一阶与二阶常系数线性微分方程及其解法

1、华中科技大学文华学院,一元函数微积分,2015年9月22日12月22日,基础学部 梁幼鸣Mobil,德国数学家 Leibniz,在一切理论成就中，未必有什么像十七世纪下半叶微积分的发明那样，能被看做人类精神的卓越胜利了。如果在某个地方我们有人类精神的、纯粹和专有的功绩，那就正在这里,F. 恩格斯,英国数学家Newton,微积分学创始人,The one real object of education is to have a man in the condition of continually asking questions. （教育的真正目的是使人处于不断发问的

2、状态） - Mandell Creighton（克莱顿,Brevity is the soul of wit. （简洁是智慧的灵魂） - William Shakespeare（莎士比亚） Wisdom denotes the pursuing of the best ends by the best means.（智慧意味着以最佳手法获得最佳结果） - Francis Hutcheson（哈奇森,一位年迈的法国数学家说：“只有当你使数学变得如此明白易懂、可以向任何一个人阐述其内容的时候，数学理论才可以认为是完善的。” - D. Hilbert（希尔伯特,Brevity is the soul

3、 of wit. （简洁是智慧的灵魂） - William Shakespeare（莎士比亚） Wisdom denotes the pursuing of the best ends by the best means.（智慧意味着以最佳手法获得最佳结果） - Francis Hutcheson（哈奇森,Advanced Mathematics,退出,一元函数微积分,第七章,常微分方程及其解法,四,五,二,一,退出,Chpt.7 常微方程基本概念与几种一阶和二阶线性方程的主要解法,解二阶常系数线性齐次和非齐次方程的拆中降阶法,专题,常微方程基本概念与简单分类方法,解一阶常微方程的凑微分法,三

4、,解二阶常系数线性齐次和非齐次方程的特征多项式法,一阶常微方程的分离变量解法与套公式解法,退出,返回,本章只讨论常微方程。简例如下,2. 常微方程分类命名法,含一元未知函数的导函数或因变量,一、常微方程基本概念与简单分类法,1. 何谓常微分方程,经验指出，常微方程中未知函数及其,非线性方程，剩下的都是线性方程,显然，简例中阶数最高的方程是 (5,它们统称为高阶方程）。剩下的方程全,为三阶方程；其次是(4)，为二阶方程,是一阶方程（尤其含有微分者更如此,的微分以及自变量的微分的等式称为,数或因变量的微分及其多个自变量的,常微分方程；含多元未知函数的偏导,常微方程按其内所含未知函数的最高,阶数来分

5、类并命名。最高阶数是几，方,程就被称为几阶方程,导数的幂次是否全为一次，决定了未知,函数的具体结构能否被解出来的难度,全为一次的方程称为线性方程，否则称,为非线性方程。易见，简例唯有 (2) 是,的微分的等式称为偏微分方程,退出,返回,3. 常微方程的特解与通解,常微方程的通解多数都能囊括方程的,例外）。不被通解囊括的以及通解中的,例1-1 验证方程 的通解,任何含自变量与因变量的表达式，若,能由之恒等地推出给定的常微方程时,都称为该常微方程的解；解若含有任意,所有可能存在的解（仅非线性方程鲜有,常数、且不能合并的任意常数的个数恰,任意常数取特定值后所得出的对应解称,证,是,好等于方程的阶数时

6、称为方程的通解,为方程的特解,由于表达式中仅含一个任意常数，个数,可见，给定的表达式是给定方程的解,明显与方程的阶数（一阶）相等，故此,解是方程的通解,证毕,一、常微方程基本概念与简单分类法,退出,返回,的通解,解,故原方程的通解为,例2-1 求一阶非线性微分方程,即,非线性方程的通解（包括特解） 往往用隐函数的形式书写比较简洁。 有些非线性方程偶尔可经变元代换化成线性方程再求解（有兴趣者可参阅教材P236之例4与例5），但转换过程琐碎，明显不如凑微分法来得直接和明快,二、解一阶常微方程的凑微分法,可见,退出,返回,的通解,解,故原方程的通解为,例2-2 求一阶非线性微分方程,即,用凑微分法解

7、常微方程， 需要纯熟地掌握凑微分的四则运算技巧，特别是商的微分运算法则； 其掌控的要点在于 认准何为分母，何为分子。 （本例即教材P236之例4,可见,二、解一阶常微方程的凑微分法,退出,返回,解,的通解,例2-3 求一阶线性微分方程,故,凑微分法解一阶微分方程时， 只要可能，应坚持因变量按因变量凑， 自变量按自变量凑；然后再合并归总得通解,在极理想的情况下，原方程有可能被 重组成因变量与自变量全都各居一侧的形式， 人们常称其为已分离变量的形式。 这种方程的解几乎显而易见,二、解一阶常微方程的凑微分法,退出,返回,解,故原方程的通解为,或者,故原方程的通解为,或者,例2-4 解下列一阶线性齐次

