)f(x)=2(exxa)，函数f(x)的图象在x=0处的切线与x轴平行，即在x=0处的切线的斜率为0，f(0)=2(a1)=0，a=1.(2)由(1)知f(x)=2(exxa)，令h(x)=2(exxa)(x0)，则h(x)=2(ex1)0，h(x)在0，)上单调递增，且h(0)=2(a1).当a1时，f(x)0在0，)上恒成立，即函数f(x)在0，)上单调递增，f(x)

12、min=f(0)=5a20，解得a，又a1，1a.当a1时，则存在x00，使h(x0)=0且当x0，x0)时，h(x)0，即f(x)0，则f(x)单调递减，当x(x0，)时，h(x)0，则f(x)0，即f(x)单调递增，f(x)min=f(x0)=2ex0(x0a)230，又h(x0)=2(ex0x0a)=0，2ex0(ex0)230，解得0x0ln3.由ex0=x0aa=x0ex0，令M(x)=xex,0xln3，则M(x)=1ex0，M(x)在(0，ln3上单调递减，则M(x)M(ln3)=ln33，M(x)M(0)=1，ln33a1.综上，ln33a.故a的取值范围是ln33，.解：(1

13、)f(x)=xlnx，f(x)=1，x(0，)，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，有极小值f(1)=1，无极大值.(2)证明：原不等式可化为，记g(x)=，则g(x)=，当x1时，g(x)0，所以g(x)在1，)上单调递减，有g(x)g(1)=，又由(1)知，=，得证.(3)f(x)(1m)xm，即lnxm(x1)0，记h(x)=lnxm(x1)，则h(x)0对任意x(0，)恒成立，求导得h(x)=m(x0)，若m0，则h(x)0，得h(x)在(0，)上单调递增，又h(1)=0，故当x1时，h(x)0，不合题意；若m0，则易得h(x)在上单调递增，在上单调递减，则h(x)m

14、ax=h=lnm1m.依题意有lnm1m0，故f(m)1，由(1)知f(m)1，则m只能等于1.解：(1)由题意得g(x)=f(x)a=lnxa1.函数g(x)在区间e2，)上为增函数，当xe2，)时，g(x)0，即lnxa10在e2，)上恒成立.a1lnx.令h(x)=lnx1，ah(x)max，当xe2，)时，lnx2，)，h(x)(，3，a3，即实数a的取值范围是3，).(2)2f(x)x2mx3，即mx2xlnxx23，又x0，m在x(0，)上恒成立.记t(x)=2lnxx.mt(x)min.t(x)=1=，令t(x)=0，得x=1或x=3(舍去).当x(0,1)时，t(x)0，函数t

15、(x)在(0,1)上单调递减；当x(1，)时，t(x)0，函数t(x)在(1，)上单调递增.t(x)min=t(1)=4.mt(x)min=4，即m的最大值为4.解：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)=ex(x1)exax=x(exa).()若a0，则当x(，0)时，f(x)0；当x(0，)时，f(x)0，所以f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增.()若a0，由f(x)=0得x=0或x=lnA.若a=1，则f(x)=x(ex1)0，所以f(x)在(，)上单调递增.若0a1，则lna0，故当x(，lna)(0，)时，f(x)0；当x(lna,0)时，f(x)0，所以f(x)在

16、(，lna)，(0，)上单调递增，在(lna,0)上单调递减.若a1，则lna0，故当x(，0)(lna，)时，f(x)0；当x(0，lna)时，f(x)0，所以f(x)在(，0)，(lna，)上单调递增，在(0，lna)上单调递减.综上所述，当a0时，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增；当0a1时，f(x)在(，lna)，(0，)上单调递增，在(lna,0)上单调递减；当a=1时，f(x)在(，)上单调递增；当a1时，f(x)在(，0)，(lna，)上单调递增，在(0，lna)上单调递减.(2)()若a0，则由(1)知，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增.又f(0)=1，x趋近负无穷时，f(x)值趋近正无穷.x趋近正无穷时，f(x)值趋近正无穷.所以f