第14章 一次函数教案

1、第14章 一次函数主备人：邹福泉 参备人：韩雪峰、王国安、李新贵、刘静、陈昌菊14.1变量与函数(1)教学目标运用丰富的实例,使学生在具体情境中领悟函数概念的意义,了解常量与变量的含义。能分清实例中的常量与变量,了解自变量与函数的意义。通过动手实践与探索,让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,以提高分析问题和解决问题的能力。引导学生探索实际问题中的数量关系,培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心。教学重点与难点重点：函数概念的形成过程。难点：正确理解函数的概念。教学准备每个小组一副弹簧秤和挂件,一根绳子。教学设计提出问

2、题:1.汽车以60千米/时的速度匀速行驶。行驶里程为s千米,行驶时间为t小时。先填写下面的表,再试着用含t的式子表示s：t(小时)12345s(千米)2.已知每张电影票的售价为10元。如果早场售出150张,日场售出205张,晚场售出310张,那么三场电影的票房收入各为多少元?设一场电影售出x张票,票房收人为y元,怎样用含x的式子表示y?3.要画一个面积为10cm2的圆,圆的半径应取多少?画面积为20cm2的圆呢?怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r?注:(1)让学生充分发表意见,然后教师进行点评。(2)挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景,让学生经历探索具体情景中两个变量关系的过程,直接获得

3、探索变量关系的体验。动手实验1.在一根弹簧秤上悬挂重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化,填入下表：悬挂重物的质量m(kg)弹簧长度l(cm)如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l(cm)?2.用10dm长的绳子围成矩形.试改变矩形的长,观察矩形的面积怎样变化,记录不同的矩形的长的值,计算相应的矩形面积的值,探索它们的变化规律(用表格表示) 。设矩形的长为xdm,面积为Sdm2,怎样用含x的式子表示S?注:分组进行实验活动,然后各组选派代表汇报。通过动手实验,学生的学习积极性被充分调动起来,进一步深刻体会了变量

4、间的关系,学会了运用表格形式来表示实验信息。探究新知(一)变量与常量的概念1.在学生动手实验并充分发表自己意见的基础上,师生共同归纳：上面的问题和实验都反映了不同事物的变化过程。其中有些量(时间t、里程s、售出票数x、票房收入y等)的值是按照某种规律变化的。在一个变化过程中,数值发生变化的量,我们称之为变量。也有些量是始终不变的,如上面问题中的速度60(千米/时)、票价10(元)等,我们称之为常量。2.请具体指出上面这些问题和实验中,哪些量是变量,哪些量是常量。3.举出一些变化的实例,指出其中的变量和常量。注:分组活动.先独立思考,然后组内交流并作记录,最后各组选派代表汇报。培养学生主动参与、

5、合作交流并能用数学的眼光看待世界的意识,提高观察、分析、概括和抽象等的能力。(二)函数的概念1.在前面的每个问题和实验中,是否各有两个变量?同一个问题中的变量之间有什么联系?师生分析得出：上面的每个问题和实验中的两个变量互相联系.当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就有惟一确定的值。2.分组讨论教科书P.117 “观察”中的两个问题。注:使学生加深对各种表示函数关系的表达方式的印象。3.一般来说,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有惟一确定的值与其对应,那么,我们就说x是自变量,y是x的函数。如果当x=a时,y=b,那么,b叫做当自变量的值为a时的函数值

6、。例如在问题1中,时间t是自变量,里程s是t的函数。t=1时,其函数值s为60,t=2时,其函数值s为120。同样,在心电图中,时间x是自变量,心脏电流y是x的函数；在人口统计表中,年份x是自变量,人口数y是x的函数.当x=1999时,函数值y=12.52。巩固新知下列各题中分别有几个变量?你能将其中的某个变量看成是另一变量的函数吗?1.右图是北京某日温度变化图2.如图,已知菱形ABCD的对角线AC长为4,BD的长在变化,设BD的长为x,则菱形的面积为y=4x3.国内平信邮资(外埠,100克内)简表：信件质量m/克Om2020m40400)的图象,可以看出曲线从左向右下降,即当x由小变大时,

7、y=随之减小.(2) 归纳用描点法画函数图象的一般步骤.描点法画函数图象的一般步骤如下：第一步：列表；(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值)第二步：描点；(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点)第三步：连线.(按照横坐标由小到大的顺序,把所描出的各点用平滑的曲线连接起来)讨论交流:教科书P.115 “思考”中的两个问题.巩固新知1.画出函数y=2x-1的图象.判断：点A(-2.5,-4)、点B(1,3)、点C(2.5,4)是否在函数y=2x-1的图象上.2.画出函数y=x2的图象.从图象中观察,当x0时呢?注:理解用图象法表示函数关系.巩固函

