线性代数自考的知识点汇总情况

1、实用标准文案 行列式 1. 行列式的性质 TD?D .性质1 行列式与它的转置行列式相等 .2 互换行列式的两行（列），行列式变号性质. 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零推论1 abc?b0ac 如abc性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k乘此行列式. aaaaaa131211131211akaka?akaka 如212122232322aaaaaa313333313232推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零 abc?0acb 如 kakbkc性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于

2、两个行列式之和. aaaaaaaaa131213131111121211?aaaaa?aaa?a?aa?a 如 232123222223212221222321aaaaaaaaa333231323131333332性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变. aaaaaa 131211131211aaaaaa? 如232221222321aa?kaakaa?kaaa?3111323331133312322. 余子式与代数余子式 aa的余子阶行列式叫做元素j行和第列划去后，留下来的在n阶行列式中，把元素n-1所在的第iijiji?jM?1)

3、A?(aM的代数余子式式，记作， 叫做元素ijijijij aaa131211 aa1211M?aaaa，的余子式为如，元素 2323212223aa3132aaa333132aa 111232?1)M?A(a. 元素的代数余子式为232323aa3132 精彩文档 实用标准文案 行列式按行（列）展开法则3. 1 定理行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即A?aD?aA?aA?AaA D?a?aA? 或ini1i12ini2injj2jjnj21j1? ni?1,2,n;j?1,2 aaa 131112aaaA?aA?aA?a 如2322211312111311

4、12aaa313332 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即定理2 .?jaA?0i?,aaA?A?aA?0aA?aA? 或,nj2ji11j1ji2jj21jinnjjn2?1,2?n1,2,n;ji? 4. 行列式的计算 aa1211a?aaa （1）二阶行列式21111222aa2221 （2）三阶行列式aaa 131112aaaa?a?aa?aaa?aaaaaaa?aa?aa 232122321321123211211311332233223112232331aaa333132? 11?)?1n(m 222?1)?(? ）对角行列式，（3n12

5、2n1 ? nn aaaa1n111112aaaa21222n22aa?a? 4）三角行列式（ nn1122 aaaa n1n2nnnn aaaa11?1n11n1,n )?1nn(aaaa2n?112,n?212,n aaa(?1)2 n12,n?11n aaaa nnn1n2n1 （5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值. （6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低 行列式的阶数求出行列式的值. （7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值

6、. 精彩文档实用标准文案 矩阵 1. 常见矩阵 1）对角矩阵：主对角线以外的元素全为0的方阵，称为对角矩阵.记作. 2）单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵，称为单位矩阵.记作E. aaa?1n1112?aa?2n22 的方阵.如：对角线以下的元素全为3）上三角矩阵0 ? ? a?nna?11?aa?2221 的方阵.如4）下三角矩阵：对角线以上的元素全为0? ?aaa?n2nnn1TA?Aa?a，则称A，即5）对称矩阵：设A为阶方阵，若为对称矩阵. jiijTa?a?A?A. A为反对称矩阵 A为阶方阵，若，即，则称6）反对称矩阵：设jiijTTEEAA?AA?. 或为阶方阵，如果，则

7、称A为正交矩阵7）正交矩阵：设A 2. 矩阵的加法、数乘、乘法运算 （1）矩阵的加法?cb?a?acbabcab?c? 如?f?defdde?e?efdf?注： 只有同型矩阵才能进行加减运算； 矩阵相加减就是对应元素相加减. （2）数乘矩阵 abckakbkc?k 如?fdekdkekf?注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素. A?(a),B?(b)AB?C?(c), 规定（3）矩阵的乘法：设，nmijnsijsm?ijs?,m,j?1,2,n.)(i?1,2,b?baa?bc?aab? 其中kjjsjikiji1is1ji221k? 注：左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数； cji. 的元素列

8、对应元素乘积的和是矩阵乘积C左矩阵A 的第行与右矩阵B的第ijC的行数，右矩阵B的列数为乘积C的列数的行数为乘积左矩阵A. 如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵（即一个数），即 精彩文档 实用标准文案 b?11?b?21b?aaa?ab?aba s112111s211111121s? ?b? s1 阶方阵，即列矩阵乘行矩阵是sbaabaab?1s111111111112?baababa?1s212121111221bb?b 121s11? ? baabaab? 1ss1s11211s1s1 逆矩阵3. 1?1A?B,BA. ，B都可逆，且阶方阵A、B，若AB=E或BA=E，则An设bab?d?111*?

