第六节(简单的三角恒等变换

1、第六节简单的三角恒等变换知识能否忆起半角公式(不要求记忆)1用cos 表示sin2，cos2，tan2.sin2；cos2；tan2.2用cos 表示sin，cos，tan.sin ；cos ；tan .3用sin ，cos 表示tan.tan.小题能否全取1(教材习题改编)已知cos ，(，2)，则cos等于()A.BC. D解析：选Bcos ，(，2)，cos .2已知函数f(x)cos2cos2，则f等于()A. BC. D解析：选Bf(x)cos2sin2sin 2x，fsin.3已知tan ，则等于()A3 B6C12 D.解析：选A22tan 3.4._.解析：.答案：5若2 01

2、3，则tan 2_.解析：tan 22 013.答案：2 013三角恒等变换的常见形式三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可三角函数式的化简典题导入例1化简.自主解答原式cos 2x.由题悟法三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，

3、通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等以题试法1化简.解：法一：原式.法二：原式.三角函数式的求值典题导入例2(1)(2012重庆高考)()ABC. D.(2)已知、为锐角，sin ，cos，则2_.自主解答(1)原式sin 30.(2)sin ，cos ，cos()，(0，)，sin()，sin(2)sin()sin cos()cos sin()0.又2.2.答案(1)C(2)由题悟法三角函数求

4、值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角以题试法2(2012广州一测)已知函数f(x)tan.(1)求f的值；(2)设，若f2，求cos的值解：(1)ftan2.(2)因为ftantan()tan 2，所以2，即sin 2cos .又

5、sin2cos21，由解得cos2.因为，所以cos ，sin .所以coscos cossin sin.三角恒等变换的综合应用典题导入例3(2011四川高考)已知函数f(x)sincos，xR.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos()，cos()，0，求证：f()220.自主解答(1)f(x)sincossinsin2sin，T2，f(x)的最小值为2.(2)证明：由已知得cos cos sin sin ，cos cos sin sin .两式相加得2cos cos 0.0，.f()224sin220.在本例条件不变情况下，求函数f(x)的零点的集合解：由(1)知f(x)2

6、sin，sin0，xk(kZ)，xk(kZ)故函数f(x)的零点的集合为.由题悟法三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为yAsin(x)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题以题试法3已知函数f(x)2cos xcossin2xsin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当0，时，若f()1，求的值解：(1)因为f(x)2cos xcossin2xsin xcos xcos2 xsin xcos xsin2xsin xcos xcos 2xsin 2x2sin，所以最小正周期T.(2)由f()1，得2

7、sin1，又0，所以2，所以2或2，故或.解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性(如有界性等)，另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数(二次函数等)最值问题.下面介绍几种常见的三角函数最值的求解策略. 1配方转化策略对能够化为形如yasin2xbsin xc或yacos2xbcos xc的三角函数最值问题，可看作是sin x或cos x的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决典例1求函数y5sin xcos 2x的最值解y5sinx2sin2x5sin x122.1sin x1，当sin x1，即x2k，kZ时，

8、ymin26；当sin x1，即x2k，kZ时，ymax24.题后悟道这类问题在求解中，要注意三个方面的问题：其一要将三角函数准确变形为sin x或cos x的二次函数的形式；其二要正确配方；其三要把握三角函数sin x或cos x的范围，以防止出错，若没有特别限制其范围是1,12有界转化策略对于所给的三角函数能够通过变形化为形如yAsin(x)等形式的，常常可以利用三角函数的有界性来求解其最值这是解决三角函数最值问题常用的策略之一典例2(2012重庆高考改编)设函数f(x)4cossin xcos(2x)，其中0.求函数yf(x)的最值解f(x)4sin xcos 2x2sin xcos x

9、2sin2xcos2xsin2xsin 2x1，因为1sin 2x1，所以函数yf(x)的最大值为1，最小值为1.题后悟道求解这类问题的关键是先将所给的三角函数化为一个角的三角函数问题，然后利用三角函数的有界性求其最值3单调性转化策略借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转化策略对于三角函数来说，常常是先化为yAsin(x)k的形式，再利用三角函数的单调性求解典例3函数f(x)sin在上的最大值为_，最小值为_解析由x，得x.因为f(x)sin在上是减函数，在上是增函数，且f()f，所以当x时，f(x)有最小值为sin.当x时，f(x)有最大值2.答案2题后悟道这类三角函数求最值的问题，主

