第一部分___专题五___第3讲____直线与圆锥曲线的位置关系及轨迹问题(理)___专题训练经典化

1、第一部分 专题五 第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系及轨迹问题(理)(限时60分钟，满分100分)一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分)1已知双曲线kx2y21的一条渐近线与直线l：2xy10垂直，则此双曲线的离心率是()A. B.C4 D.解析：由题知，双曲线的渐近线方程为kx2y20，即yx.由题知直线l的斜率为2，则可知k，代入双曲线方程kx2y21，得y21，于是，a24，b21，从而c，所以e.答案：A2抛物线y28x的焦点到双曲线1的渐近线的距离为()A1 B.C. D.解析：由题意可知，抛物线y28x的焦点为(2,0)，双曲线1的渐近线为yx，所以焦点到双曲线的渐近线

2、的距离为1.答案：A3(2010厦门模拟)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线为l1、l2，过右焦点且垂直于x轴的直线与l1、l2所围成的三角形面积为()A. B.C. D.解析：由题意可知，过右焦点且垂直于x轴的直线与两渐近线的交点坐标分别为(c，)、(c，)，所以三条直线围成的三角形面积为Sc2.答案：D4(2010新课标全国卷)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由题意知c3，a2b29，设A(x1，y1)，B(x2，y

3、2)则有：，两式作差得：，又AB的斜率是1，所以将4b25a2代入a2b29得a24，b25，所以双曲线标准方程是1.答案：B5(2010福州模拟)已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A5 B8C.1 D.2解析：抛物线y24x的焦点为F(1,0)，圆x2(y4)21的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d|PF|，|PQ|d|PQ|PF|(|PC|1)|PF|CF|11.答案：C6(2010福建质检)已知椭圆1(0b2)与y轴交于A、B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则

4、ABF面积的最大值为()A1 B2C4 D8解析：不妨设点F的坐标为(，0)，而|AB|2b，SABF2bb2(当且仅当b24b2，即b22时取等号)故ABF面积的最大值为2.答案：B二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)7已知过点P(3,0)的直线l与双曲线1交于A、B两点，设直线l的斜率为k1(k10)，弦AB的中点为M，OM的斜率为k2(O为坐标原点)，则k1k2_.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点M的坐标是(，)，直线AB的斜率k1，直线OM的斜率k2，故k1k2，又双曲线的方程为y2(x216)，故yy(xx)，故k1k2.答案：8(2010

5、全国卷)已知抛物线C：y22px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若，则p_.解析：由题知准线l为x(p0)，过M(1,0)且斜率为的直线为y(x1)，则A(，(1)，设B(x0，y0)，由知M为AB的中点，又M(1，0)，所以即，代入y22px(p0)得，3(1)22p(2)，整理得，p24p120，解得p2或p6(舍去)答案：29已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为_解析：由题可知A1(1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x1)，则(1x，y)，(2x，y)，(1x)(2x)y2x2x2y2

6、x2x23(x21)4x2x5，x1，函数f(x)4x2x5的图象的对称轴为x，当x1时，取最小值2.答案：2三、解答题(本大题共3个小题，共46分)10(本小题满分15分)(2010辽宁六校联考)已知中心在原点，焦点在x轴上，离心率为的椭圆的一个顶点是抛物线yx2的焦点，过椭圆右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴于点M，且1， 2.(1)求椭圆的方程；(2)证明：12为定值解：(1)由题易知b1，e ，解得a25，故椭圆的方程为y21.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，由F(2,0)，1，得.由2，得.又A、B在椭圆上，将其分别代入椭圆方程整理知，1，2

