第六讲解析几何问题的题型与方法

1、第六讲解析几何问题的题型与方法一、考试内容（一）直线和圆的方程直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式，直线方程的一般式。两条直线平行与垂直的条件，两条直线的交角，点到直线的距离。 用二元一次不等式表示平面区域，简单的线性规划问题。曲线与方程的概念，由已知条件列出曲线方程。圆的标准方程和一般方程，圆的参数方程。（二）圆锥曲线方程椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆的参数方程。双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质。抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质。二、考试要求（一）直线和圆的方程1 理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、 两点式、一般式，并

2、能根据条件熟练地求出直线方程。2 掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够 根据直线的方程判断两条直线的位置关系。3了解二元一次不等式表示平面区域。4了解线性规划的意义，并会简单的应用。5了解解析几何的基本思想，了解坐标法。6 掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。（二）圆锥曲线方程1 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。2 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。3 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。4 了解圆锥曲线的初步应用。三、复习目标1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线

3、的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当 的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的 方程来研究与直线有关的问题了2. 能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法 解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用； 会用线性规划方法解决一些实际问题3. 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求 曲线的方程的方法4掌握圆的标准方程：（xa）

4、2+（yb）2 =r2 （r 0）,明确方程中各字母的几何意义,能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐 标和半径，掌握圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0 ,知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解 圆的参数方程 x =rcosB为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的y = r sin -71判定方法5正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双 曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程； 能根据条件，求

5、出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何 性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地 画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问 题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线 和抛物线位置关系的判定方法四、双基透视高考解析几何试题一般共有4题（2个选择题，1个填空题，1个解答题），共计30分左右,考查的知识点约为 20个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填 空题考

6、查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥 曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲 线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。（一）直线的方程1点斜式：yyt=k（xxj ； 2.截距式：y = kx b ；3. 两点式：丄士； 4.截距式：x =1 ；y2 yi X2 X1a b5. 一般式：AxBy =0，其中A B不同时为0.（二）两条直线的位置关系两条直线h , I2有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点） 重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点

7、研究平行与相交设直线 11 : y = ki x + bi，直线 l2 : y = k2 x + b2，贝Uli / I2的充要条件是k1 = k2，且bi =b2; h丄12的充要条件是k1 k2 =-1.（三）线性规划问题1 线性规划问题涉及如下概念：存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.都有一个目标要求，就是要求依赖于x、y的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是 x、y的一次解析式，就称为线性目标函数.求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解（

8、x, y）叫做可行解.所有可行解组成的集合，叫做可行域使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解2 线性规划问题有以下基本定理：一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形凸多边形的顶点个数是有限的 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到3.线性规划问题一般用图解法 (四) 圆的有关问题1. 圆的标准方程(xa)2+(yb)2 =r2 (r 0),称为圆的标准方程，其圆心坐标为(a, b),半径为r.特别地，当圆心在原点(0, 0),半径为r时，圆的方程为x2 yr2.2. 圆的一般方程x2 y2 Dx Ey 0 ( D2 E2 -4F

9、 0)称为圆的一般方程，其圆心坐标为(；,-E ),半径为r =1 Jd2 +E2 4F .当D2E2_4F=o时，方程表示一个点(-P，-旦);当D2 E2 -4F v 0时，方程不表示任何图形 .3. 圆的参数方程圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：x2 y2 =r2 = x = r cos二(0为参数)y = r sin 0(xa)2 (y_b)2 =r2 = x = a r cos r( 0 为参数)= b + r sin 日(四) 椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点 F,、F2的距离的和大于IRF2I 这个条件不可忽视.若这个距离之和小于| R F2

10、 |，则这样的点不存在；若距离之和等于I F! F21，则动点的轨迹是线段R F2.2 2 2 22. 椭圆的标准方程：务+与=1( a b 0),与+牛=1 ( a b 0).a ba b3. 椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果x2项的分母大于y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在 y轴上.4. 求椭圆的标准方程的方法： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(五) 椭圆的简单几何性质2 21. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为x2 y2 =1 ( a b 0).a b 范围：-a w x a, -b x b 0)的准线有两条，它们的方程

