非常重要的二次递推数列求法

1、非常重要的二次递推数列求法形如an+1=Aan2+Ban+C (A0, anan+1)的递推数列，难度很大。让人大跌眼镜的是某几个省高考居然考了，所以发上来解法，只针对基础很好的同学。其通解要讨论N多种情况，有点混沌的味道。恕我水平有限，现阶段只想出这些特殊情况。an+1=Aan2+Ban+C (A0,anan+1)基本思路通过线性变换（线性变换是最基本的形式简化方式）xn=an+B/(2A)，即化为完全平方将形式简化为xn+1=Axn2+(4AC-B2+2B)/(4A)即简化形式xn+1=Pxn2+Q (P0)下面只讨论这个形式，暂时只研究P0的情况。1Q0，这个非常难，不幸这个递推数列方程

2、没有解析解（即无法通过初等函数来表达，要用无穷级数来表达，用级数表达难度很大，而其本身失去了简化运算的意义。）2Q=0，这个形式最简单。两边取对数lnxn+1=lnP+2lnxn (xn0)lnxn+1+ lnP =ln(Pxn+1)= 2ln(Pxn)注意：若x11)xn=x1 (n=1)3Q0)这种比较难，对于高中生来说能想到线性变换化简都不错了，更后面的变换更难想到。这种题高考是考过的，竞赛更不用说了。(1)两边同时除以Q/2变换为2xn+1/Q=PQ/2(2xn/Q)2-2 (P0, Q0)于是形式上变成了rn+1=krn2-2 (k0)，对于这个递推形式，容易证明从某项起，这个数列是

3、递增数列，这儿不再详细证明。代换方法是令rn=bn+1/bn，bn+1=bn2（即bn=b12n-1）注意：rn,bn 0，若rn0，则要从使得rn0的第m项rm开始，通过rm=bm+1/bm，算出bm，bn=bm2n-m。数学需要严谨。前面的项是摆动的，无法直接求。这个是最简形式了，这个形式是有解的，可以想想为什么要化为-2。下面以一个例子来说明解这种最简形式的具体求解思路。例：an+1=an2-2，a1=-51/2。求an。令an=bn+1/bn。bn+1+1/bn+1+2=(bn+1/bn)2注意右边可化为(bn+11/2+1/bn+11/2)2=(bn+1/bn)2bn+11/2+1/

4、bn+11/2=bn+1/bn注意这里我们只要满足上面那个等式就行了，具体bn有多少种解我们不关心，所以最简单，只要bn+11/2=bn就行了。显然lnbn+1=2lnbn，lnbn是等比数列，注意bn0，需要an0来保证，但第二项大于0，所以从第二项起。lnbn=2n-2lnb2a2=3=b2+1/b2，取一个根即可b2=(3+51/2)/2bn=(3+51/2)/22n-2an=bn+1/bn=(3+51/2)/22n-2+(3-51/2)/22n-2 (n2)an=-51/2 (n=1)P0的情况，只需令yn=-xn就可化为yn=-Pyn2-Q (P0)的形式综上所述：an+1=Aan2+Ban+C (A0, anan+1)的递推数列都可以通过线性变换将形式化简成xn+1=Pxn2+Q (P 0)的形式若Q0)这样的形式，若m项起xn0，则通过xn=bn+1/bn，bn=bm2n-m来求nm部分的通项公式（nm的部分由于数列摆动难以求解）。若是特殊形式，还可以进行降次处理。但是，这只是在实数范围内的解法。如果扩展到复数范围，则完全可以不考虑an的正负，可以让Xn是复数。这样通