134最短路径问题

1、第十三章 轴对称,13.4 课题学习 最短路径问题,人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）,大黑学校 刘威,看图思考：,为什么有的人会经常践踏草地呢？,绿地里本没有路，走的人多了 ,禁止践踏,两点之间，线段最短,爱护草坪,如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？,两点之间,线段最短, ,将军饮马问题：,两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：,将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中 马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？,这就

2、是被称为将军饮马而广为流传的问题。,P,两点之间线段最短.,根据：,B,A,(一)两点在一条直线两侧,例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中 马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？,最短路线：,将军饮马：,A -P- B.,例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到河边饮水一次, 问：这位将军怎样走路程最短？,A,B,河,两点在一条直线同侧,(二)一次轴对称：,B,C,例2作法：,（1）作点B关于直线 MN 的对称点 B,（2）连结BA，交MN于点C；, 点C就是所求的点,M,N,两点在一条直线同侧,(二)一次轴对称：, BC+ACBC+AC，即AC+BC最小,N

3、,A,B,C,B,C, 直线MN是点B、B的对称轴， 点C、C在对称轴上， BC=BC，BC=BC,在MN 上任取另一点C，,连结BC、BC、AC、BC,例2证明：,在ABC中，AB AC+BC,BC+AC=BC+AC=BA,M,BC+AC=BC+AC,两点在一条直线同侧,(二)一次轴对称：,例2变式1：已知：P、Q是ABC的边AB、 AC上的点，你能在BC上确定一点R， 使PQR的周长最短吗？,两点在一条直线同侧,(二)一次轴对称：,例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A， 问：这位将军怎样走路程最短？,O,M,N,(三)二次轴对

4、称：,一点在两相交直线内部,.,.,.,.,(三)二次轴对称：,一点在两相交直线内部,求作:OM上一点B, ON上一D点C,使 AB+BC+AC最短,作法:（1）作点A关于OM、 ON的对称点A、A,例3：已知如图，MON和内部一点A,例3变式1：已知P是ABC的边BC上的点， 你能在AB、AC上分别确定一点Q和R， 使PQR的周长最短吗？,(三)二次轴对称：,一点在两相交直线内部,（2）把A，B在直线同侧的问题转化为 在直线的两侧，化折线为直线，,小结：将军饮马的实质：,（3）可利用“两点之间线段最短” 加以解决。,（1）求最短路线问题- 通过几何变换找对称图形。,反思是进步的阶梯,我的收获；,我的疑惑；,面对一个新的求线段最短问题时，我们可以通过怎样的途径去研究它？,例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要 从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。,二次轴对称：,两点在两相交直线内部,例4答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边