人教A高中数学选修41课件24弦切角的性质

1、四弦切角的性质,1.弦切角的概念 定义:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角. 如图,ACD和BCD都是弦切角.,名师点拨1.弦切角的分类: (1)圆心在角的一边上(如图a);(2)圆心在角的内部(如图b);(3)圆心在角的外部(如图c). 2.弦切角的条件: (1)顶点在圆上(顶点为圆切线的切点);(2)一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线);(3)另一边和圆相交(另一边为圆的过切点的弦). 3.弦切角也可以看做圆周角的一边绕其顶点旋转到与圆相切时所成的角,因此,弦切角与圆周角存在密切关系.,【做一做1】 如图,直线PM,PN分别与圆O相切于点A,B,直线PO与圆相交于点C

2、,则图中的弦切角一共有 () A.2个B.4个 C.6个D.8个 解析:由弦切角的定义可知,MAC,PAC,PBC,NBC都是弦切角,一共有4个. 答案:B,2.弦切角定理 定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 名师点拨1.圆心角、圆周角、弦切角的关系,2.与弦切角定理有关的结论 (1)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半. (2)弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半. (3)如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等.,【做一做2】 如图,正三角形ABC内接于圆O,CP是圆O的切线,则ACP=() A.90B.30C.60D.75 解析:因为ABC是正三角形,所以B

3、=60.又因为CP是圆O的切线,所以ACP=B=60. 答案:C,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)圆的一条切线和一条弦所成的角就是弦切角. () (2)弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半. () (3)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数. () (4)弦切角可能是锐角、钝角或直角. () 答案:(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,利用弦切角定理解决计算问题 【例1】 如图,AB为O的直径,CD切O于点D,AB的延长线交CD于点C.若CAD=25,则C的度数为() A.45B.40C.35D.30,探

4、究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解析:(方法1)如图,连接BD, AB为直径,BDA=90. 又CD为O的切线,切点为D, 由弦切角定理可知BDC=CAD=25, CDA=90+25=115. 在ACD中,C=180-A-CDA=180-25-115=40. (方法2)如图,连接OD,则ODA=CAD=25.因为CD是O的切线,所以ODC=90,所以CDA=90+25=115.在ACD中,C=180-A-CDA=180-25-115=40. 答案:B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟利用弦切角解决与角有关问题的步骤 1.根据图形及弦切角的定义找出与题目有关的弦切角

5、; 2.利用弦切角定理找出与其相等的角; 3.综合运用相关的知识进行角的求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练1如图,过圆O外一点P分别作圆O的切线和割线交圆于A,B,且PB=7,C是圆上一点,且BC=5,BAC=APB,则AB=. 解析:PA是圆O的切线,BAP=BCA.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,利用弦切角定理解决证明问题 【例2】 如图,已知MN是O的切线,点A为切点,弦CD平行于MN,弦AB交CD于点E.求证:AC2=AEAB. 分析:要证AC2=AEAB,只需证明ACEABC即可,从而只需证明ACD=ABC,而由弦切角定理可知MAC=ABC,结

6、合MN平行于弦CD可证. 证明:如图,连接BC.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟比例式(或乘积式)的证明方法 1.证明乘积式成立,往往与相似三角形有关.若存在切线,常要寻找弦切角,确定三角形相似的条件,有时需要添加辅助线创造条件. 2.直接证明比例式或乘积式有困难时,可考虑把它分解成两个比例式的形式.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练2如图,AB为O的直径,C为O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.求证:AC平分DAB. 证明:如图,连接CB, CD为O的切线,由弦切角定理知ACD=B. 又AB为直径,C为O上一点, ACB=90, B+CA

7、B=90. ADCD,DAC+ACD=90. 由知DAC=CAB,故AC平分DAB.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,弦切角定理的综合应用 【例3】如图,CF是O的直径,CB是O的弦,CB的延长线与过点F的O的切线交于点P.,(1)如图,若P=45,PF=10,求O的半径长; (2)如图,若E是BC上的一点,且满足PE2=PBPC,连接FE,并延长交O于点A,求证:点A是 的中点.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,分析:对于(1),可由切线的性质定理知PCF是等腰直角三角形,因此求出CF的长,进而求出半径;对于(2),利用弦切角定理,可以求出两个三角形中有一组角对应相等