11、为 a b2X= a .对于椭圆cx换成y就可以了，即2 2占 b 0)的准线方程，只要把a b2y = a-.c点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径3. 椭圆的焦半径：由椭圆上任意2 2设F! (-C, 0), F2 (c, 0)分别为椭圆 笃+爲=1 ( a b 0)的左、右两焦点，Ma b(x, y)是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为MFt = a ex, MF2 =a-ex.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便222c椭圆的四个主要元素 a、b、c、e中有a =b +c、e =-两个关系，因此确定椭圆的 a标准方程只需两个独立条件 .(六) 椭圆的参数方程2 2 椭圆笃再

12、=1 ( a b 0)的参数方程为 x = a cos r ( 0为参数).a by = b sin 日说明这里参数0叫做椭圆的离心角椭圆上点P的离心角0与直线OP的倾斜角a2 2不同：tan 二btan ； 椭圆的参数方程可以由方程笃马 与三角恒等式 aa bcos - sin2v T相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.(七) 双曲线及其标准方程1. 双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a (小于I F1 F21 )的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a v | F, F2|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.

13、若2a=| F1 F2|，则动点的轨迹是两条射线；若2a | F1 F2|，则无轨迹.若MFr v MF2时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若MFr MF2时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2 2 2 22. 双曲线的标准方程：务与=1和 与=1 (a 0, b 0).这里b2=c2-a2 ,a ba b其中丨F1 F2 |=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3. 双曲线的标准方程判别方法是：如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆

14、那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上4. 求双曲线的标准方程，应注意两个问题：正确判断焦点的位置；设出标准方程后，运用待定系数法求解.(八) 双曲线的简单几何性质2 21.双曲线笃一爲=1的实轴长为2a,虚轴长为2b,离心率e=E 1,离心率e越大, a2 b2a双曲线的开口越大22.双曲线笃a2厶 1的渐近线方程为b2y = bx或表示为 a2 x2 a2爲=0.若已知双曲线的b2渐近线方程是y =mx，即mx _ ny =0，那么双曲线的方程具有以下形式：nm2x2 -n2y2 =k，其中k是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的

15、比是一个大2 2于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线笃-爲=1，它的焦点坐标是（-C， a b220 ）和（6 0），与它们对应的准线方程分别是X=-和x=.CC在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有 e=E与c2 =a2 b2的关系，与椭圆一样确定双a曲线的标准方程只要两个独立的条件（九）抛物线的标准方程和几何性质1.抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（I）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点 F叫抛物线的焦点，这条定直线I叫抛物线的准线。需强调的是，点F不在直线I上，否则轨迹是过点 F且与I垂直的直线，而不是抛物线。2抛物线的方程有四种类型：2 2 2 2y

16、2 px、 y 2px、x =2 py、x 2py .对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项 即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向 x轴或y轴的负方向。3抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例（1）范围：x 0;（2）对称轴：对称轴为 y=0，由方程和图像均可以看出；（3） 顶点：0（ 0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；（4） 离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；（5）准线方程x二-卫；2（6）焦半径公式：抛物线上一点 P （x1，y1

17、），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的 焦半径公式分别为（p 0）:y2 = 2 px : PF = Xt p; y2 = -2 px : | PF =卡x2 =2py : PF = y1 -p; x2 二-2 py : PF = -p（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px （ p O）的焦点F的弦为AB，A （x1，y1），B （x2，y2），AB的倾斜 角为a，则有|AB|=x 1+x 2 +p |AB|=- an ot以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。(8 )直线与抛物线的关系：直线与抛物

18、线方程联立之后得到一元二次方程：2x +bx+c=O,当aM0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可； 但如果a=0,则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。(十)轨迹方程 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线(图形或轨迹)五、注意事项1 .直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k反映了直线相对于 x轴的倾斜程度.当斜率k存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a(a R).因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解

