第八章+弹性体应力与应变

1、第八章弹性体的应力和应变8.1.1 一钢杆的横截面积为，所受轴向外力如图所示，试计算A、B，B、C和C、D之间的应力.， ， ，。解 答建立坐标系O-x，水平向右为正方向，作垂直于Ox的假想截面于AB间E处，BC间G处，CD间H处. 以杆的全部为隔离体。受力杆所受合力X轴上投影： 合力为零，杆平衡。在以杆的AE部为隔离体，受力，面外侧对它的应力根据平衡方程 由于与X轴同向，为拉应力。在以杆的AG部为隔离体，经过同样分析可得：为压应力最后以杆的AH部为隔离体，经过同样分析可得：为拉应力。8.1.2利用直径为0.02m的钢杆CD固定刚性杆AB.若CD杆内的应力不得超过.问B处至多能悬挂多大重量（不

2、计杆自重）.解 答以杆AB为隔离体。受力，建立坐标系轴如图。根据刚体平衡时，在轴方向投影方程为： 得到对CD，因故所以8.1.3图中上半段为横截面等于且杨氏模量为的铝制杆，下半段是横截面为且杨氏模量为的钢杆，又知铝杆内允许最大应力为，钢杆内允许的最大应力为.不计杆的自重，求杆下端所能承担的最大负荷以及在此负荷下杆的总伸长量. 解 答对于铅杆允许最大内力为对于钢杆允许最大内力为所以杆的最大承受能力是：根据胡克定律。在力的作用下铅杆伸长量为同理钢杆的伸长量为所以总的伸长量8.1.4 电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂.电梯质量为500kg.最大负载极限5.5kN.每根钢索都能独立承担总负载，且其应

3、力仅为允许应力的70%，若电梯向上的最大加速度为g/5,求钢索的直径为多少？将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力为.解 答以电梯和最大负载为物体系，受力由牛顿第二定律：对某根钢索，根据题意8.1.5 (1)矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为.此材料的泊松系数为.求证杆体积的相对改变为 表示原来体积，V表示变形后的体积. （2）上式是否适用于压缩？ （3）低碳钢杨氏模量为，泊松系数，受到的拉应力为，求杆体积的相对改变.解 答（1）设杆长为，横截面积的二边长为。，（为横向应变，为长应变） 拉伸时0， 0 故 （2）压缩时 （3）根据胡克定律 所以 故8.1.6 （1）杆受轴向拉力F，

4、其横截面为S，材料的重度（单位体积物质的重量）为，试证明考虑材料的重量时，横截面内的应力为（2）杆内应力如上式，实证明杆的总伸长量等于解 答 （1）建立坐标系ox如图，在x处 作垂直于ox 轴假想截面s,以s面外侧内力由平衡方程 则 （2）根据胡克定律:则 所以 （为杆长）8.2.1 在剪切材料时，由于刀口不快，该钢板发生了切变。钢板的横截面积为。二刀口间的垂直距离为。当剪切力为时，求（1）钢板中的切应力，（2）钢板的切应变，（3）与刀口相齐的两个截面所发生的相对滑移。已知钢的剪切模量。解 答（1） ， 剪切力。根据切应力定义：钢板中的切应力为 （2）根据剪的胡克定律钢板的切应变（3）根据剪切应变的定义，则8.3.1 一铝管直径为4cm，壁厚1mm，长10m，一端固定，而另一端作用一力矩，求铝管的扭转角。对同样尺寸的钢管在计算一遍。已知铝的剪切模量，钢的剪切模量为解 答设管直径为D，壁厚为d，管长为，外力矩为M。根据切应力的定义，注意到有：切应力 根据剪切的胡克定律则扭转角 （1）对于铝管取得：（2）对于钢管取得：8.3.2 矩形横截面长宽比为2:3的梁，在力偶矩作用下发生纯弯曲。各以横截面的长和宽作为梁的高度，求同样力偶矩作用下曲率半径之比。解 答设梁横截面长为宽。根据公式有 ，所以 8.3.3 某梁发生纯弯曲，两长度为L，宽度为b，厚度为h，弯曲后曲率半径为R，材料杨氏模量