8、,然后利用相似三角形的判定及性质,可证出AC与AB所对的圆周角相等,从而证出点A是 的中点.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,(1)解:PF是O的切线,CF是直径, PCF是直角三角形. P=45,PF=CF.设圆O的半径为r, 则2r=PF=10,r=5,故O的半径为5. (2)证明:如图,连接FB. FP是O的切线, PFB=FCB. 又P=P, PBFPFC, ,PF2=PBPC. PE2=PBPC,PF2=PE2, PF=PE,EFP=FEP. EFB=EFP-BFP,CFE=FEP-FCB, EFB=CFE. 故点A为 的中点.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测

9、,反思感悟弦切角综合应用注意点 1.弦切角是一种很重要的与圆相交的角,其主要功能是沟通与圆相关的各种角,如圆心角、圆周角等之间的关系,是连接圆与三角形全等、三角形相似及与圆相关的各种直线位置关系的桥梁. 2.弦切角定理经常作为工具,进行三角形相似的证明,然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系,在圆中证明比例式或等积式,常常需要借助于三角形的相似进行处理.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,错用弦切角定理致误 【典例】 如图,以ABD的边AB为直径,作半圆O交AD于C,过点C的切线CE和BD互相垂直,垂足为E,延长EC到F.求证:AB=

10、BD.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,错解:如图,连接BC,OC. CE是半圆O的切线, DCE=CBE,OCCE. 又BDCE,OCBD, CBE=BCO, DCE=BCO. OC=OB,ABC=BCO, ABC=DCE. 又AB为半圆O的直径, ACBC, BAC=90-ABC. BDCE, CDE=90-DCE, CDE=BAC,AB=BD.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,正解:如图,连接BC. CE是半圆O的切线, FCA=CBA. FCA=DCE, DCE=CBA. AB为半圆O的直径,ADBC, BAC=90-CBA. 又BDCE,D=90-DCE, D

11、=BAC,AB=BD.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,纠错心得弦切角是顶点在圆上,一边与圆相交,另一边与圆相切的角,其中弦切角的顶点是圆的一条切线与圆的切点,一边是过切点的圆的一条弦所在的射线,另一边是过切点的圆的一条切线.本题错误在于找错弦切角,从而错用弦切角定理,所以证明过程是错误的.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练如图,ABC内接于O,ADAC于点A,C=32, B=110,则BAD=. 解析:C+B+BAC=180, BAC=180-C-B=38. 又ADAC,BAC+BAD=90. BAD=90-BAC=90-38=52. 答案:52,探究一,探究

12、二,探究三,思维辨析,当堂检测,1.如图,经过O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P.若CAP=40,ACP=100,则BAC所对的弧的度数为() A.100 B.40 C.120 D.30 解析:由弦切角的性质知ABC=CAP=40.因为ACP=100,所以BAC=100-40=60,因此BAC所对的弧的度数为602=120. 答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,2.如图,AD是圆O的切线,过圆上一点C作AD的垂线,垂足为B,CB与圆O相交于E,且AE平分CAB.若AE=4,则BE=(),解析:由题意,得BAE=ACE.又AE平分CAB, 所以BAE=EAC,从而BAC

13、=2ACB, 故ACB=BAE=30, 故BE=AEsinBAE=4 =2. 答案:A,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,3.如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆上的两点,半圆O的切线PC交AB的延长线于点P,PCB=25,则ADC=() A.105B.115C.120D.125 解析:如图,连接BD. PC与半圆O相切, BDC=BCP=25. 又AB是半圆O的直径,ADB=90. ADC=ADB+BDC=90+25=115. 答案:B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,4.如图,AD切O于点F,FB,FC为O的两条弦,请列出图中所有的弦切角. 解析:由弦切角的定义可知,A