19、题时，斜率k存在与否，要分别考虑. 直线的截距式是两点式的特例，a、b分别是直线在x轴、y轴上的截距，因为aM 0,bm 0,所以当直线平行于 x轴、平行于y轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程， 而应选择其它形式求解求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式当直线h或12的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直 在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的 运用，这样可以简化计算2用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在 x轴上还是y轴上，还是两种 都存在注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行a、b、c、e间的互求，并能根据所给

20、的方程画出椭圆求双曲线的标准方程应注意两个问题：正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解2 2 2 2双曲线 爲一与=1的渐近线方程为 y = _bX或表示为 二壬 =0.若已知双曲线的a baa b渐近线方程是y =mx，即mx _ny =0，那么双曲线的方程具有以下形式：nm2x2 n2y2 =k，其中k是一个不为零的常数.2 2 2 2双曲线的标准方程有两个 笃-召 1和 占-笃=1(a 0, b0).这里b2 =c2 -a2 , a ba b其中I Fi F2|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准

21、方程的类型，再求抛物线的 标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p的值.同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方 程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个六、范例分析例1、求与直线3x+4y+12=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程。分析：满足两个条件才能确定一条直线。一般地，求直线方程有两个解法，即用其中 一个条件列出含待定系数的方程，再用另一个条件求出此参数。解法一：先用“平行”这个条件设出I的方程为3x+4y+m=0再用“面积”条件去求m,：直线i交x轴于a(m，o)，

22、交y轴于b(，-由入得所求直线的方程为：3x 4y _24 =01mm234=24，得 m=24，代解法二：先用面积这个条件列出I的方程，设I在x轴上截距离a,在y轴上截距b,则有1 ab =24，因为|的倾角为钝角，所以 a b同号，|ab|=ab, I的截距式为-1，2 a 482即48x+a y-48a=0又该直线与3x+4y+2=0平行,求直线I的方程为3x，4y_24 =0说明：与直线Ax+By+C=0平行的直线可写成 直的直线的方程可表示为Bx-Ay+C 2=0的形式。248 a 48a3 一 42 a = _8代入得所Ax+By+C 1=0 的形式；与 Ax+By+C=0 垂例2

23、、若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中 A(-2, 3), B(3,2), 求实数m的取值范围。解：直线mx+y+2=0过一定点 C(0, -2),直线 mx+y+2=0实际上表 示的是过定点(0, -2)的直线系，因为直线与线段 AB有交点，则直线只 能落在/ ABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别为 匕、k2, 则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率k应满足k k1或k 或-m -即 mW 4 或 m3 23232说明：此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率-m应为倾角的正切，而当倾角在(0 ,90 )或(90 ,180 )

24、内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在/ ACB内部变化时，k应大于或等于kBc,或者k小于或等于kAc, 当A、B两点的坐标变化时，也要能求出 m的范围。例3、已知x、y满足约束条件x1,-x-3y W -4 ,3x+5yw 30,求目标函数z=2x-y的最大值和最小值. 解：根据x、y满足的约束条件作出可行域，即 如图所示的阴影部分(包括边界) 作直线l0 : 2x-y=0，再作一组平行于 l0的直线I : 2x-y=t , t R 可知，当I在I。的右下方时，直线I上的点(x, y) 满足2x-y 0,即t 0,而且直线I往右平移时，t 随之增大当直线I平移至I1的位置时，直线经过

25、可 行域上的点B,此时所对应的t最大；当I在|0的左 上方时，直线I上的点(x, y)满足2x-y v 0, 即卩tv 0，而且直线I往左平移时，t随之减小当直线I平移至I2的位置时，直线经过可行域上 的点C,此时所对应的t最小.x-3y+4=0,由 3x+5y-30=0 解得点B的坐标为(5, 3);x=1由3x+5y-30=0,解得点C的坐标为(1, 27).52717所以，z最大值=2 X 5-3=7 ; Z最小值=2X 1-=.55例4、某运输公司有10辆载重量为6吨的A型卡车与载重量为 8吨的B型卡车，有11 名驾驶员在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬运480吨沥青的任务已

