数学概念及其逻辑结构课堂

1、1,中学数学的逻辑基础,数学概念,数学命题,数学推理,数学证明,2,初等数学，即常数的数学，是指形式逻辑的范围,内活动的，至少总的说来是这样。”（恩格斯,中学数学的逻辑基础，主要指形式逻辑，部分地,涉及辩证逻辑,形式逻辑是关于思维形式及其规律的科学。概念,判断、推理是思维的三种基本形式,辩证逻辑是关于思维的辩证发展规律的科学，是,唯物辩证法在思维领域中的应用,3,目标,理解概念的内涵和外延、概念间的关系,掌握概念定义的方法以及概念划分的方法,课题,1,数学概念及其逻辑结构,4,一、概念与数学概念的含义与发展途径,一）含义,概念,是,反映事物本质属性的思维形式,所谓,本,质属性,就是指,可以用来

2、从其他事物中区分这个事物的,特征性质,它构成某种事物的基本特征,只为这类事物所具有,是一种事,物区别于另一种事物的根本依据,数学概念,是反映思考对象在空间形式和数量关系及其模式方面的本,质属性的思维形式,二）产生与发展途径,概念是通过,概括,以及与概括紧密相联系的,抽象,而形成的,数学概念的产生和发展有各种不同的途径,1,从现实模型中直接反映得来，如初等数学中的点、线、面、体,自然数等,2,在原有数学概念的基础上，经过多级抽象和概括而形成，如近,代数学中的群、环、域、空间等,5,3,从数学内部的需要产生出来，例如为了把正整数幂的运算法则,扩充到有理数幂、无理数幂、实数幂，产生了零指数、负整数,

3、指数、分数指数、无理数指数等概念；为了使所有的代数方程,都有解，产生了虚数、复数的概念,4,根据理论上有存在的可能而提出来，例如自然数集、无穷远点,无穷小、圆周率,等,5,从一定的数学对象结构中产生出来的，例如多边形的顶点、对,角线、内角、外角等,注意,1,数学概念,区别于其他领域概念的一个重要特征,是：理想化、多级,抽象,2,在人的意识中形成概念，同,表达它的语言,书写和符号分不开,称表达数学概念的语词为数学概念的名称或术语,6,概念是最基本的思维形式，任何一门学科，都是由一系列,的概念及其体系组成的。如果把人的,思维,比作一个有,机体，那么概念就是这个有机体上,的细胞,每个概念都是以下两者

4、的统一,1,对象或关系的集合,这个概念的外延,2,这个集合所固有的并且只有这个集合才具备的特征,性质,这个概念的内涵,逻辑思维对概念的要求,是：概念必须明确，即弄清一个,概念的内涵是什么，外延有哪些。从质和量两个方面,明确概念所反映的对象,7,二、概念的内涵与外延,一,内涵与外延的含义,概念的,内涵,就是概念所反映的事物的本质属性的总和,概,念的,外延,就是概念所反映的事物的总和,或范围,例如,偶数”这个概念的内涵是“能被,2,整除的整数”这个性,质，外延是“所有能被,2,整除的整数构成的集合,一元二次方程”这个概念的内涵是“只含有一个未知数且未,知数的最高次数是二次的等式”这个性质,其外延是

5、“一切形,a,x,2,b,x,c=0(a,0,的方程的全体,8,二、概念的内涵与外延,概念的内涵与外延明确了,就可以更好地认识概念,把握概,念,否则就会出现错误,例如,若对,算术平方根,这个概念的内涵不明确,往往会出,现如下的错误,2,2,-2,1,1,2,x,x,要对概念加深认识,不仅要明确概念的内涵与外延,还要掌,握概念的内涵与外延之间的关系,9,二）内涵与外延之间的关系,概念的内涵严格确定了概念的外延；反过来，概念的外延完全,确定了概念的内涵。因此，对概念的内涵所作的改变一定,导致概念外延的改变。具体来说即：这两个方面是相互联,系、互相制约的,当概念的内涵扩大时,则概念的外延就缩,小,当

