高三第一轮复习正余弦定理教案

1、高三新数学第一轮复习教案正、余弦定理及应用一. 课标要求：(1) 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决 一些简单的三角形度量问题；(2) 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实 际问题。二. 命题走向对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、 三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。今后高考的命题会以正弦定理、 余弦定理为知识框架， 问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、 答题。三.要点精讲1直角三角形中各元素间的关系： 如图，在 ABC中，

2、(1) 三边之间的关系(2) 锐角之间的关系(3) 边角之间的关系a以三角形为主要依托，结合实际应用 填空题，也可能是中、难度的解C = 90, AB = c, AC= b, a2 + b2 = c2。(勾股定理) A+ B= 90;(锐角三角函数定义)b . . asinA = cosB = , cosA = sinB=, tanA =ccb2.斜三角形中各元素间的关系： 如图6-29，在 ABC中，A、B、C为其内角,BC= a。C的对边。B、b、c分别表示A、(1)三角形内角和：A+ B + C =n。sin(A B)sinC cos(AB)cosC(2)a b c形式一： sin A

3、sinBsinC2R(解三角形的重要工具)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。a2Rsin Ab2Rs inB形式二：c2Rs inC(边角转化的重要工具)(R为外接圆半径)(3) 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角 的余弦的积的两倍。圧=c2 + a2 2cacosB; c2 = a2+ b2 2abcosC。形式一：a2= b2 + c2 2bccosA; 潘(解三角形的重要工具)b2 c2 a2c2a2b2a2b2c2形式二：cosA 2bc ； cosB2ca cosC= 2ab(4) 在厶ABC中，熟记并会证明：/ A，/ B，

4、/ C成等差数列的充分必要条件是/ B=60 ; ABC是正三角形的充分必要条件是/A，/ B，/ C成等差数列且 a, b, c成等比数列。3 三角形的面积公式：111亠aha= bhb= chc (ha、hb、he分别表示 a、b、c 上的咼)；22211absi nC= bcs inA =222a sin Bsin C _2si n(B C)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)SA =S =S =S= 2R2sinAsi nBsi nC。辿c ；4R1acsinB;22b sinC sin A = 2si n(C A)(R为外接圆半径)2c sin Asin B2si n(AB)S

5、A=p(p a)(p b)(p c) ; pS= r-p (r为三角形内切圆半径,C)；p为周长之半)4解三角形：由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少 有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以 包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角 形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三 角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形。解斜三角形的主要依据是：设厶ABC的三边为a、b、c,对应的三个角为 A、B、C。(1) 角与角关系：A+B+C = n(2) 边与边关系： a

6、 + b c, b + c a, c + a b, a b c, b c b;(3) 边与角关系：它们的变形形式有：2 2 2si nA aA b c aa = 2R si nA, cosA -sin B b2bc正弦定理余弦定理a b c sin A sinB sin C c2 = a2+b2 2bccosC,2R (R为外接圆半径);b2 = a2+c2 2accosB, a2 = b2+c2 2bccosA;余弦定理判定法：如果 c是三角形的最大边，则有:a2+ b2c2=.三角形ABC是锐角三角形a2 + b2 v c2、=-三角形ABC是钝角三角形 a2+ b2=c2 O 三角形AB

7、C是直角三角形四典例解析题型1:正、余弦定理例 1 (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00 , B 81.8, a 42.9 cm,解三角形；(2)在 ABC中，已知a 20cm, b 28 cm, A 40，解三角形(角度精确到1 , 边长精确到1cm)。解析：(1)根据三角形内角和定理，C 180 (A B) 180 (32.0 81.8) 66.2 ；根据正弦定理,asin Bsi nA42.9si n81.8sin 32.080.1(cm)；根据正弦定理,asinCsi nA42.9s in 66.2sin32.0074.1(cm).(2)根据正弦定理,bsinA 28sin40

8、 0.8999.sin B a 20因为 00 v B v 1800,所以 B 640，或 B 1160.当B 640 时，C180 (A B) 180 (400 640)760 ,asinC 20si n760030(cm).当si nA si n40容 13(cm).sin40B 1160 时，00000 asinC18 0 (A B) 180(40116 ) 24 , c sin A点评：应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两 解的情形；(2 )对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。题型2:三角形面积例 2 .在 ABC 中，si nA cos A2 ,

9、AB3,求tan A的值和ABC的面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。si nA cos A .2 si n(A 45 )1sin (A 45 ).22又 0 A 180, A 45150 A 1051 yf3ta nA tan (4 60)2 、3,1梔厂 2 6 si nA sin105 si n(4560 ) sin 45 cos60 cos45 sin604S ABC1 AC AB si nA 丄 232 2解法二：由si nA cosA计算它的对偶关系式sin A cosA 的值。sin A cosA(sin A cosA)22sin AcosA0 A 180 , sin A

10、0, cosA 0.2(sinA cosA)1 2sin AcosAsin A cosA,62+得sin AcosA从而tanA 业cosA2 ；62 ,6以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？题型3:正、余弦定理判断三角形形状例3. (2002上海春，14)在厶ABC中，若2cosBsinA = si门6则厶ABC的形状一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosB = sin ( A+ B) + sin (A B)又 t 2sinAcosB= sinC,sin (A B) = 0 ,. A= B点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径。五.思维总结1. 解斜三角形的常规思维方法是：(1) 已知两角和一边(如 A、B、C),由A+B+C = n求C,由正弦定理求 a、b;(2) 已知两边和夹角(如 a、b、c),应用余弦定理求 c边；再应用正弦定理先求较短 边所对的角，然后利用A+B+C = n求另一角；(3) 已知两边和其中一边的对角(如a、b、A),应用正弦定理求 B