26、知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车7次；每辆卡车每天的成本费A型车350元，B型车400元问每天派出A型车与B型车各多少辆，公司所花的成本费最低，最低为 多少？解：设每天派出A型车与B型车各x、y辆，并设公司每天的成本为z元.由题意，得x yx+y *48x+56yx W 10,W 5,w 11, 60,y n,且 z=350x+400y.xy即 4+y6x+7yxw 10,W 5,w 11, 55, 从,y n,121086I4I 02Ox+y=116x+7爲逐乂8 B10x=10 W246、7x+8y=0y=512 x作出可行域，作直线|0: 350x+400y=0，即7x+

27、8y=0.作出一组平行直线：7x+8y=t中(t为参数)经过可行域内的点和原点距离最近的直线， 此直线经过6x+7y=60和y=5的交点A ( 25 , 5),由于点A的坐标不都是整数，而x, y N,6所以可行域内的点 A(空,5)不是最优解.为求出最优解，必须进行定量分析6因为，7X +8X 5-69.2 ,所以经过可行域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)6且与原点最小的直线是7x+8y=10 ,在可行域内满足该方程的整数解只有x=10, y=0,所以(10 , 0)是最优解，即当l通过B点时，z=350 X 10+400 X 0=3500元为最小.答：每天派出A型车10辆不派B型车，

28、公司所化的成本费最低为3500元.廿.f J厂飞卡2Bl C-l,0)oT (1,0)X例5、已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0t1),以AB为直腰作直角梯形 AA B B，使AA 垂直且等于 AT,使BB 垂直且等于 BT , A B 交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系 (1) 写出直线 A B 的方程；(2) 计算出点P、Q的坐标；(3) 证明：由点 P发出的光线，经 AB反射后，反 射光线通过点Q.解：(1 )显然A 1,1 -t , B -1,1 t ,于是直线A B的方程为y = -tx 1 ;2 2x y = 1,y - -tx - 1,2t 1

29、- t2(2)由方程组丿解出 P(0,1)、Q(2 ,1：2)；1 + t 1 十 t(3)k pt1 _0_10 -t一tk QT1 -t20二 1 t 一亠-t1 - t21 t2二 t(1 t2) t由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，射光线通过点Q.说明：需要注意的是，Q点的坐标本质上是三角中的万能公式2 2例6、设P是圆M : (x-5) +(y-5) =1上的动点，它关于 A(9, 0)的对称点为 Q,把P绕原 点依逆时针方向旋转 90到点S,求|SQ|的最值。解：设P(x, y)，则Q(18-x, -y)，记P点对应的复数为x+yi，贝U S点对应的复数为：(x+yi)

30、 i=-y+xi ,即卩 S(-y, x)|SQ|=. (18-x y)2(_yx)2182 x2 y2 . x2仝2、.(x -9)2 (y 9)2其中,.(x-9)2 (y 9)2可以看作是点P到定点B(9, -9)的距离，共最大值为|MB| r=2.53 - 1最小值为 | MB | J =2i53 -1，则 |SQ|的最大值为 2.1062 , |SQ|的最小值为 2 . 106 . 2例7、已知O M : x2(y 2)2 =1,Q是x轴上的动点，QA , QB分别切O M于A , B两 42点，(1)如果|AB匚，求直线MQ的方程；(2)求动弦AB的中点P的轨迹方程3解：(1 )由

31、 |AB 匸年，可得 |MP | 二 | MA |2 -(由点 P发出的光线经点T反射，反,有趣吗？2 2 2-36x 36y -2xy x y 2xy2y -18x 18y 81 81/u2 /2 |M沁0|AB|)2 = .12_(22)2由射影定理，2.33得 |MB |2 斗 MP | | MQ 得 | MQ |=3,在 Rt MOQ 中， |0Q| =| MQ |2 -|MO |2 =小32 -22 =目5，故 a5或a - - 5 ,所以直线 AB方程是2x5y -5 =0或2x 5y 2.0;(2)连接 MB，MQ，设 P(x, y), Q(a,0),由 点M, P, Q在一直线

