第15讲波形信道的容量

1、第十五讲波形信道的容量Review时间离散的无记忆连续信道功率受限的可加高斯噪声信道容量C = 1 log( 1 +S)s22功率受限的可加噪声信道容量S + s2S + s2121) C log( log( )o 2o 22平行可加高斯噪声信道容量N B 1 log12S) =C =+nlog(1s2s22n:s2Bn=1nnn波形信道x(t)和y(t)时，这若信道的输入和输出都是随机过程个信道称之为波形信道或时间连续信道。若信道输出y(t) = x(t) + z(t),且x(t) z(t) 相互独立，就称可加波形信道。若 x(t) 和 y(t) 均为平方可积的函数，那么它们就可以通过一组完

2、备的正交函数集 j1(t), j2 (t),展开成y(t) = ynjn (t)x(t) = xnjn (t)0 t Tnnxn x(t)TTxn = x(t)jn (t)dtyn = y(t)jn (t)dty y(t)n00x(t)y(t)0 t Tx = (x1, x2 , xN )y = ( y1 , y2 , yN )N x(t)y(t)(x1,x2,xN)( y1, y2 , yN)p(y |x)输入输出函数 x(t)和y(t)在0 t T 上的互信息量为pN (y x)Ix(t); y(t) = lim Ix;y = lim logT QN (x) pN (y x)dxN N 因

3、此时间段 0 t T上输入和输出之间的平均互信息量为IT ( X (t);Y (t) = EIT (x(t); y(t)pN (y x)= limN Q(x) p(y x)logdxdyNNQ(x) p(y x)dxNN= lim I ( X N ;Y N )N 当下述极限存在时，波形信道单位时间的容量为1 1C = limCT = lim lim sup I(XNN;Y)T TT T N Q(x)上确界高斯白噪声加性波形信道容量0 t T 内也可以若信道干扰为加性高斯白噪声时，在通过正交函数集j1(t), j2 (t),表示为Tz(t) = znjn (t)z =z(t)j(t)dtnnn0

4、对于双边功率谱密度为N0 / 2的高斯白噪声，其各分量z1, z2 , zN 是彼此独立的。此时，输出y(t)的正交展开分量为Tyn = y(t)jn (t)dt = xn + zn0y1 = x1 + z1x1y(t) = x(t) + z(t)x(t)z1y2 = x2 + z2x2z(t)z2#1 SSNC =log(1+)2N WCn = 2 log(1+ N W )00由正交展开定理知，在0,T时限及0,W频限条件下的随机输入x(t)正交展开时，可用N=2TW个系数近似限定。则若信号时间限制在0,T，频带限制在0,W内SC= TW log(1+)TN W0Shannon公式C = W

5、 log(1+S)N0WShannon公式输入平均功率S，干扰双边功率谱密度为N0/2的可加高斯白噪声，若输入 x(t)限制在0 t T，则SC = W log(1+)N0W当信源信号为高斯分布时达到信道容量。注：公式同样适用于非高斯噪声波形信道。因为此时的信道容量是以高斯加性信道的容量为下限值。SC = W log(1+)N0WShannon公式当W 时有SSC = lim W log(1+) = 1.44N W0NW 0 S令 x = N W，得0SWN0SS1 log(1+ x)C= limlog(1+) = limNSSN WNxW x00001ln(1+ x) x log e= li

6、mN0x01ln(1+ x) x 1，所以x 0因为SS=1.44bit/sC = log e *N0 N 0C随着频带W的变化曲线CW在开始阶段，C随W增长较快；当W超过S/N0点后，W的增长速度下降；在W 时，C趋近于它的渐=1.44 S 比特/秒近值CN 0 Shannon公式理解SC = W log(1+) = W log(1+ SNR)N0W当带宽W一定时，信噪比与信道容量成对数关系，即若SNR增大，C就增大，但增大到一定程度后会趋于 缓慢。这说明增加输入信号功率有助于容量的增大， 但是当输入功率大到一定程度，即使功率再增加，C 增长的幅度却有限，得不偿失；另一方面，降低噪声功 率也

7、是有用的，当N0 0 时，C ，即无噪信道的容量为无穷大。Shannon公式理解SC = W log(1+) = W log(1+ SNR)N0W当输入信号的功率一定，增加信道带宽，容量可以增大，但是一定阶段后，增加变得缓慢，因为当噪声为加性高斯白噪声时，随着W的增加，噪声功率N0W也随着增加，但当时W ，C C 。这说明即使带宽无限，信道容量仍是有限的。C一定时，带宽增大，信噪比SNR可降低，即两者之间是可以互换的。若有较大的传输带宽，则在保持信号传输功率不变的情况下，可允许较大的噪声，即系统的抗噪声能力提高。例 题彩色电视显像管的屏幕上有5*105个象元，设每个象 元有64种彩色度，有16种不同的亮度层次，如果所有的彩色品种和亮度层次的组合均以等概率出现，并且各个组合之间相互独立。(1) 计算每秒传送25帧图像所需要的信道容量。(2) 如果高斯白噪声信道上信号与噪声的平均功率比值为63，为实时传送彩色电视的图像，信道的通频带应为多大？作 业4.104.