8、方程,方程两边同乘以,线性方程中不含未知函数及其导函数的项称为非齐次项。非齐次项为零的方程称为线性齐次方程,二、解一阶常微方程的凑微分法,的特解,退出,返回,满足初始条件,解,故方程的通解为,亦即,又,故欲求的特解为,或者,例2-5 求一阶线性微分方程,亦即,二、解一阶常微方程的凑微分法,退出,返回,解,故方程的通解为,或者,又,即,故原方程欲求的特解为,或者,的特解,满足初始条件,例2-6 求一阶线性微分方程,二、解一阶常微方程的凑微分法,例2-7 求一阶线性微分方程 与,退出,返回,解,故方程的通解为,即,的通解,故方程的通解为,即,二、解一阶常微方程的凑微分法,退出,返回,解,得,x 的

9、连续函数,所得等式的两边同乘以,参考课本P237公式(6,故方程的通解为,可见,例2-8 求一阶线性微分方程,的通解，其中P，Q 都是,二、解一阶常微方程的凑微分法,但应强调指出的是，其中的不定积分,仅用以特指 P ( x ) 的某一,积函数的某个原函数而非全体原函数,而非全体原函数,该公式在教材的P237的公式(6)中借不定积分的形式表述为,的通解求算公式,例2-8的求解结果实际上给出了一阶线性微分方程,类似地，不定积分,也仅用以特指被,显然，使用变积分上限的函数表示某指定函数的原函数，较之上述,采取将全体原函数声明混用于单个原函数的过于简单的做法要严谨,二、解一阶常微方程的凑微分法,退出,

10、返回,退出,返回,的通解,解,故原方程的通解为,例2-9 求一阶线性微分方程,用凑微分法解常微方程， 除应纯熟地掌握凑微分的四则运算技巧、特别是商的运算法则之外， 对已经选凑成形的微分间的相互关联性，尤其应保持住丰富的联想空间。 何谓规律？不就是相互关联性吗？ “想象力比知识更重要”，本例即为又一值得体味的佐例 （请与教材P236之例4相比对,可见,二、解一阶常微方程的凑微分法,退出,返回,1. 分离变量法,2. 公式法,已分离变量的方程。对可分离变量,若一阶常微方程已被改写成关于,通解表达式，把未知函数的系数和,若一阶常微方程已被改写成等号,两边各自分别是同一变量疑似为某,全微分的方程，则这

11、种方程就称为,所求得的一阶任意线性微分方程的,非齐次项的信息直接代入计算，而,一举得出通解的解法称为公式法,这种奠基性的解法一旦与微分方程的具体构形特征挂上钩之后,凑微分法是微分方程求解的奠基性解法,还能衍生出许多其它的经典解法,的方程分离变量，各边再分头关于,自身的变量求不定积分常能求出方,程的解。这种解法称为分离变量法,某个变量为未知函数的一阶线性微,分方程的规范形式,则借用例 2-8,三、一阶常微方程的分离变量解法与套公式解法,退出,返回,例3-1 用分离变量法求微分方程,因 y 0 显然是方程之解，故任意常,若 y 0,数 C 取 0 时通解就可将之囊括其内,的通解,解,故,例3-2

12、用公式法求一阶线性微分方程,的通解,解,三、一阶常微方程的分离变量解法与套公式解法,短接,故返回给定的变量即得原方程的通解,退出,返回,例3-3 用变元代换法求微分方程,的通解。（此乃P239习题7.2的 4(2),解,若令,则方程将化为以 Z 为,未知函数的一阶线性方程,方程的通解应为,于是，依线性方程的求解公式，此,三、一阶常微方程的分离变量解法与套公式解法,退出,返回,例3-4 用变元代换法求微分方程,若再令,则方程显然是以 z,的通解,解,依求解公式，此方程的通解应为,若令,故返回给定的变量即得原方程的通解,则方程将化为以,t 为自变量的一阶微分方程,因为,为未知函数、以 t 为自变量