6、概念的内涵缩小时,则概念的外延就扩大。反过来也,一样。内涵和外延之间的这种关系,称为,反变关系,例如,在四边形的内涵中,增加“两组对边分别平行”这个性质,那就得到平行四边形的概念,而平行四边形的外延比四,边形的外延小,在等腰三角形的内涵中减少“有两边相等”这个性质,就,得到三角形的概念,而三角形的外延比等腰三角形的外延,大,注意,只有在改变内涵的过程中,一个概念的外延是另一个概念外延,的子集,的情况下，概念的内涵和外延间才会出现反变关系,10,三）内涵和外延的发展变化,概念不是一成不变的，随着事物的发展变化和人类实践的不断深,入,概念的内涵和外延也会不断地发展变化,例如：角的概念、三角函数的概

7、念、数的概念等,又如,绝对值”符号的概念,它随着数集的扩充,其内容不,断丰富、充实。在有理数集中,规定有理数的绝对值是,一个正,数和零的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,当数集扩展到实数的绝对值除了用语言阐述外,还表示为,0,0,0,0,a,a,a,a,a,a,把数集扩展到复数后,复数的绝对值表示为,bi,a,2,2,b,a,a,b,为实数,在数学教学中，认识概念的内涵与外延必须放在教材和一定的数,学学科体系中,例如，角（平面几何,平面三角,11,三、概念间的关系,我们只研究可比较概念间的关系,所谓,可比较概念,就是指的在,外延上具有某种可比较关,系,的概念,例如，“正数”和“整数

8、”就是可比较的概念,而“正数”和“多边形”就是不可比较的概念,在可比较的概念间，有相容关系和不相容关系,12,一）相容关系,Compatible relation,外延有公共部分的两个概念之间的关系称为相容关系,这两个概念称为相容概念,在相容关系里,又分为同一关系、交叉关系和从属关系,1,同一关系,Identity,外延完全重合的两个概念,A,和,B,之间的关系称为同一关系,13,例如，“直线”与“一次函数的图像”这两个概念，虽然它们,是从不同的角度来说明问题的,但是,它们的外延完全重合,是指,同一类对象,又比如,等腰三角形底边上的中线”与,等腰三角形底边上的,高”；“等边的矩形”与“直角的菱

9、形”；在同一个圆中“直,径”与“最大的弦”等,它们之间的关系都是同一关系,在同一个思维过程中,具有同一关系的两个概念可以相,互代替使用,14,2,交叉关系,Intersection,外延只有一部分重合的两个概念,A,和,B,之间的关系，称,为交叉关系,这两个概念称为交叉概念,例如,等腰三角形”与“直角三角形”、“负数”与“整,数”、“菱形”与“矩形”等概念之间的关系都是交,叉关系。具有交叉关系的两个概念是可以互相说明的,但是,必须用“有些”两字来限制,否则就错了。例如,我们可以说“有些整数是负数”，也可以说“有些负,数是整数”；却不能说“整数是负数,也不能说“负,15,3,从属关系,Inclu

10、sion,如果,A,概念的外延包含,B,概念的外延,那么这两个概念,间的关系称为从属关系,其中,A,概念叫做,B,概念的属概念,或,上位概念,B,概念叫做,A,概念的种概念,或,下位概念,16,例如,复数”、“实数”、“有理数”、“整数”它们之间的关系,是从属关系,复数”、“实数”、“有理数”都是“整数”的属概念,整数”的三个属概念中，其内涵与整数概念之差最小的是“有,理数”，我们称“有理数”为“整数”的最邻近的属概念,注意一,属、种概念具有相对性,例如,对“整数”来说，“有理数”是属概念,对“实数”来说，“有理数”是种概念,注意二,要区分从属关系和全体与部分的关系。有的概念之间既有,从属关系

11、又有全体与部分的关系。有的却不然,例如,对数”与它的“首数”、“尾数”之间的关系是全体与部分,的关系，但不是从属关系,17,二）不相容关系,Exclusive relation,外延互相排斥,没有公共部分,的两个概念之间的关系称,为不相容关系,这两个概念称为不相容概念。不相容关,系分为对立、矛盾关系两种,1,对立关系,反对关系,Contrariety,如果某一概念的两个种概念,A,和,B,其外延是互相排斥的,且这两个种概念外延之和,小于,它们最邻近的属概念的外延,那么这两个种概念,A,和,B,之间的关系,称为对立关系,这两个种概念称为,对立概念,18,例如,正数”与“负数”是对立关系的两个概念