7、是方程21055y0的两根，所以1210为定值11(本小题满分15分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，原点到过点A(0，b)和B(a,0)的直线的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)已知定点M(2,0)，若过点M的直线l(斜率不等于零)与椭圆C交于不同的两点E、F(E在M与F之间)，记，求的取值范围解：(1)由题知直线AB的方程为1，即bxayab0.依题意，得，解得a，b1，椭圆C的方程为y21.(2)由题意知直线l的斜率存在且不为零，故可设l的方程为yk(x2)，将l的方程代入椭圆方程y21，整理得(2k21)x28k2x8k220.由0，得(8k2)24(2k21)(8k22)0，即

8、2k210，0k2.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1x2，且， (*)由，得，由此可得，则，且01.由(*)知，(x12)(x22)，(x12)(x22)x1x22(x1x2)4，即k2，0k2，0，又01，解得321.即的取值范围是(32，1)12(本小题满分16分)(2010广东惠州)已知点P是O：x2y29上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足. (1)求动点Q的轨迹方程；(2)若点G(1,1)，则在动点Q的轨迹上是否存在不重合的两点M、N，使()(O是坐标原点)若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由解：(1)设P(x0，y0)，Q(x，y)，依题意，则点

9、D的坐标为(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)又，即.点P在O上，xy9，1，点Q的轨迹方程为1.(2)假设1上存在不重合的两点M(x1，y1)，N(x2，y2)使()，则G(1,1)是线段MN的中点，有，即.又M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆1上，得0，kMN，直线MN的方程为4x9y130，椭圆上存在不重合的两点M、N，使()，此时直线MN的方程为4x9y130.1若直线mxny4与圆O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为()A至多一个 B2C1 D0解析：由直线和圆没有交点可得：2，整理得m2n24，故点P(m，n)必在椭圆内，故过该点的直线与

10、椭圆必有两个公共点答案：B2从抛物线y28x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|5，设抛物线的焦点为F，则PFM的面积为()A5 B6C10 D5解析：抛物线的焦点F(2,0)，准线方程为x2.设P(m，n)，则|PM|m25，解得m3.代入抛物线方程得n224，故|n|2，则SPFM|PM|n|525.答案：A3已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1,2C(1， D(1,3解析：依题意知|PF1|PF2|2a，4a|PF2|8a，当且仅当|PF2|时等号成立此时|PF2|2a，|P

11、F1|4a，因为|PF1|PF2|2c，所以6a2c，即1e3.答案：D4(2010全国卷)已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点K(1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.(1)证明：点F在直线BD上；(2)设，求BDK的内切圆M的方程解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，y1)，l的方程为xmy1(m0)(1)证明：将xmy1代入y24x并整理得y24my40，从而y1y24m，y1y24. 直线BD的方程为yy2(xx2)，即yy2(x)令y0，得x1.所以点F(1,0)在直线BD上(2)由知，x1x2(my11)(my21)4m22，x1x2(my

12、11)(my21)1.因为(x11，y1)，(x21，y2)，(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1484m2，故84m2，解得m.所以l的方程为3x4y30或3x4y30.又由知y2y1，故直线BD的斜率为，因而直线BD的方程为3xy30,3xy30.因为KF为BKD的平分线，故可设圆心M(t,0)(1t1)，M(t,0)到l及BD的距离分别为，.由得t，或t9(舍去)，故圆M的半径r.所以圆M的方程为(x)2y2.5(2010北京高考)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设直线A

13、P和BP分别与直线x3交于点M，N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由解：(1)因为点B与点A(1,1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，1)设点P的坐标为(x，y)，由题意得，化简得x23y24(x1)故动点P的轨迹方程为x23y24(x1)(2)法一：设点P的坐标为(x0，y0)，点M，N的坐标分别为(3，yM)，(3，yN)，则直线AP的方程为y1(x1)，直线BP的方程为y1(x1)令x3得yM，yN.于是PMN的面积SPMN|yMyN|(3x0).又直线AB的方程为xy0，|AB|2，点P到直线AB的距离d.于是PAB的面积SPAB|AB|d|x0y0|.当SPABSPMN时，|x0y0|.又|x0y0|0，所