9、AA?A?. ，则 （两调一除法）（1）二阶方阵求逆，设? cda?cbc?Aad?11?a?a?11?1?aa?22?，（2 ）对角矩阵的逆? ?1?aa?nn1?1a?a?1n?a ?2?. ?1?a 2?1?aa?n1?11?A?A?11?1?AA?22;? ）分块对角阵的逆（3? ?1?AA?ss1?1?A?A?1s?A ?2?. ?1A 2?1?AA?s1?ERT1?A?E?EA. （4）一般矩阵求逆，初等行变换的方法： 方阵的行列式4. A或det（记作A）.AA由阶方阵的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做方阵的行列式. 5. 矩阵的初等变换 下面三种变换称为矩阵的初等行（

10、列）变换： 精彩文档 实用标准文案 . 3）某行（列）的倍数加到另一行（列）（2）数乘某行（列）；（1）互换两行（列）； 初等矩阵6. 单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵000011010?010k0,0010, 如.都是初等矩阵?11100k000? 矩阵的秩7. . ）或r（A.矩阵A的非零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩记作R（A 求矩阵的秩的方法：. 的秩中最高阶的非零子式， 它的阶数即为A（1）定义法：找出AERT?A?）初等行变换法：2（A）=R（行阶梯形矩阵）=非零行的行数. （行阶梯形矩阵，R 8. 重要公式及结论 （1）矩阵运算的公式及结论?BA),B(A?)?(

11、B?A,A?B)?C?A?(B?CA?B?)A()?(BA)B?(AB(AB(A?B)C?AC?BC,)C?A(BC), kkkkk?kkkkkkk?,?A)?AA?E),A?A?E(AA211122211kk?0BA?EA?AE?A,?ABAEAB,?TTT?TTTTTTT?AA?BABA,A?A,A(?B)B?A,?T?T E?ABA?AA?,BAAA,AA n nnT? ,?BAABA,?A?ABAA?A,AB?A?BA,?AB; AB矩阵乘法不满足交换律，即一般地B=C. 可逆时，有B=CAB=AC，无；只有当A矩阵乘法不满足消去律，即一般地若B=O. 或一般地若AB=O，则无A=O2

12、?22B?A?B2AB?A. ）逆矩阵的公式及定理（21?T1?1?1?1?1?11?T?1?1?A?A,A?ABA?ABA?A, ?11?1?n 1?1?1? A,?AAA,?A,A?AAA? A1?k?1?11?k?A?AA,AA?A?AAE（即A|0与单位矩阵EA可逆等价）| （3）矩阵秩的公式及结论 T)?R(A),R(kA)R(A?R(A),k?0m,n)R()R(O?0,A?min,nm? ?B?R?n,BA?R?RA)R(0A?A RABRA RABR B ). ( ) ( ), ( ) ( 精彩文档实用标准文案 特别地，当A可逆时，R(AB)=R(B)；当B可逆时，R(AB)=

13、R(A). ?ETB? R?ARA?B?AB 即等价矩阵的秩相等或初等变换不改变矩阵的秩. 9. 矩阵方程 ?1B?AX A 的解为；n为n阶可逆矩阵，B为m矩阵，则矩阵方程（1）设AX=B 1?1BAA ，再计算求出；解法： ?ERTX?A?BE . ?1X?BA A；矩阵，则矩阵方程XA=B 的解为 n阶可逆矩阵，B为mn（2）设 为?1?1BAA 解法： 求出；，再计算AE?ECT? . ?BX?10. 矩阵间的关系 （1）等价矩阵：如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，那么称矩阵A与B等价. 即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B. 性质：等价矩阵的秩相等. ?1BAP?P,. B相似

14、P（2）相似矩阵：如果存在可逆矩阵，使得那么称A与. 性质：相似矩阵有相同的特征多项式，相同的特征值，相同的行列式，相同的迹TB?PAP. 合同3（）合同矩阵：如果存在可逆矩阵P，使得，那么称A与B. 性质：合同矩阵的秩相等向量空间 1. 线性组合 k成比例与，则称向量（1）若 是任一向量组的线性组合）零向量 （2（3）向量组中每一向量都可由该向量组线性表示 2. 线性相关与线性无关 （1） 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量 （2） 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量 （3） 两向量线性相关当且仅当两向量对应成比例. （4） 两向量线性无关当且仅当两向量不对应成比例. 向量的向量组

15、一定线性相关含有 （5）?,线性相关的充分必要条件是向量组（6） m12?k?k?0k齐次线性方程组 有非零解. 2mm211 ?,m. 以向量组为列作的矩阵 向量的个数n时，m个n维向量一定线性相关. a,a , a（m定理1：向量组 2）线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可 m 2 1 m-1个向量线性表示由其余. 向量组线性无关的充分必要条件是向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示 a,a , aa,a , a线性相关， 定理2：如果向量组A：，线性无关，而向量组r2 1 21 r 可由A线性表示，且表示式唯一则. ?,:,A:,B ，定理3：设向量组m11rr12r2

16、?若A线性相关，则向量组B也线性相关；反之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关. （即部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关）. 定理4：无关组的截短组无关，相关组的接长组相关. 3. 极大无关组与向量组的秩 T r a,a , a 满足条件：定义 中有 1 如果在向量组 个向量 ，1 2 r a,a , a线性无关， 向量组 21 r ?,T?线性相关 . ，r12a,a , aT 的一个极大无关组 . 那么称向量 是向量组 21 r定义2 向量组的极大无关组中所含向量的个数，称为向量组的秩. 定义3 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩。 结论1 线

17、性无关的向量组的极大无关组就是它本身。 rr 个线性无关的向量都是它的一个极大无关组。 ，那么该向量组的任意 结论2 如果向量组的秩是定理1 设向量组A:a,a, ,a；及向量组B:b,b, , b，如果组A能由组B线性表示，且组Asr1212线性无关，则rs. 推论1 等价的向量组有相同的秩. 定理2 矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩. 4. 向量空间 精彩文档实用标准文案 定义1 设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间. 5. 基与向量在基下的坐标 a,a , a 满足条件：设V是向量空间，如果向量组定义2 ，r 21 a

18、,a , a线性无关； 1）向量组 （r 1 2 ?,T?线性相关）. ，（2r12a,a , a是向量空间V的一个基， 那么称向量组基中所含向量的个数称为向量空间V的维 r 1 2数，记作dimV，并称V为r维向量空间 a, a, , aVVx可唯一地表示为基定义3 设向量组 的一个基，则是向量空间中任一向量1 2 r ?a?a?ax?， 的一个线性组合，即 r21r12?,xa, a, , a下的坐标. 为向量 称有序数组在基 r1 2 r12线性方程组 1. 线性方程组解的判定 （1） 线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是它的系数矩阵A和增广矩阵（A,b）的秩相同， 即R（A）=R（A

19、，b）. 当R（A）=R（A，b）=r 方程组AX=b有惟一解的充分必要条件是r=n; 方程组AX=b有无穷多解的充分必要条件是r n. A) R（A，b）. （2） 方程组AX= b无解的充分必要条件是R(2. 齐次线性方程组有非零解的判定 ARA n . 未知量的个数的秩( （1） 齐次方程组AX=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵)（2） 含有n个方程，n个未知量的齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是方程组的系数行A|=0） .（即|列式等于零n， 未知量的个数则方程组有非零解AX=03） 齐次线性方程组中，若方程的个数m（3. 齐次线性方程组解的性质 ?,也是Ax=0是Ax=