32、上，得 =,(*)由射影定理得|MB|ax即.x2 (y -2)2 a2 4 =1,(*)把(*)及(* )消去 a， 并注意到 y ：: 2，可得 x2 (y-7)2 1 (J 2).4 16说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。例8直线l过抛物线y2=2px(p=0)的焦点，且与抛物线相交于 A(X1,yJ和B(X2,y2)两点 (1)求证:4x1X2 二 p2;(2)求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.2解：(1)易求得抛物线的焦点f(Po).若I丄x轴，则I的方程为x = P显然X1x2=P 2 2 4 若I不垂直于x轴，可设y二k(x

33、P)，代入抛物线方程整理得222PP2曲P2x -P(12)x0,则为比:k 44(2)设 C(,c), D(* ,d)且c =d ,2p2p综上可知4%x2二p2.cd的垂直平分线的方程为y c d亠c y(x J 叫2 2p4p假设过F,2 2c J)整理得(c d)(2p2 c2 d)=0 ； p=0 4p则 0 c d = c d(P22p 2-0,. c d =0.y=0,从而与抛物线.2p2 -c2 -d2y2 =2px只相交于原点.而I与抛物线有两个不同的这时I的方程为 交点，因此丨与I不重合，I不是CD的垂直平分线 说明：此题是课本题的深化，课本是高考试题的生长点，复习要重视课

34、本。2 2例9、已知椭圆 - 1,能否在此椭圆位于 y轴左侧的部分上找到一点 M,使它到43左准线的距离为它到两焦点Fi、F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。 1 a=2，b=3，c=1， r,2 2 2 1 2IMF1I |MF2|=(a exj(aex =a -e捲 =4 捲，点M到椭圆左准线的距离 4 1 2 2=X1 4 , .12 二d, . 4X1(X1 4) ,42.,ad =捲c125，例10、Xi25x132为 48 =0 ,人=_4或这与X1 -2 , 0)相矛盾，满足条件的点 M不存在。已知椭圆中心在原点，焦点在 y轴上，焦距为4，离心率

35、为-,3(I)求椭圆方程；(n)设椭圆在y轴正半轴上的焦点为 M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段 AB 所成的比为2，求线段AB所在直线的方程。22c 2爲笃=1，由2c=4得c=2，又一=一a2 b2a 32 2=5 所求的椭圆方程为 J上 195解：(I)设椭圆方程为2 2故 a=3, b =a2 -C解：假设存在满足条件的点， 设M (xi, yi) a2=4, b2=3,(n)若k不存在，则=2，若k存在，则设直线 AB的方程为：y=kx+2MBy =kx 2又设 A(X1y1)B(x2,y2)由x2y2 ，得(9+5k2)x2+20kx 25 =015 9XiX2叫IIIX1

36、X2苓川9 5K29 5K2点 M 坐标为 M (0, 2) AM =(-x2-yj MB 二也心 一2)am-由2 得 AM =2MB(-x2 丫勺)=2(x2, y22)MB为- -2x2代入、得x2二20k 9 5k22x；由、得2( 20k 2)2 =9 +5k线段AB所在直线的方程为:259 5kV3yx 2-3线段的定比分点等概念，本身就是解析几何研究的一类重 要问题。向量概念的引入，使这类问题的解决显得简洁而流畅。求解这类问题可以用定比说明：有向线段所成的比,分点公式，也可以直接用有向线段的比解题。另外，向量的长度，点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系，向量与解析几何 的结合

37、，为解决这些问题开辟了新的解题途径。2 2例11、已知直线l与椭圆x2 - y2 =1(a b 0)有且仅有一个交点 Q,且与x轴、y轴分 a b别交于R、S,求以线段SR为对角线的矩形 ORPS的一个顶点P的轨迹方程. 解：从直线l所处的位置，设出直线l的方程，由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线 I的方程为y =kx m(k =0). 代入椭圆方程b2x2a2y2a2b2,得b2x2a2(k2x22kmxm2)a2b2.化简后，得关于 x的一元二次方程(a2k2 b2)x2 2ka2mx a2m2-a2b2 = 0. 于是其判别式.I =(2ka2m)2 -4(a2k2 b2)(a