12、,因为它,们的外延互相排斥,其外延之和小于它们最邻近的属概,念“实数”的外延,又如,大于”与“小于”,锐角三角形”与“钝角三角形”,质数”与“合数”,等腰梯形”与“直角梯形,等概念的关系都是对立关系,19,2,矛盾关,系,Contradiction,如果某一概念的两个种概念,A,和,B,其外延是相互排斥的,且,这两个种概念外延之和等于它们最邻近的属概念的外,延,那么这两个种概念,A,和,B,之间的关系称为矛盾关系,这两个种概念称为矛盾概念,例如,负数”与“非负数”、“实数”与“虚数”、“有,理数”与“无理数”、“直角三角形”与“非直角三,角形”、“相等”与“不相等”等概念之间的关系都,是矛盾关

13、系,20,掌握了概念间的关系,有助于加深理解概念,正确地使用,概念,避免出现概念或判断上的逻辑错误,例如,因为数,a,不是正数,所以数,a,一定是负数,这一论断,是错误的。因为“正数”与“负数”是对立的概念,不,是矛盾的概念,在实数的外延中除了正负数外,还有数,零。又如,a,不大于,b,即,a,b,这是错误的。因为“不,大于”与“小于”不是矛盾关系,21,四、概念的定义,一）什么是定义,定义,是,揭示概念内涵的逻辑方法,即列举概念的充分和必,要的属性，并把它们总结成一个连贯的句子（语句或,用符号表示的句子,定义中的每一个属性对于确定的概念来说，都应当是必要,的，而所有属性加到一起应当是充分的,

14、定义应当揭示概念的基本内涵，它不应当有多余的词，也,不应当有遗漏。例如,正方形是,四个角都是直角的平行四边形,有一个,角是直角的菱形,各边相等而且四个都是直角的平行四边形,在定义某概念的过程中得到的一串概念，从第二个起，每,一个都是前一个的种概念，这样追到了初始概念：不定义,概念,22,二）定义的构成与形式,1,定义的构成,被定义的概念,下定义的概念,联系词,被定义的概念,是其内涵被揭示的概念,而,下定义的概念,是用以揭示被定义概念内涵的概念,联系词,一般使用,是,叫做,表示被定义概念和下定义概念之间的内在联系,其,作用是把被定义概念和下定义概念联系或组织起来,例如,邻边相等的矩形是正方形”是

15、正方形的一种定,义,在这个定义中,正方形”是被定义概念,邻边相等的矩,形,23,2,定义的形式,注：定义的表达形式也有多种情况，除了上述,DP,叫做,DS,其他如,DS,就是,DP,DS,等,于,DP,DS,当且仅当,DP,DP,叫做,DS,DP,称为,DS,等等。例如：平行四边形就是两组对,定义项,D,p,被,定,义,项,D,s,定,义,联,项,叫做,24,二,给数学概念下定义的方法,1.“属,种差”式定义,给数学概念下定义常用“属（类,种差”的方式，即实,质定义。其公式为,属（类,种差,被定义项,例如,邻边相等,的,平行四边形,叫做,菱形,按一定顺序排列,的,一列数,叫做,数,列,无限不循

16、环,的,小数,叫做,无理数,由此可见，用属加种差下定义，需要做好两方面的工,作,一是找出被定义概念的最邻近的属,二是确定种差，即找出被定义概念与同一属中其他种概念之,间的差别,25,以事物的发生和形成过程作为种差,2,发生式定义,平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆,我们在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平,面直角坐标系,发生式定义通过描述被定义概念所反映对象的产生或形成过,程的特征来揭示被定义概念本质属性的定义方法,以事物间的关系作为种差,3,关系式定义,能被,2,整除的数叫做偶数,经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆,以事物的本质结构作为种差,4,形式式定义,形如,y=ax