20、0 （1）若的解，则的解； 2121?k也是Ax=0的解，则的解. （2） 若是Ax=04. 齐次线性方程组的基础解系与通解 （1） 解空间 齐次线性方程组Ax=0的全体解向量所组成的集合，是一个向量空间，称为方程组 Ax=0 R . xV，即V= x | Ax=0，的解空间记作（2） 基础解系 齐次方程组AX=0的解空间 V 的一个基，称为齐次方程组AX=0 的一个基础解系. 基础解系中解向量的个数是n-r（A）. 精彩文档 实用标准文案 . AX=0的基础解系方程组AX=0的任意n-r个线性无关的解都是?,k?,k?k,. 齐次线性方程组的通解为3）是Ax=0其中的一个基础解系，（rr?1

21、n11n2?22r?n 非齐次线性方程组解的性质5. ?, Ax=0（1）若的解；是是Ax=b的解，则2211x. =0的任意两个解的差必是其导出组A的解即Ax=b ?. （2）若是Ax=b的解，是是Ax=0的解，则Ax=b的解 x. 即Ax=b的任意一个解和其导出组 A的解=0 的任意一个解之和仍是 Ax=b 非齐次线性方程组的通解6.*?kk?k? 的通解为非齐次线性方程组AX=br1n1?r22?n*?,的一个基础解系，其中为对应的齐次线性方程组 Ax=0的任为非齐次线性方程组AX=b r?1n2. 意一个解，称为特解 方阵的特征值 1. 向量的内积yx?11?yx?22?yx?,y?x

22、?xy?xyx,y. 的内积为，则x，y设n21n12? ?yx?nn ?222 xx?xx,x?xx 的长度：（1）向量n121 .是单位向量则xx （2）非零向量的单位化：若向量 0 , x?y?0时,x,y称向量x与. （3正交）当 ）若非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交组（4. ）若正交组中每个向量都是单位向量，则称它为标准正交组（5 正交向量组必线性无关定理1 A A 的列（行）向量都是单位向量且两两正交为正交矩阵的充分必要条件是定理2 （6）施密特正交化过程?, 设是一个线性无关的向量组，321?,a,a321213?,?a?a?,? 正交化：令 ； ?11213232

23、1?,221111?321?,?,ee?e. 单位化：取 312?312 精彩文档实用标准文案 ?,e,ee等价的标准正交组. 则是与3123122. 特征值与特征向量 ? ?E?0A?的根A的特征值是特征方程. （1）方阵（2）三角矩阵和对角矩阵的全部特征值就是它的全部对角元 （3）方阵和它的转置方阵有相同的特征值. ? ?tr?A?A,. A的全部特征值，则，n（4）设是阶方阵n21n112n2即方阵A的对角线上元素之和等于A的全部特征值之和，方阵A的行列式等于A的全部特征值的乘积. ?0fAfAf时，方阵是方阵特别地，当A的. 的特征值（5）若是方阵A的特征值，则?f0的根. 特征值是m

24、m?1m?1?axax?aEf(Aax?af(A)?ax?aA)?A?a?说明：，. m1mm?m11010?m?fA2?A?2Ef. 的特征值，则方阵例如的特征值是是方阵A ?22?3A?A?4f4E?Af?3?的特征值是方阵. 22?0?04?3?A3A?4E?4?1,. 的根，即的特征值是例如若，则方阵A21?不全为零,kP?kPkk,PP的的特征向量，则）设也是都是方阵A的属于同一特征值（62100211122. 特征向量. 7）属于不同特征值的特征向量线性无关（. ）属于不同特征值的线性无关的特征向量的并集仍线性无关（8 方阵的对角化3. 1?APP. ，使得PA与对角矩阵相似，则说A可以对角化即存在可逆矩阵（1）若方阵 .）（是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵 可以对角化的充分必要条件是2（）n阶方阵A 个线性无关的特征向量；A有n 属于每一个特征值的线性无关的特征向量的个数与该特征值的重数相同 阶方阵A的n个特征值互不相等3（）n阶方阵A可以对角化的充分条件是n?BAff. 相似相似，则与A（4）若与B 实对称矩阵的对角化 4. ）实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交（11?APP. （P，使得即存在正交矩阵实对称矩阵一定可以对角化2）. （是以A的n.）个特征值为对角元素的对角矩阵 （3）利用正交矩阵将对