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文档简介

1、一、第一类换元积分法,二、第二类换元积分法,5.4 换元积分法,引例,一、第一类换元积分法,观察,凑微分,换元,回代,已知,凑微分法,一、第一类换元积分法,第一类换元积分法过程,一、第一类换元积分法,如果f(u)、(x)及(x)都是连续函数 且,证明,只要证明F(x)f (x)(x,设F(u)f(u) 由复合函数求导公式易知,f (x)(x,f(u)(x,F (u)(x,F(x,观察,凑微分,换元,回代,一、第一类换元积分法,第一类换元积分法过程,解,令u2x1,再将u2x1代入上式得,解,令ux23,特殊类型三角函数的积分,形如,1) m, n中有一个为奇数,2) m,n均为正偶数,降幂,解

2、,求,解,求,ln|csc xcot x|C,计算下列不定积分,二、第二类换元积分法,xt23 此时 dx2tdt,设x(t)单调可导 且(t)0 如果f(x)的原函数不易求得 而复合函数f (t)(t)的原函数F(t)易于求得 则有积分法,这是因为 由复合函数求导法则与反函数求导法则,二、第二类换元积分法,求微分,二、第二类换元积分法-根式代换,xt23 此时 dx2tdt,解,设xasint,则dxacostdt 且,二、第二类换元积分法-三角代换,解,设xatan t,则dxasec2tdt 且,ln|secttan t|C1,其中CC1lna,解,设xasec t,则dxasec ttan tdt 且,其中CC1lna,1,一般令,或,2,一般令,或,3,一般令,或,总结例1012，有如下规律：若被积函数含有 如下“根号形式”时,二、第二类换元积分法-三角代换,就有,万能代换常用于三角函数有理式的积分,令,二、第二类换元积分法-万能代换,例13,解法一 ( 用万能代换,解法二 ( 用初等化简,解法三 ( 用初等化简, 并凑微分,解,例 14,当分母次数高于分子次数, 且

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