10、要的求解策略是先将三角函数化为一个角的三角函数形式，然后再借助于函数的单调性，确定所求三角函数的最值4数形结合转化策略对于形如y的三角函数最值问题来说，常常利用其几何意义，将y视为定点(a，b)与单位圆上的点(cos x，sin x)连线的斜率来解决典例4求函数y(0x)的最小值解将表达式改写成y，y可看成连接点A(2,0)与点P(cos x，sin x)的直线的斜率由于点(cos x，sin x)的轨迹是单位圆的上半圆(如图)，所以求y的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小设过点A的直线与半圆相切于点B，则kABy0.可求得kABtan.所以y的最小值为.题后悟道这类三角函数

11、的最值问题，求解策略就是先将函数化为直线斜率的形式，再找出定点与动点满足条件的图形，最后由图形的几何意义求出三角函数的最值1在ABC中，tan B2，tan C，则A等于()A.B.C. D.解析：选Atan Atan(BC)tan(BC)1.故A.2.等于()Asin Bcos Csin Dcos 解析：选D原式cos .3(2013深圳调研)已知直线l: xtan y3tan 0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan()()A B.C. D1解析：选D依题意得，tan 2，3tan 1，即tan ，tan()1.4(2012山东高考)若，sin 2，则sin ()A. B.C. D.解析

12、：选D因为，所以2，所以cos 20，所以cos 2.又cos 212sin2，所以sin2，所以sin .5(2012河北质检)计算的值为()A2 B2C1 D1解析：选D1.6定义运算adbc.若cos ，0，则等于()A. B.C. D.解析：选D依题意有sin cos cos sin sin()，又0，0，故cos()，而cos ，sin ，于是sin sin()sin cos()cos sin().故.7若tan3，则_.解析：tan3，tan .3.答案：38若锐角、满足(1tan )(1tan )4，则_.解析：由(1tan )(1tan )4，可得，即tan().又(0，)，所

13、以.答案：9计算：_.解析：.答案：10已知函数f(x)sin xcos x，f(x)是f(x)的导函数(1)求f(x)及函数yf(x)的最小正周期；(2)当x时，求函数F(x)f(x)f(x)f2(x)的值域解：(1)由题意可知，f(x)cos xsin xsin，所以yf(x)的最小正周期为T2.(2)F(x)cos2xsin2x12sin xcos x1sin 2xcos 2x1sin.x，2x，sin.函数F(x)的值域为0,1 11已知0，tan，cos().(1)求sin 的值；(2)求的值解：(1)tan，tan ，由解得sin .(2)由(1)知cos ，又0，(0，)，而co

14、s()，sin() ，于是sin sin()sin cos()cos sin().又，.12已知sin(2)3sin ，设tan x，tan y，记yf(x)(1)求证：tan()2tan ；(2)求f(x)的解析式解：(1)证明：由sin(2)3sin ，得sin ()3sin ()，即sin()cos cos()sin 3sin()cos 3cos()sin ，sin()cos 2cos()sin .tan()2tan .(2)由(1)得2tan ，即2x，y，即f(x).1(2012郑州质检)已知曲线y2sincos与直线y相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1，P2，P3，则|等

15、于()A B2C3 D4解析：选B注意到y2sincos2sin21cos 21sin 2x，又函数y1sin 2x的最小正周期是，结合函数y1sin 2x的图象(如图所示)可知，|2.2.等于()A. B.C2 D.解析：选C2.3(2012江西重点高中模拟)已知函数f(x)sinsincos 2xm，若f(x)的最大值为1.(1)求m的值，并求f(x)的单调递增区间；(2)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f(B)1，且abc，试判断三角形的形状解：(1)f(x)2sin 2xcoscos 2xmsin 2xcos 2xm2sinm.又f(x)max2m，所以2m1，得m1.由2k2x2k(kZ)得到kxk(kZ)，所以f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)由f(B)1，得2sin11，所以B.又abc，则sin Asin Bsin C，sin Asin，即sin，所以A，C，故ABC为直角三角形1求证：tan .