13、的一阶线性,方程,三、一阶常微方程的分离变量解法与套公式解法,退出,返回,解,例3-5 用不同方法求方程的通解,解二（凑微分法,故原方程的通解为,一（公式法,方程是线性方程,方程即,三、一阶常微方程的分离变量解法与套公式解法,亦即,退出,返回,四、解二阶常系数线性齐次和非齐次方程的拆中降阶法,例4-0 求一阶线性齐次方程的通解,解,原方程即,拆中降阶建立在对一阶常系数线性齐次方程的通解能目视得解的基础上,亦即,故原方程的通解为,系数为 a ，通解为,Ans. 通解为,Ans. 通解为,Ans. 通解为,Ans. 通解为,Ans. 通解为,退出,返回,例4-1 求二阶线性齐次方程的通解,拆中降阶

14、要点,中项系数的分拆之积与末项系数相等,解,原方程即,故原方程的通解为,解,原方程即,故原方程的通解为,四、解二阶常系数线性齐次和非齐次方程的拆中降阶法,短接,退出,返回,例4-2 求下列微分方程的通解,解,原方程即,拆中降阶要点,中项系数的分拆之积与末项系数相等,亦即,原方程即,故原方程的通解为,解,故原方程的通解为,四、解二阶常系数线性齐次和非齐次方程的拆中降阶法,例4-3 求下列微分方程的通解,中是一阶导函数项的代称,中项系数的分拆之积与末项系数相等,解,原方程即,故原方程的通解为,原方程即,解,故原方程的通解为,退出,返回,四、解二阶常系数线性齐次和非齐次方程的拆中降阶法,拆中降阶要点

15、,例4-4 求二阶线性齐次方程 的通解,解,原方程即,亦即,或者,故原方程的通解为,退出,返回,根据著名的欧拉（Euler）公式,四、解二阶常系数线性齐次和非齐次方程的拆中降阶法,特征多项式,例4-5-1 求二阶线性非齐次方程,解,原方程即,亦即,故原方程的通解为,退出,返回,可以看出：非齐次方程的通解等于某个特解与对应齐次方程的通解之和。本例的求算过程乃是一般性证明的某个具体实现,四、解二阶常系数线性齐次和非齐次方程的拆中降阶法,的通解,例4-5-2 求二阶线性非齐次方程,解,原方程即,亦即,故原方程的通解为,退出,返回,可以看出：非齐次方程的通解等于某个特解与对应齐次方程的通解之和。本例的

16、求算过程乃是一般性证明的某个具体实现,四、解二阶常系数线性齐次和非齐次方程的拆中降阶法,的通解,例4-5-3 求二阶线性非齐次方程,解,原方程即,亦即,故原方程的通解为,退出,返回,可以看出：非齐次方程的通解等于某个特解与对应齐次方程的通解之和。本例的求算过程乃是一般性证明的某个具体实现,四、解二阶常系数线性齐次和非齐次方程的拆中降阶法,的通解,退出,返回,五、解二阶常系数线性微分方程的特征根法,一阶常系数线性微分方程只有一个,中的各阶导函数幻化成 r 的各次幂函,将二阶线性常系数齐次方程,称为微分方程的特征多项式，特征多,如果特征根是复数，则二者必共轭,用凑微分法可以证明，如果两特征根,不相

17、等，则线性齐次方程的通解必为,若两特征根彼此相等，即,则齐次方程的通解必为,数所得到的二次三项式,项式的根称为微分方程的特征根。以,特征多项式作为标准函数的标准方程,特征根 r，二阶常系数线性微分方程,有两个特征根,当然必不相等。记两共轭之根为,称为微分方程的 特征方程,退出,返回,例5-1 求下列微分方程的通解,解,的特征多项式,特征根为,方程的通解为,的特征多项式,特征根为,齐次方程,依原方程构造特征多项式最容易,的特征多项式,特征根为,齐次方程,出差错的是不求导数的未知函数项,警示自己的口诀是：不求导数即求,零阶导数，r 的零次幂可视为无 r,齐次,的通解为,的通解为,五、解二阶常系数线

18、性微分方程的特征根法,退出,返回,例5-2 求下列微分方程的通解,解,项式,特征根为,通解为,的特征多项式,特征根为,齐次方程,的特征多项式,特征根为,齐次方程,齐次方程的,的通解为,的通解为,的特征多,特征根彼此相等时，写通解的方式,完全和不相等时 “ 走一样的程序 ”,在两任意常数后写两个特征根对应,的指数复合函数解；检查此二解的指,数是否相同，一旦发现二者一模一样,就迅即任选其中的一项补乘以因子 x,五、解二阶常系数线性微分方程的特征根法,1,退出,返回,例5-3 求二阶线性非齐次方程,解,方程的特征多项式,特征根为,故原方程的通解为,的通解,对应齐次方程的通解为,五、解二阶常系数线性微分方程的特征根法,退出,返回,例5-4 求二阶线性非齐次方程,解,方程的特征多项式,