17、,2,bx+c,其中,a,b,c,是常数,a,不等于,0,的函数叫做二次函数,26,5,外延式定义,有理数和无理数统称实数,圆、椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线,6,约定式定义,对于非零实数,a,及正整数,n,规定,a,0,1,a,n,1a,n,a,0,a,n,分别叫做零次幂和负整数指数幂,7,递归式定义,对一切自然数,n,均有,a,n,a,n-1,d,d,是常数）成立，这个,数列称为等差数列,8,公理式定义,9,通过抽象（或称描述式定义,27,在一个科学系统中每给一个概念下定义,都要用一些已知,的概念来定义新概念,这样就构成一个概念的序列。可,是概念的个数是有限的,所以在这个概念的序列中总

18、有,一些概念是不能引用别的概念来定义它的,这样的概念,叫做在这个科学系统中的,原始概念,例如,数学中的数,量、点、直线、平面、集合、对应,在科学中,原始概念是不予定义的,它们的本质属性通过公,理加以规定,但在学科中,常用直观描述性的方法对原,始概念加以解释,目的是使学习者心领神会,留下鲜明,的印象。例如,用拉紧的细绳和由小孔射入的光线来建,立直线形象,把由确定的事物组成的整体称做集合,都,不是下定义,而是一种帮助学习者领会的直观描述。在,逻辑推理中这种描述是不起任何作用的,28,三）下定义的基本要求,1,定义应当相称,所谓定义相称就是定义概念的外延和被定义概念的外延,必须相等,例如,含有未知数

19、的等式叫做方程,带根号的数是无理数。,定义过宽,就是定义概念的外延大于被定义概念的外,延,例如,有一组对边平行的四边形叫作梯形,不相交的两条直线叫作平行线,定义过窄,就是定义概念的外延小于被定义概念的外,延,例如,开不尽的方根叫作无理数,正数的正的平方根叫作算术根,29,2,定义不能循环,即定义概念不能直接或间接包含被定义概念,循环定义常有以下两种情况,恶性循环,在一个科学系统中,如果把概念,A,作为已知,的概念来定义概念,B,但又用概念,B,来定义概念,A,这种,逻辑错误叫做定义恶性循环,例如,乘方运算的结果叫作幂，求幂的运算叫作乘方,词语反复,用被定义概念的简单重复来定义被定义的,概念，即

20、用自身定义自己,例如,互质数就是互为质数的数,两条直线所成的角叫作两条直线的夹角,30,3,定义必须简明、确切,定义须简明，即在定义中不要包括多余的词语；定义应当确切,即定义概念中不能应用比喻或含混不清的词,例如：”有一个角是直角，其他两个角是锐角的三角形叫作直角三,角形,对边平行且相等的平面四边形是平行四边形,两组边相等的四边形是平行四边形,无穷小是很小很小的数,像满月一样的图形叫作圆,定义一般不用否定形式,定义一般应揭示出被定义概念所反映的事物具有什么本质属性,而不是指出事物不具有什么本质属性,例如,不是有理数的数叫做无理数,不是直角边的边叫作直角三角形的斜边,但是,有些概念的特有属性正是

21、它缺少某种属性,这时也可以用,否定事物具有某种属性来定义,例如,同一平面内不相交的两条直线叫做平行线,31,五、概念的划分,划分,是揭示概念外延的逻辑方法。也就是通过把一个属概,念分为若干个种概念来明确概念的逻辑方法。是从概,念的外延方面明确概念的逻辑方法,通过对概念正确的划分,可以更深刻地理解概念，更系统,地掌握概念,32,一）划分的要素,一个正确的划分,通常由三个要素构成,即母项、子项,和划分的依据。母项是划分的属概念,子项就是划分所,得的种概念,划分的依据就是划分时所依据的标准,例如，按角的性质，”三角形”可以划分为,锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,或者：直角三角形、斜三角形,按边的

