初二数学下知识点总结与拓展

1、 初二数学（下）知识点总结与拓展 第十六章 分式 一知识框架 二知识概念 1.分式：形如A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式(fraction)。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 2.分式有意义的条件：分母不等于0 3.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。 4.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。 5.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式. 6.分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。 分式的四

2、则运算：7. 1.同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a/cb/c=ab/c 2.异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a/bc/d=adcb/bd 3.分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a/b * c/d=ac/bd 4.分式的除法法则:(1).两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.a/bc/d=ad/bc ；(2).除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:a/bc/d=a/b*d/c

3、8.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 9.分式方程的解法: 去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程); 按解整式方程的步骤求出未知数的值; 验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根). 三、拓展知识点（方法+技巧）： 1.分式是分数的“代数化”，其性质与运算是完全类似的，类比分数学分式是学习分式的重要方法。 2.分式的运算是以分式的基本性质、通分和约分的概念、运算法则为基础，以整式的变形、因式分解为工具。分式的加减运算是分式运算中的重点与难点，怎样合理地通分是化解这一难点的关键，恰当通分的

4、基本策略与技巧有：分步通分；分组通分；先约分再通分；换元后通分等。 就可以将分式化为整式部分与分式部当一个分式的分子的次数高于或等于分母的次数，3. 分的和，这种变形叫拆分变形，这在分式运算中有非常广泛的运用。 4.分式的化简求值： 先化简后求值是解代数式化简求值问题的基本策略，分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类。 给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值，解这类问题，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件，不但要经常用到整式化简求值的知识、方法，而且还要常常用到如下技巧策略：（1）适当引入参数；（2）拆项变形或拆分变形；（3）

5、整体带入；（4）取倒数或利用倒数关系等。 第十七章 反比例函数 一.知识框架 二知识概念 kkk?ok）的函数称为反比例函数。为常数，还可以写成一般地，形如1. 定义：（?y?y xx1? kx?y2. 反比例函数解析式的特征： kk，）等号左边是函数（也叫做比例系数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数y x，且指数为1. 分母中含有自变量k?0 比例系数x的取值为一切非零实数。 自变量函数的取值是一切非零实数。 y3. 反比例函数的图像 图像的画法：描点法 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数） 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线） kk?0x?0k，

6、函数值（反比例函数的图像是双曲线，）中自变量为常数，所?y0y? x以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。 xy?y?x?kkk?0k?0k）上任意（）中比例系数反比例函数 的几何意义是：过双曲线（?y?y xx xk。引 轴轴的垂线，所得矩形面积为y4反比例函数性质： 如下表： k的取值 图像所在象限 函数的增减性 k?o 一、三象限 x 的增大而减小在每个象限内，值随yk?o 二、四象限x 的增大而增大值随在每个象限内，y5.反比例函数解析式的确定利用待定系数（只需一对对应值或图像上一个点的坐标

7、即可求k） 出6“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数k中的两个变量必成反比例关系。 ?y x 三、典型例题： 2?kk?22kxy?的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？】如果函数 【例1k?1k0?0k?）又在）即（【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数，（y?kx?y xk?0可以求出的值第二，四象限内，则 【答案】由反比例函数的定义，得： 1?2?k?2?2k?1?k?1或k?解得 ?2k?0?k?0?k?1 122k?k?21k?kxy?为时函数 ?y x1?yxyxx?x?0?xxy若， ，。的图像上有三点【例2】在

8、反比例函数，?y 221133231x则下列各式正确的是（ A ） y?y?yy?y?yy?y?yy?y?y A D C B213321322113【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。 111， 解法一：由题意得?y?yy? 132xxx132?x?x?0?x?y?y?y所以选，A 3212311解法二：用图像法，在直角坐标系中作出的图像 ?y? xx?x?0?xy?y?y选观察图像直接得到描出三个点，满足A 321231解法三：用特殊值法 1 yy?y?y,?1,y1,?,x?,0?xx?x?令x2,?1x?1?y? 22211331213323n?m1?，那么该

9、相交于点】如果一次函数（）3【例2与反比例函数y，?的图像0m?ymxn? x2直线与双曲线的另一个交点为 （-1,1） 【解析】 1?m?2?3n?m1?m?n?2 ?直线y?mx?n与双曲线y?x相交于，2，?解得 ?2 n?12x?1?m3n?y?2x?1?1?1?直线为y?2x?1,双曲线为y?解方程组? y?x? x?x?1?1得 ?y?1?11?x? 2?2?y?2?2?1?1，?另一个点为? mm?xyAOBRt?在第一象限的交点，且【例4】 如图，在是直线与双曲线中，点?yA xm2S?_4_. 的值是，则AOB? m?my?x?y,x. 与双曲线过点,解:因为直线设点的坐标为

10、?yAA AAxmm?xy. 则有 .所以?xy?m,y AAAAAxA OB?x?x,AB?y?y. 又点在第一象限,所以AAAAA111S?2. 所以而已知.SOB?AB?y?xm AOB?AOB?AA2224m?. 所以 勾股定理第十八章 知识框架一. 知识概念.二 勾股定理：1. 222 b。c如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为，那么a=c222 ，那么这个三角形是直角三角形。=c 如果三角形三边长a,b,c满足ab。勾股定理逆定理： 经过证明被确认正确的命题叫做定理。 2.定理：。如果把其中一个叫做原命题，那么另互逆命题3.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做 一个叫

11、做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）三.应用勾股定理易犯的错误： （1）忽视题目中的隐含条件 例1在RtABC中,a、b、c分别为三条边,B=90,如果a=3cm,b=4cm,求边c的长. 222222,解得3,即=caABC误解:是直角三角形,+4+b=cc=5(cm). 剖析:上面的解法,忽视了题目中B=90,b是斜边的隐含条件. 22222222=7(cm). -3=4-a=b, c=b+ca,B=90:正解 （2）忽视定理成立的条件 例2在边长都是整数的ABC中,ABAC,如果AC=4cm,BC=3cm,求AB的长.误解:由“勾3股4弦5”知AC=4cm,BC=3cm,ABA

