第一章函数极限连续

1、第一章 函数 极限 连续微积分是数学中的重要分支，是高等数学的核心. 函数和极限分别是微积分研究的对象和工具. 本章将在复习和加深函数有关知识的基础上，着重讨论函数的极限和函数的连续性等问题. 本章重点：函数概念，极限的四则运算，两个重要极限；连续函数概念及闭区间上连续函数的性质.难点：极限概念，函数的连续点和间断点的判别.第一节 第一节 函数重点：函数的概念及性质，求函数的定义域，基本初等函数的基本性质及图形，会求初等函数的定义域难点：函数性质判断具有的授课内容：一 函数的概念， 1定义设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于每个数xD。变量y按照一定的法则f，有惟一确定的数值和它对

2、应，则称y是x的函数，记作 y=f(x), xD. 其中x叫做自变量，y叫做因变量。数集D称为函数的定义域，i) i) 函数y=f(x) 在x0D处的函数值，记作y0=y|x=x0=f(x0)ii) ii) 表示函数的记号有多种，如：y=F(x),y=g(x) y=(x) y=(x)iii) iii) 函数定义中，如果对于给定的x值，对应的y值有多个，则称此函数为多值函数。符合上述定义的函数称为单值函数例 例 匀速直线运动中，高物体运动的速度为v物体运动的时间为t，则物体运动的路程s与物体运动的速度，时间之间的关系式为s=vt例 例 一商场衬衣零售价为元/件，每件衬衣的利润为零售价的，如果这家

3、市场一年卖出，这种衬衣的用x表示，所获得的利润用表示，则这种衬衣一年所获得的利润与所售衬衣件数x之间的关系为Q=12020%x2.函数的定义域满足实际要求且使算式成立的一切实数组成的集合称为函数的定义域例 例求y=的定义域解：要使x4-160,必须x416 即x24 所以x2或x-2所以函数y=的定义域(,-2) 2,例 例求y=ln解：因为时函数才有意义.要使则或即或所以x3或x3或x23.函数的表示法通常函数的表达方式有三种：公式法、表格法和图示法。 公式法：用数学公式表示函数关系的方法，称为公式法。例：s=vty=表示的函数并不都是用一个数学式子表示。用多个数学式子表示的函数称为分段函数

4、。例如符号函数y=sgnx=就是一个分段函数 表格法：以表格形式表示函数关系的方法称为表格法例5 例5 某化工厂4月份前半月每六生产杀虫剂的产量如表1-1所示：表1-1日期123456789101112131415产量（吨）312928303227313029283432302930它的定义域D=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 图示法：用图表示两个变量之间的函数关系的方法称为图示法。如图1-1表示变量x与y的函数关系. y o x o x 图1-1二、函数的几种特性 函数的有界性 y o xo x 图1-2定义：设函数f(x)在区间上有定义，如果存在一个

5、正数，对于所有的xI,对应的函数值f(x)恒有 |f(x)|M 成立，则称函数f(x)在I 内有办，如果这样的正数M不存在，则称函数f(x)在I内无界。例 例函数f(x)= cosx在（）内是有界的。因为对于任意x（）都有cosx1成立例6函数f(x)=x3如图, f(x)在（）内无界，但是,它在1,2闭区间上有界，因为任意x1,2f(x)|=|x3|8. 2.函数的单调性定义：设函数y=f(x)在区间I内有意义，对于区间I内任意两点x1,x2当x1x2时，函数y=f(x)满足f(x1)0,a1,a为常数)称为指数函数，其定义域为（-，+），值域为（0，）. 当a1时，函数严格单调增加; 当0

6、a0,a1)称为对数函数。其定义域为（0，）,值域为（-，+）.当a1时，函数严格单调增加;当0a1时，函数严格单调减少，函数图形都过（1，0）点.y x0 （1，0）以e为底的对数称为自然对数，记作X（5）三角函数正弦函数：.定义域为（-，+），值域为-1，1，它是以2为周期的有界的奇数函数如图余弦函数：y=cosX.定义域为（-，），值域为-1，1，它是以2为周期的有界的偶函数如图正切函数：y=tanX.定义域为XK，即（K-，K）（K=0,1,2）,它是以为周期的单调增加的奇函数（在一个周期内）余切函数：y=cotX.定义域为XK,即（K，（K+1）（K=0，1,2），它是以为周期的单调

7、减少的奇函数（在一个周期内）此外，还有正割函数y=secX= 和余割函数y=cscX= ，其图形和性质从略。（6）反三角函数反正弦函数：y=arcsinX,定义域为-1，1，值域为-，有界，单调增别，奇函数，它是正弦函数y=sinX(当-x时)的反函数如图.反余弦函数：y=arccosX.定义域为-1，1，值域为0，有界，单调减少，它是余弦函数y=cosX(当0X时)的反函数如图.反正切函数：y=arctanX定义域为（-，+），值域为（-x时）。有界，单调增加，奇函数，它是正切函数y=tanX(当-x时)的反函数如图.反余切函数：定义域为（-,+ ），值域为.有界，单调减少，它是余切函数（当

8、时的反函数如图 2初等函数 基本初等函数经过有限次的四则运算和经过有限次复合运算并能用一个式子表示的函数称为初等函数。高等数学讨论的函数主要是初等函数.六建立函数关系举例例14 例14 在半径为r的球内镶入一个内接圆柱体，试建立圆柱体体积v与其高h的函数关系解： 高，圆柱体底面直径2R与球的直径构成一个直角三角形（图书1-13）。则所以 所以圆柱体体积:例15 例15 某市场出售某款衬衣，零信价85元/件，若实20件以上可以打9折；若买100件以上可打8折，度建立此款衬衣的出售价Q与衬衣件数X的函数关系 例16 火车从A站出发，以的匀加速前行，经过3秒后开始匀速行驶，再经过8秒后以匀减速行驶，经过t分钟到达B站，将火车从A站到B站行驶的路程S表示成时间t的函数. 解 火车从A站以的匀速度前行3秒中行驶的路程为 3秒后的速度，匀速