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1、第四节 广义积分初步,定积分存在的两个必要条件,1)积分区间有限,积分区间无限被积函数有界,积分区间有限但被积函数无界,广义积分,无穷积分,瑕积分,2)被积函数有界,一.无穷积分,一.无穷积分,1.定义,设,在,上连续,取,存在,如果极限,则称此极限值为函数,在,上的无穷积分,记作,此时也称无穷积分收敛,否则称无穷,积分发散,即,注,1)无穷积分的几何意义,当,时,表示由曲线,与直线,和,轴所围成的向右无限延伸的,平面图形的面积,2,的敛散,性与,无关,2.定义,设,在,上连续,取,存在,如果极限,则称此极限值为函数,在,上的无穷积分,记作,此时也称无穷积分收敛,否则称无穷,积分发散,即,3.

2、定义,设,在,上连续,同时收敛,如果,则称它们的和为函数,在,上的无穷积分,记作,此时也称无穷积分收敛,否则称无穷,积分发散,和,某个实数,为某个实数,即,例1.讨论广义积分,的敛散性,解,即广义积分收敛,值为,例2.讨论广义积分,的敛散性,解,故广义积分,时收敛,时发散,例3.讨论广义积分,的敛散性,解,而,即,发散,故,发散,例 已知,求常数,的值,1993年考研真题8分,解,由,得,二.瑕积分,二.瑕积分,1.定义,设,在,上连续,且,存在,如果极限,则称此极限值为函数,在,上的瑕积分,记作,此时也称瑕积分收敛,否则称瑕积分,发散,即,2.定义,设,在,上连续,且,存在,如果极限,则称此

3、极限值为函数,在,上的瑕积分,记作,此时也称瑕积分收敛,否则称瑕积分,发散,即,3.定义,设,在,上连续,并且,如果,同时收敛,则称它们的和为函数,在,上的瑕积分,记作,此时也称瑕积分收敛,否则称瑕积分,发散,和,即,例4.讨论广义积分,的敛散性,解,因,故,是瑕点,即广义积分收敛,值为,例5.讨论广义积分,的敛散性,解,因,故,是瑕点,故广义积分,时收敛,时发散,例6.讨论广义积分,的敛散性,解,因,而,发散,故,发散,例7.判定,的敛散性,解,因,故,是瑕点,即瑕积分发散,瑕积分,时收敛,时发散,无穷积分,时收敛,时发散,总结,三,函数,定义 广义积分,是,的函数,称为,函数,性质1,函数是收敛的,性质2,证,性质3,证,性质4,性质5,证,性质6,其中,例7 求,解,例8 求,解,四,函数,定义 广义积分,是,的

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