8、数图象的画法.总结归纳以问题的形式要求学生思考、交流：1.作函数图象的三个步骤分别是什么?2.如何从图象中了解函数的变化情况?注:加深对函数图象画法的印象.布置作业1.必做题：教科书P.119 第6题.2.选做题：教科书P.120 第10题.教学反思14.1变量与函数(5)教学目标运用丰富的实例,帮助学生全面理解函数的三种表示方法.通过观察、作图、交流、归纳等数学实践活动,使学生加深对函数三种表示方法的认识,提高把实际问题转化为数学问题的能力.让学生通过实际操作,体会函数的三种表示方法在实际生活中的应用价值,以激发学生对数学的学习兴趣.教学重点与难点重点：函数的三种表示方法及其应用.难点：函数

9、的三种表示方法的应用.教学准备木板一块、玩具小车一辆、三角尺、CAI课件.教学设计提出问题实验演示：倾斜木板,将小车置于木板顶端,观察小车下滑过程.小车沿斜坡下滑,下滑速度与其下滑时间的关系如上图所示.1.填写下表：t(秒)123V(米/秒)2.写出V与t之间的关系式.注:通过实验演示,创设问题情境,使学生从中发现数学,建立模型,引起思考,激发兴趣.营造轻松愉悦的学习氛围,自然导入新课.探究新知1.通过学习,我们已经知道可以用列表格、写式子和画讨论：从前面的例子来看,你认为这三种表示方法各有什么优点?注:分组活动.先独立思考,然后组内交流并作记录,最后各组选派代表汇报.2.注意：表示函数时,要

10、根据具体情况选择适当的方法.图象的方法来表示函数.这三种表示函数的方法分别被称为列表法、解析式法和图象法.为了全面地认识问题,有时需要几种方法同时运用.讲解教科书P.117 例4.问题1：观察记录表中的6组数值,你认为这两个变量之间有什么关系?问题2：请你写出水位高度y(米)随时间t(时)变化的函数解析式.问题3：请你画出这个函数的图象.问题4：请你预测一下,再过2小时,水位高度将达到多少米?注:给学生提供充分的时间与空间,让其进行自主探索和与同伴交流,经历数学活动的过程.学生的探索可能具有盲目性,精心设计“问题串”可帮助解决这个问题.但它不能代替学生的探索,而是为学生的探索提供指导.一切要从

11、有利于学生的发展出发.巩固新知教科书P.118 练习第1、2题注:加深对函数三种表示方法的理解.解决问题某电视机厂要印制一批产品宣传资料.甲厂提出：每份资料收1元印制费,所有资料另收1500元的制版费；乙厂提出：每份资料收2.5元印制费,不收制版费.1.分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的关系式.2.在同一直角坐标系内作出它们的图象.3.根据图象回答以下问题：(1)印制800份宣传资料,选择哪家印刷厂比较合算?(2)电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传资料,选择哪家印刷厂宣传资料能多印一些?注:感受所学知识在实际中的用途,培养学生应用数学的意识.总结归纳教师强调,本节课主要学习了

12、函数的三种表示方法：列表法、解析式法和图象法以及各自的优点.特别提醒：函数的不同表示方法之间是可以转化的.注:引导学生归纳总结所学知识,使之对函数的表示方法有比较全面的认识.布置作业1.必做题：教科书P.120 第11题.教学反思14.2.1正比例函数教学目标通过对不同背景下函数模型(关系式)的比较,接受正比例函数的概念.在用描点法画正比例函数图象的过程中发现正比例函数的性质.利用发现的性质简便地画出正比例函数的图象.初步体验研究函数的一般思路与方法.教学重点与难点重点:正比例函数的概念、图象与性质.难点：体验研究函数的一般思路与方法教学准备教师准备：作图工具、多媒体课件.学生准备：作图工具、

13、方格子纸若干张.教学设计概念的引出1.出示教科书P.122 的问题.先出示问题背景,再逐一提出问题、.注:问题的解决可由一位学生回答,其他学生补充进行.说明：以上我们用函数y=200x对燕鸥的飞行路程问题进行了刻画.尽管这只是近似的,但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型.注:此问题源于真实背景,难度又不大,在使全体学生进入学习状态的同时,也进一步体会到函数是反映现实世界的一种数学模型.2.此类模型在生活中广泛存在.出示教科书P.23 的问题：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?这些函数有什么共同点?注:在变化的背景中寻找不变之处,经历对一类对象共同本质特征的抽象过程,促