38、2m2 由已知，得 =0.即a2k2 bm2.在直线方程y二kx m中，分别令y=0, x=0,a2b2) =4a2b2(a2k2 b2m2).令顶点P的坐标为(x，y)，由已知，得求得 R(一口 ,0),S(0,m).kmk解得iy =m.k -xm 二 y.代入式并整理，得2 a2 x2 .2说明：方程L三2 2 1x y+ b：曰，即为所求顶点P的轨迹方程.y2形似椭圆的标准方程，你能画出它的图形吗？2 2例12、已知双曲线才計的离心率e二33，过A(a,0), B(0,-b)的直线到原点的距3y =kx - 5(k =0)交双曲线于不同的点离是仝.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线2

39、B为圆心的圆上，求 k的值.且C, D都在以,原点到直线AB:仝ay =i的距离d babJ a 2 b 2” b = 1, a =abc_2_ 2故所求双曲线方程为2xy 1.32 -3y2 =3中消去y,整理得(2 )把y = kx 5代入设C(x!,y!),D(x2,y2),CD 的中点是 E(x,y)，则(1 _3k2)x2 _30kx_78=0.XoXiX2k BE.x - ky即15 k1 - 3 k 22y o 1Xo k =0,15 ky0-k.5 k、2 k1 - 3 k故所求k= V7 .说明：为了求出k的值，需要通过消元 例13、过点P(-.3 0)作直线I与椭圆3x2+

40、4y2=12相交于 求厶OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。分析：若直接用点斜式设I的方程为y - 0 = k(x 、3)，则要 求I的斜率一定要存在，但在这里I的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线丨的方程为X二my - 3，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简 化了运算。解：设 A (X1，yj，B (X2，y2)，I : X=myS.AOB =2|OP| |y1 I 2|OP| |y2|二.3(| y1| | y2 |) = 3(% y?) 把 x=my、；3 代入椭圆方程得： 3(m2y2 2、. 3my 3) 4y2 12 =0， (

41、3m24) y2-6.3my- 3= 0，y1- y26 ；3m，目门2- -23m +43m,想法设法建构k的方程.Py /:XABOxB两点，O为坐标原点,_4,9m23 2 3m - 4108m2222(3m4) 3m4,3.3m2 -123m 4124_4,3 .3m2 -1 2(3m1)-3 23m 41V144x +484.3mS 一-322-.3，此时 3m2 -1 二令直线的倾角为 a，则tga=3二V63.3m21、：.：；6=H-243 0,所以得：(a)22 时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F;2(ii)当心二时，方程表示椭圆，焦点E(12八(iii )当a

42、2时，方程也表示椭圆，焦点2 两个定点.说明：由于向量可以用一条有向线段来表示，有向线段的方向可以决定解析几何中直线 的斜率，故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是： 根据直线的方向向量得出直线方程，再转化为解析几何问题解决。2 2例15、已知椭圆务与=1(a b 0)的长、短轴端点分别为 A、B，从此椭圆上一点 M a2 b2向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共线向量。求椭圆的离心率 e;设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求/F1QF2的取值范围；b2() F1 (-c,0),则Xm =c,yM， koMakA-,OM与A

43、B是共线向量， b b整理得x218(1)(2)解:(2 )设 F1Q A * J21cos 二_a2,?)和 F( 一12,2 221 n E(0,_(a a22,a)为合题意的两个定点;_2)和 F(O”Ja2 一1 )为合乎题意的2b2Oac2aac=1, F2Q =2,/F1 QF 2 - V,=2a , F1F2 = 2c, r22 4c2(R r2 )2 2r1r 4c22122122-1 = 023T=2 时，cos 0 =0 , B - 0, o2由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此, 解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解 此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向 量的问题转化为解析几何问题。当且仅当ri说明：x2 y2例16、一条斜率为1的直线l与离心率为的椭圆C:笃-y- =1 ( a b 0 )交于2a2 b2P、Q两点，直线l与Y轴