复变函数与积分变换：2.3初等函数_第1页
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文档简介

1、1. 指数函数 2. 三角函数和双曲函数 3. 对数函数 4. 乘幂与幂函数 5. 反三角函数与反双曲函数,2.3 初等函数,本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性,内 容 简 介,一. 指数函数,它与实变指数函数有类似的性质,定义,一. 指数函数,例,定义,这个性质是实变指数函数所没有的,例1,例2,例3,二. 三角函数和双曲函数,推广到复变数情形,正弦与余弦函数的性质,思考题,由正弦和余弦函数的定义得,其它三角函数的定义(详见P51,双曲正弦和双曲余弦函数的性质,三. 对数函数,1) 对数的定义,故,特别,2) 对数函数的性质,见1-

2、6例1,例4,四. 乘幂 与幂函数,乘幂ab,定义,多值,一般为多值,q支,2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a 的 n次根意义一致,1)当b=n(正整数)时，乘幂ab与a 的n次幂 意义一致,解,例5,幂函数zb,当b = n (正整数,w=z n 在整个复平面上是单值解析函数,除去b为正整数外，多值函数， 当b为无理数或复数时，无穷多值,作 业,P66-68： 7, 8, 10, 15, 17,18,第四讲复变函数的积分,3.1 复变函数积分的概念 3.2 柯西-古萨基本定理 3.3 基本定理的推广 3.4 原函数与不定积分 3.5 柯西积分公式 3.6 解析函数的高阶导数 3.7

3、 解析函数与调和函数的关系,第三章 复变函数的积分,1. 有向曲线 2. 积分的定义 3. 积分存在的条件及其计算法 4. 积分性质,3.1 复变函数积分的概念,1. 有向曲线,2. 积分的定义,定义,3. 积分存在的条件及其计算法,定理,证明,由曲线积分的计算法得,4. 积分性质,由积分定义得,例1,解,又解,例2,解,0,0,0,2,0,1,0,1,0,n,n,i,z,z,dz,z,z,dz,r,z,z,n,C,n,p,例3,解,解,例4,分析1的积分例子,3.2 Cauchy-Goursat基本定理,由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的 积分值0的条件可能与被积函数的解析性及解 析区域的单连通有关,先将条件加强些，作初步的探讨,Cauchy 定理,Cauchy-Goursat基本定理,也称Cauchy定理,3)定理中曲线C不必是简单的！如下图,推论 设f (z)在单连通区域B内解析，则对任意 两点z0, z1B, 积分 c f (z)dz不依赖于连接起点 z0与终点z1的曲线，即积分与路径无关,复合闭路定理,3.3 基本定理推广复合闭路定理,证明,B,A,A,E,E,F,F,G,H,说明,此式说明一个解析函 数沿闭曲线的积分， 不因闭曲线在区域内 作连续变形而改变它 的积分值，只要

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