14、进概念的形成.通过讨论、归纳形成共识,给出正比例函数的概念.一般地,形如y=kx(k是常数,kO)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.注:这里不补充正反例的比较来进行概念的辨析,这部分内容放入下一节.上述问题中各正比例函数的比例系数分别是什么?注:认识的扩大.我们知道,函数图象可以直观、清晰地表示函数关系.正比例函数的解析式具有共同的结构,那么它们的图象是否也有某种必然的共同之处呢？1.画出下列正比例函数的图象：(1)y=2x (2)y=-2x学生通过列表、描点、连线画出图象,使用课前准备好的方格子纸(或由教师统一发下)可以节约时间提高效率.注:自然激发探究冲动,感受研究函数的思考方式

15、.利用已学过的描点法画出正比例函数的图象,既巩固旧知识,更为发现规律后简便画法的产生埋下伏笔.2.比较上面两个函数的图象的相同点与不同点,你发现它们具有怎样的规律了吗?注:让学生充分发表意见,鼓励百家争鸣、各抒己见,教师暂时不做评判,对于争论最好的办法是让学生自己想办法验证解决.学生经历活动操作、观察比较、分析思考、讨论交流的过程,并在这样一个过程中树立信心、获取知识、体验学习的方法.引导学生思考：这种规律对其他正比例函数适用吗?具有一般规律吗?3.适时引导学生继续尝试：练习：在同一个坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行比较：(1)y=x (2)y=-x注:(1)这里无须就k=O时又如何

16、展开讨论,若有学生提及,可鼓励在课外思考.(2)量的积累可以进一步增强信心,明确经验,有助于对各种意见的统一认识的全面定型.4.达成共识：一般地,正比例函数y=kx(k0)的图象是一条经过原点的直线,我们称它为直线y=kx.当k0时,直线y=kx经过第三、一象限,从左向右上升,即随着x的增大y也增大；当k0时,向上平移；当b0时,y随x的增大而增大；当k0当x为何值时,函数y=2x-4的值大于0?此处对教科书上引例稍作改变,让学生顺着上节课的思维,用类似的观点处理不等式问题.(2)你如何利用图象来说明?(师生对以上两个问题一起议论,一起得出结论)注:当y取值从上节课的等于0变成了这节课的大于0

17、,相应的x值也由一个定值变成一个范围；如何在图象上看,对学生来说需要思维的跳跃.(3)“解不等式2x-40”可以与怎样的一次函数问题是同一的?怎样在图象上加以说明?这里安排(3)是及时巩固,使学生对y0或ax+b0,0的解集是x3；-x+33；-x+30的解集是x3；-x+30的解是x32.如上图,利用y=-x+5的图象,(1)求出-x+5=0的解；(2)求出-x+50的解集；(3)求出-x+50的解集(4)你能求出-x+53的解集吗?(5)你还能求出哪些不等式的解集呢?解：(略)注:第2题同样是突出本节课重点内容的一种设计.(4)(5)小题为拓展开放.小结反思通过以上的分析和练习,我们知道,

18、对于一般的一元一次不等式ax+60,它与一次函数的求值、利用图象分析数量关系等问题关系很密切.具体见如下框图：从数的角度看：求ax+b0(a0)的解x为何值时y=ax+b的值大于0从形的角度看：求ax+b0(a0)的解确定直线y=ax+b在x轴上方的图象所对应的x值对于0、0、0的情况,让学生自己口述,使其真正理解.注:数形结合,揭示本质.此处归纳放在教科书P.41例2讲解以前,可以居高临下地看待具体问题的求解,特别是对该题解法2的理解.例题讲解教科书P.41 例2(略)注:例题讲解重思路和步骤分析解法1：分析：将不等式转化为一般形式,再画出对应的一次函数的图象,就是我们已会的求解了.(解答过程见教科书)解法2：分析：(1) 如果不将原不等式转化,能否用图象法解决呢?(2)不等式两边都是一次函数的表达式,因而实际上是比较两个一次函数在x取相同值时谁大的问题.(3)如何在图象上比较两个一次函数的大小呢?(4)如何确定不等式的解集呢?(解答过程见教科书)归纳(见教科书P.41 )注:点明图象法解方程、不等式既是需要,也很便利.教师补充归纳：当画图象成为一种自觉,成为一种习惯的时候,用图象法解方程,解不等式