22、相等关系，”三角形”可以划分为,等腰三角形、非等腰三角形,33,二）划分的类别,划分有一次划分、连续划分和二分法等基本形式,1,一次划分,只包括母项和子项两个层次的划分称为一次划分。例如，根据,奇偶性,整数,划分为,奇数,和,偶数,在划分一次以后已达到划分的目的,不需要再继续划分,这时就,用一次划分,2,连续划分,包括母项和子项三个层次以上,的划分,即把一次划分得出的,子项作为母项,继续划分子项,直到满足需要为止,例如,整数,有理数,分数,正整数,零,负整数,正分数,负整数,34,3,二分法,它是每次划分后所得的子项总是两个矛盾概念的划分法,例如,用二分法对,复数,划分,正无理数,负无理数,纯

23、虚数,非纯虚数,虚,数,正有理数,非,正,有,理,数,正整数,正分数,零,负有理数,负整数,负分数,复,数,实,数,有,理,数,无,理,数,35,二分法常用于以下两种场合,一是不需要了解被划分概念的全部外延性质时,二是被划分的概念的外延尚未完全弄清时,二分法是一种简便易行、不易发生错误的划分方,法,这又是它的优点,但是，这种划分方法总有一部分外延不能明确地,显示出来,这是它的缺点,36,三,划分的规则,1,划分应是相称的,即划分后各个子项外延的总和应当与母项的外延相等，而且各个子,项之间互不相容。违反这一规则会犯,多出子项,或,不完全划,分,的逻辑错误。例如,A.,自然数,划分为,质数,与,合

24、数,B.,梯形,划分为,等腰梯形,不等腰梯形,和,平行四边形,以上两例的划分都是不相称的,A,中划分后的质数与合数的外,延之和小于自然数的外延,因为自然数还包括,1,而,1,既不是,质数也不是合数。犯了,不完全划分,的逻辑错误,B,中划分后各个概念的外延之和大于被划分的概念的外延。因,为平行四边形不是梯形,犯了,多出子项,的逻辑错误,37,2,每一次划分只能用一个根据,由于实际的需要不同,划分的根据也就不同。但每次划分,不能交叉地使用几个不同的根据,只能用同一个根据,遵循相同的标准进行划分。否则划分的结果就会混乱,不清,达不到划分的目的,例如,把,三角形,划分为,等边三角形,等腰三角形,钝角三

25、角形,这个划分是不正确的,因为这个划分中用,了边、角大小的两个不同的根据。这就犯,标准不同,一,的逻辑错误,38,3,划分的子项必须互相排斥,划分后所得的子项的外延不允许交叉、重叠，否则,就会,对概念的认识更加模糊,上例中,把,三角形,按边、角的大小划分为三类,就犯了,子项相容,的逻辑错误,又如,平行四边形,划分为,正方形,菱形,邻边不等,的矩形,因为正方形是菱形,这个划分也犯了,子项相容,的错误,而,且还漏掉了,邻边不相等的平行四边形,39,4,划分不能越级,在每次划分中,被划分的概念与划分出来的概念必须具有,最邻近的属种关系,不能越级或跳跃式的划分。划分应,当按照被划分概念所反映的对象具有

26、的内在层次逐一,地进行,例如,把实数,划分为,整数,分数,无理数,就犯了,越级划分,的逻辑错误,因为整数和分数与实数不是最邻近的各类关系,40,问题与思考,1,何谓数学概念,数学概念的作用是什么,2,什么是数学概念的内涵和外延,指出下列数,学概念的内涵和外延,1,函数,2,根式,3,无理式,4,圆,5,方程,6,菱形,7,绝对值,3,举例说明概念的内涵和外延间的“反变关系,4,举例说明种概念和类概念之间具有相对性,41,问题与思考,5,概念之间的关系可分为几种,指出下列每对概念,之间的关系,1,有理式和无理式,2,无理式和根式,3,质数和合数,4,分数和循环小数,5,正数和整数,6,有限小数和有理数,7,无限小数和无理数,8,有理数和无理数,9,自然数中最小的质数和最小的偶数,10,直角三角形和等腰三角形,11,对角线相等的菱形和对角线垂直的矩形,12,直角三角形的外心和斜边上的中点,13,方程和恒等式,14,幂和乘方,15,三角函数和周期函数,42,问题与思考,6,数学中常用的定义方式有哪些,正确的定义要符合哪些,要求,7,下列定义