12、C,AB=5cm. 剖析:这种解法受“勾3股4弦5”思维定势的影响,见题中有BC=3,AC=4,就认为AB=5,而忘记了“勾3股4弦5”是在直角三角形的条件下才成立,而本题中没有指明是直角三角形,因此,只能用三角形三条边之间的关系来解。 勾股定理是直角三角形具备的重要性质。在学习本章时要在理解勾股定理的前提下，学会利用这个定理解决实际问题。 四.拓展勾股定理的一些证明方法（了解，拓展思维）： 课本的证明1证法）【】（abba aacaabc c ab bccbbb ca aabb 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为做8c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们

13、像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即 11222?4?ab?ca?bab?4? 22222c?ba?. 整理得 ， 证法2邹元治证明 ）【（】1ab 2以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 三点在一C、F、B三点在一条直线上，B、E、A把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 条直线上，C、G、D三点在一条直线上. RtHAE RtEBF, CGDab .BEF AHE = , AHE = 90o AEH + abc. oBEF = 90 AEH + c. oo90o= 90 HEF = 1

14、80H EFGH是一个边长为c的 四边形F2 . 正方形. 它的面积等于cccab Rt HAE, RtGDH HGD = EHA. BabEA, HGD + GHD = 90o . EHA + GHD = 90o , GHE = 90o又 . oo DHA = 90o+ 90= 180?2b?a. 的正方形，它的面积等于是一个边长为a + b ABCD1?22c?ab?4ab? 222ca?b?2 . . 赵爽证明证法3）（【】D 以c为斜，以a、b 为直角边ba）（ 边作四个全等的直角三角形，则每个直角1babc 2 三角形的面积等于. 把这四个直角三FGC 角形拼成如图所示形状.a AB

15、E, Rt DAH RtAEH. HDA = EAB HAD + o，HAD = 90 HAD = 90EAB + o，c2. 的正方形，它的面积等于是一个边长为 ABCDcBa , EF = FG =GH =HE = b . HEF = 90o?2ab?. 的正方形，它的面积等于ab是一个边长为EFGH 1?22ca?b?4?ab 2 . 222a?b?c. 证法41876年美国总统Garfield证明 ）【】（1ab 2. 则每个直角三角形的面积等于为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，以a、b 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. C RtEAD Rt

16、CBE, D ADE = BEC. AED + ADE = 90o, cbc AED + BEC = 90o. a DEC = 180o90o= 90o. DEC是一个等腰直角三角形， abABE12c 2. 它的面积等于又 DAE = 90o, EBC = 90o, ADBC. 1?2ba? 2.是一个直角梯形，它的面积等于 ABCD 111?22c?ba?ab?2 222 . 222a?b?c. 证法5欧几里得证明） 】【（做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CLDE， G交AB于点M，交DE于点 . H AB

17、 = AD， AF = AC， ，FAB = GAC，GAD FAB A 12a 2的面积等于， FABGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， 2a. =矩形ADLM的面积 2b =.同理可证，矩形MLEB的面积 正方形ADEB的面积 的面积+ 矩形MLEB= 矩形ADLM的面积 222222c?b?a?bac. ，即 利用相似三角形性质证明6证法 【（）】Cc，过点b，斜边AB的长为、ABC中，设直角边ACBC的长度分别为a、如图，在Rt. ，垂足是D作CDAB ACB中，在ADC和C ACB = 90ADC = o， BAC，CAD = ba. ACB ADC AB，ADAC = A

18、C c2AB?AC?AD. 即 DAB2AB?BD?BC. ACB ，从而有CDB 同理可证，?222AB?DBAB?AC?BCAD?222c?a?b. ，即 四边形第十九章 一知识框架 二知识概念 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。1.平行四边形定义： 2.平行四边形的性质： 平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。平行四边形的对角线互相平分。 3.平行四边形的判定 ）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（1 ）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2 3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （ ）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （4 三角形的中位线平行于三角形的第

19、三边，且等于第三边的一半。 4.A D 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。5. CB 6.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。AC=BD 7.矩形的性质： 1 矩形判定定理：8. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。. 2.对角线相等的平行四边形是矩形。 3.有三个角是直角的四边形是矩形。 9.菱形的定义 ：邻边相等的平行四边形。 10.菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。 11.菱形的判定定理： 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3.四条边相

20、等的四边形是菱形。 12.S菱形=1/2ab（a、b为两条对角线） 13.正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。 14.正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。 正方形既是矩形，又是菱形。 15.正方形判定定理： （1）邻边相等的矩形是正方形。 （2）有一个角是直角的菱形是正方形。 16.梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 17.直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形 18.等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。 19.等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。 20.等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 三、

21、拓展四边形常见辅助线做法（考试重点）： 1.平行四边形中常用辅助线的做法 平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、 相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： （1）连对角线或平移对角线： （2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形 （3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线 （4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。 （5）过顶点作对角线的垂线，构成

22、线段平行或三角形全等. 2.梯形中常用辅助线的做法 梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有： （1）在梯形内部平移一腰。 （2）梯形外平移一腰 （3）梯形内平移两腰 （4）延长两腰 （5）过梯形上底的两端点向下底作高 （6）平移对角线 ）连接梯形一顶点及一腰的中点。7（ （8）过一腰的中点作另一腰的平行线。 （9）作中位线 当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。 第二十章 数据的分析 一知识框架 二知识概念 1.加权平均数：加权平均数的计算公式。权的理解: