九年级上册数学华东师大版导学案 21.1二次根式

1、 第21章 二次根式21.1 二次根式学习目标：1.理解二次根式的概念（重点）；2. 掌握二次根式有意义的条件（重点）；3.掌握二次根式的两个性质：（重点）； 4.会利用二次根式的非负性解决相关问题（难点）.自主学习一、知识链接1.什么叫做平方根？2.什么叫做算术平方根？什么数有算术平方根？二、新知预习1. 用带根号的式子填空:(1)如图是一张郑州“二七纪念塔”的照片，形状为正方形.若其面积为2dm2,则它的边长为 dm；若其面积为S dm2，则它的边长为_ _ dm 图图(2) 如图的海报为长方形，若宽是长的2倍，面积为6m2，则它的长为_ _m(3) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的

2、时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t=_ _合作探究一、探究过程探究点1：二次根式的意义及有意义的条件问题1： 分别表示什么？问题2： 这些式子有什么共同特征？【要点归纳】把形如 (a0)的式子叫做二次根式. “”称为_.【典例精析】例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？【方法总结】判断式子是否为二次根式时，抓住二次根式的两个必备特征：外貌特征：含有“”；内在特征：被开方数a0.例2 (教材P2例题变式题)当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？【方法总结】要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数

3、0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母或二次根式为的被开方数为分式时，应同时考虑分母不为零.【针对训练】1.下列各式:一定是二次根式的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_ _; (2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_ _. 探究点2：的性质【典例精析】例3 计算：【要点归纳】.【针对训练】计算：探究点3：的性质议一议:下面根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？1.计算： ; ; ; .观察其结果与根号内幂的底数的关系，归纳得到：当 .2.计算： ; ; ; .观察其结果与根号内幂的底数的关系，归纳得到：当 .3

4、.计算： ;当 .【要点归纳】将上面得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：a2=a=a0a0，即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.探究点4：二次根式的双重非负性问题1：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？问题2：二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？【要点归纳】二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a_0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知_ _0.【典例精析】例4 若，求a-b+c的值.【方法总结】多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为

5、零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.例5 已知y=,求3x+2y的算术平方根.【方法总结】若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.【针对训练】已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根二、课堂小结二次根式的概念一般地，我们把形如的式子叫作_. “”称为二次根号，根指数为_,可省略.二次根式有意义的条件被开方数（式）为_,即有意义 a0.二次根式的性质1一个非负数的算术平方根的平方等于它_，即二次根式的性质2一个数的平方的算术平方根等于它的_,即二次根式的非负性双重非负性：当堂检测1.下列式子中，不属于二次根式的是（ ）2.式子有意义的条件是 （ ）A. x2

6、B.x2 C.x2 D.x23. 化简：B. （1）_ ; （2）_; C. （3）_; （4）_.4.当x=_时，二次根式取最小值，其最小值为_5.实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是_. 6.利用a （a0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：(1) 9；(2)5；(3)2.5；(4)0.25；(5)；(6)0 .拓展提升7. 若二次根式有意义，求m的取值范围参考答案自主学习一、知识链接1. 解：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.2. 解：若一个非负数的平方等于a，即x=a(a0)，则这个数x叫做a的算术平方根.非负数才有算术平方根.二、新知预习1. (1)

7、 （2） （3）合作探究一、探究过程探究点1：问题1： 解：分别表示2，S,3,的算数平方根.问题2： 解：根指数都为2,；被开方数为非负数.【要点归纳】 二次根式【典例精析】例1 解：（1）（4）（6）是二次根式，（2）（3）（5）（7）不是二次根式.例2 解：（1）x1. （2）x-3且x1. 【针对训练】1. B 2.(1) x1 (2) _x0且x2 探究点2：的性质【典例精析】例3 解：（1）原式=. （2）原式=. 【针对训练】解：（1）原式=5 . （2）原式=8.探究点3：的性质议一议: 1. 4 0.2 20 a 2. 4 0.2 20 -a 3. 0 a 【要点归纳】a -a探究点4：二次根式的双重非负性问题1：解：x均可取任意实数 .问题2：解：a0，被开方的数大于等于0【要点归纳】 【典例精析】例4 解：由题意得a-2=0,b-3=0,c-4=0，a=2，b=3，c=4.则a-b+c=3.例5 解： x-30，3-x0，x=3，y=8.3x+2y=25,3x+2y的算术平方根为5.【针对训练】解：|3x-y-1|+=0，解得x+4y=9，x+4y的平方根为3二、课堂小结二次根式 2 非负数 本身 绝对值 当堂检测1.